河南省洛阳市2017-2018学年第二学期期中考试高一数学（pdf版）（详细解析版） 12页

洛阳市 2017-2018 学年第二学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题（本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目 要求。） 1、若象限角 满足sin | sin | cos | cos | 1      ，则 是 A、第一象限的角 B、第二象限的角 C、第三象限的角 D、第四象限的角 【答案】C 【解析】∵ 22sin cos 1 ∴ 22sin | sin | cos | cos | sin cos         ∴ sin 0,cos 0 ∴ 象限角 是第三象限的角。 2、下列说法正确的个数为 ①若 ,ab是两个单位向量，则 ab ②若 //ab， //bc，则 //ac ③ a 与任意向量平行，则 0a  ④ ( ) ( )a b c a b c     A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】A 【解析】①向量是不能比较大小的；②若 0b  ，则 ac与 不共线 ；④向量没有结合律，()a b c的方向与 c 的方向相同或相反， ()a b c的方向与 a 的方向相同或相反；③ 0 与任何向量都共线；故①②④错误， ③正确 3、若向量 满足| | | |a b a b m    ，则 ab A、0 B、 m C、- m D、 2 m 【答案】A 【解析】∵ | | | |a b a b   ∴ 2 2 2 2 2 2| | | | | | 2 | | | | 2 | | 0a b a b a a b b a a b b a b              4、函数 ( ) tan 2f x x x在区间( , )22  上的图像大致是 【答案】B 【解析】由题意可知： ( ) tan 2f x x x的定义域为{ | , }2x x k k Z   ，在定义域范围内是奇函数， 排除 A,C；对 x 取特殊值 3x  ，则 32( ) tan 2 03 3 3 3 3f          ，排除 D。选 B 5、下列四个结论中，正确的是 A、函数 tan( )4yx是奇函数 B、函数 | sin(2 ) |3yx的最小正周期是 C、函数 tanyx 在 ( , )  上是增函数 D、函数 cosyx 在区间 7[2 ,2 ]4kk   ()kZ 上是增函数 【答案】D 【解析】A、 ( ) tan( ) tan( )44f x x x       ， ( ) ( ), ( ) ( )f x f x f x f x      ，非奇非偶函数； B、 是将 sin(2 )3yx的图像在 轴下方的部分翻上去，其最小正周期为 2  ； C、 的定义域为 ，在 上不是增函数 D、 的单调递增区间为[2 ,2 2 ]kk    。 综上可知：D 正确。 6、若将函数 sin(2 )4yx的图像上的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 6  个单位，则所得函数图像的一个对称中心为 A、 5( ,0)12  B、( ,0)4  C、( ,0)6  D、( ,0)12  【答案】A 【解析】函数 通过平移得到 5sin( )12yx，令 5 12xk ，即 5 12xk 。 ∴ 其对称中心为 5( ,0)12k   。即对称中心为 5( ,0)12  7、已知非零向量 AB AC与 满足( ) 0 | | | | AB AC BC AB AC    ,且 2 AB AB CB，则 ABC 为 A、等腰非直角三角形 B、直角非等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 【答案】C 【解析】 22 0 ( ) 0 0AB AB CB AB AB CB AB AB CB AB CA AB CA               由向量性质可知：| | | | 1 | | | | AB AC AB AC ， | | | | AB AC AB AC  在 BAC 的角平分线 AD 上。 ( ) 0 | | | | AB AC BC AD BC AB AC      ∴ AB AC ∴ ABC 是等腰直角三角形 8、函数 ( ) sin( )f x A x B   ( 0, 0,| | )A      的部分图像如图所示，则函数 ()fx的解析式是 A、 2sin(2 ) 26yx   B、 52sin(2 ) 26yx   C、 12sin( ) 226yx   D、 152sin( ) 226yx   【答案】B 【解析】由题意可知： 4 0 AB AB    ,解得： 2 2 A B    ∵ 5 4 12 6 4 T      ∴ ,2T  ∴ 函数 2sin(2 ) 2yx   ，且过( ,0)6  ∴ 0 2sin(2 ) 26      ∵ 32    即 5 6   ∴ 函数的解析式为 9、已知O 是△ ABC 内部一点，且3 2 0OA OB OC   ,则△OBC 的面积与△ 的面积之比为 A、 1 2 B、1 C、 3 2 D、 2 【答案】A 【解析】∵ 3 2 0OA OB OC   ∴ 2( ) ( ) 0OA OB OA OC    设 DE、 是△ ABC 的边 AB AC、 中点，∴ 20OD OE ∴ 2=OD OE ∴ ODE、 、 三点共线，且O 点在△ 中线 DE 上， ∴ 1 2 OBC ABC S S  10、已知函数 1 3 sin( ),0 623() log ( 3) 2, 6 xx fx xx          ，若 ,,abc互不相等，且满足 ( ) ( ) ( )f a f b f c，则 abc的取值范围是 A、(6,12) B、(3,30) C、(6,30) D、(12,36) 【答案】D 【解析】画出函数 ()fx的图像，如图所示， 由图可知， , (0,6)ab 且 ,ab关于 3x  对称，∴ 6ab ∵ ∴ ( ) ( 1,1)fc ∴ (6,30)c ∴ (12,36)abc   11、定义函数 ( ), ( ) ( )max{ ( ), ( )} ( ), ( ) ( ) f x f x g xf x g x g x f x g x    ，已知函数 ( ) max{sin ,cos }f x x x ()xR ，关 于函数 的性质给出下面四个判断： ①函数 是周期函数，最小正周期为 2 ； ②函数 ()fx的值域为[ 1,1] ; ③函数 在区间[ 2 ,2 ]kk   ()kZ 上单调递增； ④函数 的图像存在对称中心。 其中判断正确的个数是 A、3 B、2 C、1 D、0 【答案】C 【解析】由题意可知： sin ;sin cos() cos ;sin cos x x xfx x x x    ，画出图像如图所示： 可以看出函数 不是周期函数，且值域是 2[ ,1]2 ，在 3[ 2 ,2 ]4kk      上单调递减，在 3[2 ,2 ]4kk 上单调递增。函数 的图像存在对称中心[ ,0] 等 ∴ 只有一个正确。 12 、 在 直 角 △ ABC 中 ， 90 , 1BCA CA CB     , P 为 AB 边上的 点 且 AP AB ，若 CP AB PA PB   ，则 的取值范围是 A、 1[ ,1]2 B、 1 2 2[ , ]22  C、 2 2 2 2[ , ]22  D、 22[ ,1]2  【答案】D 【解析】以 BC 所在直线为 x 轴，以 AC 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系。 则 (0,1) (1,0)AB， ， (0,0)C ， ( , )P x y ， ( , 1)AP x y， (1, 1)AB  ( , )CP x y ， ( ,1 )PA x y   ， (1 , )PB x y ∴ ( , 1) (1, 1) , 1AP AB x y x y            ① 22CP AB PA PB x y x x y y         ② 把①代入②中，整理得： 2 4 1 0   ，解得： 2 2 2 2[ , ]22  又 ∵ P 在 AB 边上 ∴ [0,1]  ∴ 22[ ,1]2  二、填空题（本大题共 4 个小题,每小题 5 分。） 13、sin 20 cos10 cos200 sin( 190 )      【答案】 1 2 【解析】sin 20 cos10 cos200 sin( 190 ) sin 20 cos10 ( cos20 )sin10           1sin 20 cos10 cos20 sin10 sin30 2        14、在△ ABC 中，已知 tan ,tanAB是关于 x 的方程 2 ( 1) 1 0x m x    的两个实数根，则角C = 【答案】 4  【解析】方程 化简为 2 10x mx m    由韦达定理得： tan tanA B m   ， tan tan 1A B m    消去得： tan tan tan tan 1A B A B    ∵ tan tan tan tantan( ) 11 tan tan 1 (tan tan 1) A B A BAB A B A B          ∵ AB、 是△ 的内角， ∴ 3 4AB + ∴ 4C  15、已知向量 (2,1), ( 1, )a b m   ，若 ab与 的夹角为钝角，则 m 的取值范围是 （用区间表示） 【答案】 11( , ) ( ,2)22   【解析】设 的夹角为 ，则cos 0  且 cos 1  2 2cos 0 2 | | | | 51 a b m m ab m           2 21cos 1 2| | | | 51 a b m m ab m             ∴ 的取值范围是 16、已知边长为 2 的正方形 ABCD，以 A 为圆心做与对角线 BD 相切的圆，点 P 在圆周上，且在正方形 内部（包括边界），若 AP mAB nBC( , )m n R ,则 mn 的取值范围是 （用区 间表示） 【答案】 2[ ,1]2 【解析】以 BA 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系。 则 (0,0) (2,0) (0,2)A B D， ， ,以 为圆心的圆的方程为 222xy ( , ) (2,0) (0,2)AP mAB nBC x y m n     ∴ 2 , 2x m y n，∴ 221 2mn 设 2 cos2m  ， 2 sin2n  [0, ]2   ∴ 2 2 2cos sin 2 sin( ) sin( )2 2 2 4 4mn            ∵ ∴ 2sin( ) [ ,1]42   ∴ 的取值范围是 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、已知 (sin cos ,2) (sin cos ,1)ab       ，且 //ab （1）求 tan 的值 （2）求 1 tan 2cos2   的值 18、已知平面上三个向量 ,,abc，其中 (1, 3)a  。 （1）若| | 1b  ，且 //ab，求b 的坐标； （2）若| | 2c  ，且 (2 3 ) ( )a c a c   ，求 ac与 的夹角。 19、已知 1( 3,cos ), ( ,2sin( ))23a x b x    ， ()f x a b （1）求 ()fx的最小正周期及单调递增区间； （2）若 [ , ]63x  ，求函数 的最值及对应的 x 值。 20、已知函数 2( ) 6cos 3sin 32 xf x x    ( 0)  ，在一个周期内的函数图像如图所示，A 为图像的 最高点，B、C 为函数图像与 x 轴的两个交点，且△ ABC 为等边三角形。 （1）求 的值 （2）求不等式 ( ) 3fx 的解集 21、如图，扇形OAB 的周长为 6， 1AOB，PQ 过△ AOB 重心 G，设OA a ，OB b ，OP ma ， OQ nb ( 0, 0)mn （1）求扇形 的面积； （2）试探索 11 mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 22、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， (1,cos )Ax， (1 sin ,cos )B x x ，且 [0, ]2x  , A B C、 、 满足 21 33OC OA OB, （1）求证： 三点共线； （2）若函数 21( ) (2 ) | |3f x OA OC m AB m      的最小值为14 3 ，求实数 m 的值。 【解析】（1）∵ 2 1 1 1()3 3 3 3AC OC OA OA OB OA OB OA AB        ∴ //AC AB ，又 AC AB与 有公共点 A ∴ 三点共线。 （2）∵ (1,cos )OA x ， (1 sin ,cos )OB x x ， ∴ 2 1 2 1 1(1,cos ) (1 sin ,cos ) (1 sin ,cos )3 3 3 3 3OC OA OB x x x x x       故 211 sin cos3OA OC x x    ， 2| | sin sinAB x x ∴ 2 2 21 1 1( ) (2 ) | | 1 sin cos (2 )sin3 3 3f x OA OC m AB m x x m x m            即 2 2 2 222( ) 1 cos (2 )sin sin (2 )sin 233f x x m x m x m x m           221 2 19[sin ( )] 23 3 9x m m m       ∵ [0, ]2x  ∴ sin [0,1]x 当 11 32m ，即 1 6m  时， 此时，当sin 1x  时， ()fx有最小值。 22 min 2 5 14( ) 1 2 2 23 3 3f x m m m m          解得： 3m  ， 1m  。 又 ∵ ∴ 。 当 11 32m ，即 1 6m  时， 此时，当sin 0x  时， 有最小值。 2 min 14( ) 2 3f x m   解得： 26 3m  ， 26 3m  。 又 ∵ 1 6m  ∴ 。 综上所述：实数 m 的值为： 或 。