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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评13 word版含答案

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学业分层测评(十三) (建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1.下列说法: ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角; ②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所 成的角; ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 根据二面角的定义知①②③都不正确. 【答案】 A 2.如图 2326,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,则图中与平面 PCD 垂直的平面是( ) 图 2326 A.平面 ABCD B.平面 PBC C.平面 PAD D.平面 PBC 【解析】 由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥CD,由四边形 ABCD 为矩 形得 CD⊥AD,从而有 CD⊥平面 PAD,所以平面 PCD⊥平面 PAD.故 选 C. 【答案】 C 3.在四面体 ABCD 中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD= 90°,ABDC 为直二面角,E 是 CD 的中点,则∠AED 的度数为( ) A.45° B.30° C.60° D.90° 【解析】 如图,设 AB=BC=CD=AD=a, 取 BD 的中点为 F,连接 AF,CF, 则由题意可得 AF=CF= 2 2 a. 在 Rt△AFC 中,易得 AC=a, ∴△ACD 为正三角形. 又∵E 是 CD 的中点, ∴AE⊥CD,即∠AED=90°. 【答案】 D 4.如图 2327,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是 圆上一点(不同于 A、B)且 PA=AC,则二面角 PBCA 的大小为( ) 【导学号:09960079】 图 2327 A.60° B.30° C.45° D.15° 【解析】 由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC,又 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴∠PCA 为二面角 PBCA 的平面角.在 Rt△PAC 中,由 PA=AC 得∠PCA=45°, ∴C 对. 【答案】 C 5.如图 2328,在三棱锥 PABC 中,已知 PC⊥BC,PC⊥AC, 点 E,F,G 分别是所在棱的中点,则下面结论中错误的是( ) 图 2328 A.平面 EFG∥平面 PBC B.平面 EFG⊥平面 ABC C.∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角 D.∠FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角 【解析】 A 正确,∵GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB =C,∴平面 EFG∥平面 PBC; B 正确,∵PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF, ∴GF⊥BC,GF⊥AC,又 BC∩AC=C, ∴GF⊥平面 ABC,∴平面 EFG⊥平面 ABC; C 正确,易知 EF∥BP,∴∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角; D 错误,∵GE 与 AB 不垂直,∴∠FEG 不是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角. 【答案】 D 二、填空题 6.矩形 ABCD 的两边 AB=3,AD=4,PA⊥平面 ABCD,且 PA =4 3 5 ,则二面角 ABDP 的度数为________. 【解析】 过点 A 作 AE⊥BD,连接 PE,则∠AEP 为所求角. ∵由 AB=3,AD=4 知 BD=5, 又 AB·AD=BD·AE, ∴AE=12 5 . ∴tan ∠AEP= 4 3 5 12 5 = 3 3 .∴∠AEP=30°. 【答案】 30° 7.在平面几何中,有真命题:如果一个角的两边和另一个角的两 边分别垂直,则这两个角相等或互补.某同学将此结论类比到立体几 何中,得一结论:如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面 分别垂直,那么这两个二面角相等或互补. 你认为这个结论________.(填“正确”或“错误”) 【解析】 如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,平面 ABC1D1⊥ 平面 BCC1B1,平面 CDD1C1⊥平面 ABCD,而二面角 AC1D1C 为 45°, 二面角 ABCC1 为 90°. 则这两个二面角既不相等又不互补. 【答案】 错误 三、解答题 8.如图 2329,在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中,AD∥BC, ∠ABC=90°,PA⊥平面 ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2 3,BC =6.求证:平面 PBD⊥平面 PAC. 图 2329 【证明】 ∵PA⊥平面 ABCD, BD⊂平面 ABCD, ∴BD⊥PA.又 tan ∠ABD=AD AB = 3 3 , tan ∠BAC=BC AB = 3,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB= 90°,即 BD⊥AC. 又 PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC. 又 BD⊂平面 PBD,∴平面 PBD⊥平面 PAC. 9.(2016·临沂高一检测)如图 2330,在三棱锥 PABC 中,PC⊥ 底面 ABC,AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点. 【导学号:09960080】 图 2330 (1)求证:DE∥平面 PAC; (2)求证:AB⊥PB; (3)若 PC=BC,求二面角 PABC 的大小. 【解】 (1)证明:因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点, 所以 DE∥PA. 又因为 PA⊂平面 PAC,DE⊄平面 PAC, 所以 DE∥平面 PAC. (2)证明:因为 PC⊥底面 ABC,AB⊂底面 ABC, 所以 PC⊥AB. 又因为 AB⊥BC,PC∩BC=C, 所以 AB⊥平面 PBC, 又因为 PB⊂平面 PBC, 所以 AB⊥PB. (3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC, 所以∠PBC 即为二面角 PABC 的平面角, 因为 PC=BC,∠PCB=90°, 所以∠PBC=45°, 所以二面角 PABC 的大小为 45°. [自我挑战] 10.如图 2331 所示,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB, ∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 ABCD.则在三棱锥 ABCD 中,下列命题正确的是 ( ) 图 2331 A.AD⊥平面 BCD B.AB⊥平面 BCD C.平面 BCD⊥平面 ABC D.平面 ADC⊥平面 ABC 【解析】 在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°, ∠BAD=90°,所以 BD⊥CD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 CD⊥平面 ABD,所以 CD⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩CD=D, 故 AB⊥平面 ADC,从而平面 ABC⊥平面 ADC. 【答案】 D 11.如图 2332 所示,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3. 图 2332 (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (2)求二面角 ABEP 的大小. 【导学号:09960081】 【解】 (1)证明:如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD =60°,知△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD,所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, BE⊂平面 ABCD, 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE⊂平面 PBE, 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB⊂平面 PAB, 所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 ABEP 的平面角. 在 Rt△PAB 中,tan∠PBA=PA AB = 3, 则∠PBA=60°. 故二面角 ABEP 的大小是 60°.