高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4-3指数函数与对数函数的关系课件新人教B版必修第二册 33页

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.3 　指数函数与对数函数的关系 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 课程标准 学法解读 1 ．理解反函数的概念，了解存在反函数的条件，会求简单函数的反函数． 2 ．理解互为反函数图像间的关系． 3 ．知道指数函数 y ＝ a x 与对数函数 y ＝ log a x 互为反函数 ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) ． 1 ．通过学习反函数的概念，提升数学抽象素养． 2 ．通过求反函数，提升数学运算素养． 3 ．通过互为反函数图像间关系的应用，提升直观想象素养． 必备知识 · 探新知 (1) 一般地，如果在函数 y ＝ f ( x ) 中，给定值域中 __________ __ __ 的值，只有 ________ 的 x 与之对应，那么 x 是 y 的函数，这个函数称为 y ＝ f ( x ) 的反函数．此时，称 y ＝ f ( x ) 存在反函数，可以记作 x ＝ f － 1 ( y ) ． (2) 一般地，对于函数 y ＝ f ( x ) 的反函数 x ＝ f － 1 ( y ) ，习惯上反函数的自变量仍用 x 表示，因变量仍用 y 表示，则函数 y ＝ f ( x ) 的反函数记作 y ＝ f － 1 ( x ) ． 反函数的概念 知识点 一 任意一个 y 　 唯一　 思考： 函数 f ( x ) ＝ x 2 有反函数吗？为什么？ 提示： 没有．若令 y ＝ f ( x ) ＝ 1 ，则 x ＝ ±1 ，即 x 值不唯一，不符合反函数的定义． (1) 可以通过对调 y ＝ f ( x ) 中的 x 与 y ，然后从 x ＝ f ( y ) 中求出 y 得到反函数 y ＝ f － 1 ( x ) ． (2) 从 y ＝ f ( x ) 反解得到 x ＝ f － 1 ( y ) ，然后把 x ＝ f － 1 ( y ) 中的 x ， y 对调得到 y ＝ f － 1 ( x ) ． 求反函数的两种方法 知识点 二 (1) 图像 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ f － 1 ( x ) 的图像关于直线 __ __ __ __ __ 对称． (2) 性质 ① y ＝ f ( x ) 的定义域与 y ＝ f － 1 ( x ) 的 ________ 相同， y ＝ f ( x ) 的值域与 y ＝ f － 1 ( x ) 的 __________ 相同． ②如果 y ＝ f ( x ) 是单调函数，那么它的反函数 y ＝ f － 1 ( x ) 一定存在．此时，如果 y ＝ f ( x ) 是增函数，则 y ＝ f － 1 ( x ) 也是 __________ ；如果 y ＝ f ( x ) 是 __________ ，则 y ＝ f － 1 ( x ) 也是减函数． 互为反函数的图像与性质 知识点 三 y ＝ x 　 值域　 定义域　 增函数　 减函数　 关键能力 · 攻重难 判断函数是否有反函数 题型探究 题型 一 D 　 　　　　 (1) 下列函数中，存在反函数的是 ( 　　 ) 典例剖析 典例 1 A ． B ． x x ＞ 0 x ＝ 0 x ＜ 0 f ( x ) 1 0 － 1 x x 是有理数 x 是无理数 g ( x ) 1 0 C ． D ． x 1 2 3 4 5 h ( x ) － 1 2 0 4 2 x 1 2 3 4 5 l ( x ) － 2 － 1 0 3 4 [ 分析 ] 　 根据反函数的定义进行判断． [ 解析 ] 　 (1) 因为 f ( x ) ＝ 1 时， x 为任意的正实数，即对应的 x 不唯一，因此 f ( x ) 的反函数不存在； 因为 g ( x ) ＝ 1 时， x 为任意的有理数，即对应的 x 不唯一， 因此 g ( x ) 的反函数不存在； 因为 h ( x ) ＝ 2 时， x ＝ 2 或 x ＝ 5 ，即对应的 x 不唯一， 因此 h ( x ) 的反函数不存在； 因为 l ( x ) 的值域 { － 2 ， － 1,0,3,4} 中任意一个值，都只有唯一的 x 与之对应，因此 l ( x ) 的反函数存在． 规律方法：判定函数存在反函数的方法 (1) 逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在． (2) 确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在． (3) 利用原函数的解析式，解出自变量 x ，如果 x 是唯一的，则函数的反函数存在． 对点训练 求反函数 题型 二 典例剖析 典例 2 [ 分析 ] 　 按照求反函数的步骤求反函数． [ 解析 ] 　 (1) 函数 y ＝ 2 x ＋ 1 ，当 x ∈ R 时， y ＞ 0 ． 方法一： ∵ x ＋ 1 ＝ log 2 y ， ∴ x ＝－ 1 ＋ log 2 y ， x ， y 互换得反函数为 y ＝－ 1 ＋ log 2 x ( x ＞ 0) ． 方法二：对 y ＝ 2 x ＋ 1 中的 x ， y 互换得 x ＝ 2 y ＋ 1 ， ∴ y ＋ 1 ＝ log 2 x ，即反函数为 y ＝－ 1 ＋ log 2 x ( x ＞ 0) ． (2) 由 y ＝ 1 ＋ ln( x － 1) ，得 x ＝ e y － 1 ＋ 1 ，又由 x ＞ 1 ， 知 y ∈ R ， ∴ 反函数为 y ＝ e x － 1 ＋ 1( x ∈ R ) ． 规律方法： 1. 求反函数时，要先确定原函数的值域． 2 ．两种方法： x ， y 先互换，再求 y 与先求 x ，再 x ， y 互换． 3 ．最后要注明反函数的定义域． 对点训练 互为反函数的图像间的关系 题型 三 　　　　已知函数 y ＝ a x ＋ b ( a ＞ 0 ， a ≠1) 的图像过点 (1,4) ，其反函数的图像过点 (2,0) ，求 a 、 b 的值． [ 解析 ] 　 ∵ 函数 y ＝ a x ＋ b ( a ＞ 0 ， a ≠1) 的反函数的图像过点 (2,0) ， ∴ 函数 y ＝ a x ＋ b 的图像过点 (0,2) ， ∴ 2 ＝ a 0 ＋ b ， ∴ b ＝ 1 ． ∴ y ＝ a x ＋ 1 ． 典例剖析 典例 3 又 ∵ 函数 y ＝ a x ＋ 1( a ＞ 0 ， a ≠1) 的图像过点 (1,4) ， ∴ 4 ＝ a ＋ 1 ， ∴ a ＝ 3 ． ∴ a ＝ 3 ， b ＝ 1 ． 规律方法： 1. 定义域、值域关系的应用 原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数． 2 ． 图像的应用 原函数的图像与反函数的图像关于直线 y ＝ x 对称，点 P ( x ， y ) 关于 y ＝ x 的对称点是 P 1 ( y ， x ) ，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值． 3 ． (1) 设函数 f ( x ) ＝ 2lg (2 x － 1) ，则 f － 1 (0) 的值为 ( 　　 ) A ． 0 B ． 1 C ． 10 D ．不存在 (2) 设函数 f ( x ) ＝ log a ( x ＋ b )( a ＞ 0 ， a ≠1) 的图像过点 (2,1) ，其反函数的图像过点 (2,8) ，则 a ＋ b 等于 ( 　　 ) A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3 对点训练 B 　 C 　 [0 ，＋∞ ) 　 　　　　函数 y ＝ log 2 x ( x ≥1) 的反函数的定义域为 ______________ ． [ 错解 ] 　 R 　 ∵ 函数 y ＝ log 2 x 的反函数为 y ＝ 2 x ， ∴ x ∈ R ． [ 辨析 ] 　 误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域． [ 正解 ] 　 ∵函数 y ＝ log 2 x 的反函数的定义域为原函数 y ＝ log 2 x 的值域． 又∵ x ≥1 ，∴ log 2 x ≥0 ， ∴反函数的定义域为 [0 ，＋∞ ) ． 典例剖析 典例 4 易错警示 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能