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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(十三)
(建议用时:45 分钟)
[达标必做]
一、选择题
1.下列说法:
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角;
②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所
成的角;
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 根据二面角的定义知①②③都不正确.
【答案】 A
2.如图 2326,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,则图中与平面
PCD 垂直的平面是( )
图 2326
A.平面 ABCD
B.平面 PBC
C.平面 PAD
D.平面 PBC
【解析】 由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥CD,由四边形 ABCD 为矩
形得 CD⊥AD,从而有 CD⊥平面 PAD,所以平面 PCD⊥平面 PAD.故
选 C.
【答案】 C
3.在四面体 ABCD 中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=
90°,ABDC 为直二面角,E 是 CD 的中点,则∠AED 的度数为( )
A.45° B.30° C.60° D.90°
【解析】 如图,设 AB=BC=CD=AD=a,
取 BD 的中点为 F,连接 AF,CF,
则由题意可得 AF=CF= 2
2 a.
在 Rt△AFC 中,易得 AC=a,
∴△ACD 为正三角形.
又∵E 是 CD 的中点,
∴AE⊥CD,即∠AED=90°.
【答案】 D
4.如图 2327,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是
圆上一点(不同于 A、B)且 PA=AC,则二面角 PBCA 的大小为( )
【导学号:09960079】
图 2327
A.60° B.30°
C.45° D.15°
【解析】 由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC,又 PA∩AC=A,
∴BC⊥平面 PAC,∴∠PCA 为二面角 PBCA 的平面角.在
Rt△PAC 中,由 PA=AC 得∠PCA=45°,
∴C 对.
【答案】 C
5.如图 2328,在三棱锥 PABC 中,已知 PC⊥BC,PC⊥AC,
点 E,F,G 分别是所在棱的中点,则下面结论中错误的是( )
图 2328
A.平面 EFG∥平面 PBC
B.平面 EFG⊥平面 ABC
C.∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角
D.∠FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角
【解析】 A 正确,∵GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB
=C,∴平面 EFG∥平面 PBC;
B 正确,∵PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,
∴GF⊥BC,GF⊥AC,又 BC∩AC=C,
∴GF⊥平面 ABC,∴平面 EFG⊥平面 ABC;
C 正确,易知 EF∥BP,∴∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角;
D 错误,∵GE 与 AB 不垂直,∴∠FEG 不是平面 PAB 与平面 ABC
所成二面角的平面角.
【答案】 D
二、填空题
6.矩形 ABCD 的两边 AB=3,AD=4,PA⊥平面 ABCD,且 PA
=4 3
5
,则二面角 ABDP 的度数为________.
【解析】 过点 A 作 AE⊥BD,连接 PE,则∠AEP 为所求角.
∵由 AB=3,AD=4 知 BD=5,
又 AB·AD=BD·AE,
∴AE=12
5 .
∴tan ∠AEP=
4 3
5
12
5
= 3
3 .∴∠AEP=30°.
【答案】 30°
7.在平面几何中,有真命题:如果一个角的两边和另一个角的两
边分别垂直,则这两个角相等或互补.某同学将此结论类比到立体几
何中,得一结论:如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面
分别垂直,那么这两个二面角相等或互补.
你认为这个结论________.(填“正确”或“错误”)
【解析】 如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,平面 ABC1D1⊥
平面 BCC1B1,平面 CDD1C1⊥平面 ABCD,而二面角 AC1D1C 为 45°,
二面角 ABCC1 为 90°.
则这两个二面角既不相等又不互补.
【答案】 错误
三、解答题
8.如图 2329,在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中,AD∥BC,
∠ABC=90°,PA⊥平面 ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2 3,BC
=6.求证:平面 PBD⊥平面 PAC.
图 2329
【证明】 ∵PA⊥平面 ABCD,
BD⊂平面 ABCD,
∴BD⊥PA.又 tan ∠ABD=AD
AB
= 3
3
,
tan ∠BAC=BC
AB
= 3,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=
90°,即 BD⊥AC.
又 PA∩AC=A,
∴BD⊥平面 PAC.
又 BD⊂平面 PBD,∴平面 PBD⊥平面 PAC.
9.(2016·临沂高一检测)如图 2330,在三棱锥 PABC 中,PC⊥
底面 ABC,AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点.
【导学号:09960080】
图 2330
(1)求证:DE∥平面 PAC;
(2)求证:AB⊥PB;
(3)若 PC=BC,求二面角 PABC 的大小.
【解】 (1)证明:因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点,
所以 DE∥PA.
又因为 PA⊂平面 PAC,DE⊄平面 PAC,
所以 DE∥平面 PAC.
(2)证明:因为 PC⊥底面 ABC,AB⊂底面 ABC,
所以 PC⊥AB.
又因为 AB⊥BC,PC∩BC=C,
所以 AB⊥平面 PBC,
又因为 PB⊂平面 PBC,
所以 AB⊥PB.
(3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC,
所以∠PBC 即为二面角 PABC 的平面角,
因为 PC=BC,∠PCB=90°,
所以∠PBC=45°,
所以二面角 PABC 的大小为 45°.
[自我挑战]
10.如图 2331 所示,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,
∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面
BCD,构成三棱锥 ABCD.则在三棱锥 ABCD 中,下列命题正确的是
( )
图 2331
A.AD⊥平面 BCD
B.AB⊥平面 BCD
C.平面 BCD⊥平面 ABC
D.平面 ADC⊥平面 ABC
【解析】 在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,
∠BAD=90°,所以 BD⊥CD,
又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD,
所以 CD⊥平面 ABD,所以 CD⊥AB,
又 AD⊥AB,AD∩CD=D,
故 AB⊥平面 ADC,从而平面 ABC⊥平面 ADC.
【答案】 D
11.如图 2332 所示,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1
的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3.
图 2332
(1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB;
(2)求二面角 ABEP 的大小.
【导学号:09960081】
【解】 (1)证明:如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD
=60°,知△BCD 是等边三角形.
因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD.
又 AB∥CD,所以 BE⊥AB.
又因为 PA⊥平面 ABCD,
BE⊂平面 ABCD,
所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A,
因此 BE⊥平面 PAB.
又 BE⊂平面 PBE,
所以平面 PBE⊥平面 PAB.
(2)由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB⊂平面 PAB,
所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE,
所以∠PBA 是二面角 ABEP 的平面角.
在 Rt△PAB 中,tan∠PBA=PA
AB
= 3,
则∠PBA=60°.
故二面角 ABEP 的大小是 60°.
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