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- 2021-06-16 发布
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“空间位置关系”双基过关检测
一、选择题
1.设三条不同的直线 l1,l2,l3,满足 l1⊥l3,l2⊥l3,则 l1 与 l2( )
A.是异面直线
B.是相交直线
C.是平行直线
D.可能相交、平行或异面
解析:选 D 如图所示,在正方体 ABCDEFGH 中,AB⊥AD,
AE⊥AD,则 AB∩AE=A;AB⊥AE,AE⊥DC,则 AB∥DC;AB⊥AE,
FH⊥AE,则 AB 与 FH 是异面直线,故选 D.
2.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是( )
A.A1B∥D1B1
B.AC1⊥B1C
C.A1B 与平面 DD1B1B 成 45°角
D.A1B 与 B1C 成 30°角
解析:选 B 易知四边形 BDD1B1 是平行四边形,所以 DB∥D1B1,
又因为 A1B 与 DB 相交,所以 A1B 与 D1B1 是异面直线,故 A 错误;连
接 A1C1 交 B1D1 于点 O,连接 BO,易知 A1C1 垂直平面 DD1B1B,所以
A1B 与平面 DD1B1B 成 30°角,故 C 错误;连接 A1D,则三角形 A1BD 是
等边三角形,且 A1D∥B1C,则 A1B 与 B1C 成 60°角,故 D 错误,选 B.
3.已知空间两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面α,β,则下列命题中正确的是
( )
A.若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n
B.若 m∥α,n⊥β,α⊥β,则 m∥n
C.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n
D.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n
解析:选 D 若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m 与 n 平行或异面,即 A 错误;
若 m∥α,n⊥β,α⊥β,则 m 与 n 相交或平行或异面,即 B 错误;
若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m 与 n 相交、平行或异面,即 C 错误,故选 D.
4.(2018·广东模拟)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形
ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点,在此几何体中,给
出下面四个结论:
①BE 与 CF 异面;
②BE 与 AF 异面;
③EF∥平面 PBC;
④平面 BCE⊥平面 PAD.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 B 画出该几何体,如图,
因为 E,F 分别是 PA,PD 的中点,所以 EF∥AD,
所以 EF∥BC,BE 与 CF 是共面直线,故①不正确;
②BE 与 AF 满足异面直线的定义,故②正确;
③由 E,F 分别是 PA,PD 的中点,可知 EF∥AD,所以 EF∥BC,因为 EF⊄平面 PBC,
BC⊂平面 PBC,所以 EF∥平面 PBC,故③正确;
④因为 BE 与 PA 的关系不能确定,所以不能判定平面 BCE⊥平面 PAD,故④不正确.故
选 B.
5.如图所示,P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,矩形对角线交点为 O,
M 为 PB 的中点,给出下列五个结论:①PD∥平面 AMC;②OM∥平面
PCD;③OM∥平面 PDA;④OM∥平面 PBA;⑤OM∥平面 PBC.其中正
确的个数有( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 C 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,
所以 O 为 BD 的中点.
在△PBD 中,M 是 PB 的中点,
所以 OM 是△PBD 的中位线,OM∥PD,
则 PD∥平面 AMC,OM∥平面 PCD,且 OM∥平面 PDA.
因为 M∈PB,所以 OM 与平面 PBA、平面 PBC 相交.
6.(2018·余姚模拟)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分
别是 BC1,CD1 的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN 与 CC1 垂直
B.MN 与 AC 垂直
C.MN 与 BD 平行
D.MN 与 A1B1 平行
解析:选 D 如图,连接 C1D,在△C1DB 中,MN∥BD,故 C
正确;∵CC1⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN
与 CC1 垂直,故 A 正确;∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN 与 AC 垂直,
故 B 正确,故选 D.
7.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两
个动点 E,F,且 EF=1
2
,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面 ABCD
C.三棱锥 ABEF 的体积为定值
D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
解析:选 D 因为 AC⊥平面 BDD1B1,BE⊂平面 BDD1B1,所以 AC⊥BE,A 项正确;
根据线面平行的判定定理,知 B 项正确;因为三棱锥的底面△BEF 的面积是定值,且点 A
到平面 BDD1B1 的距离是定值 2
2
,所以其体积为定值,C 项正确;很显然,点 A 和点 B 到
EF 的距离不相等,故 D 项错误.
8.(2018·福州质检)在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在
空间中与直线 A1B1,EF,BC 都相交的直线( )
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
解析:选 D 在 EF 上任意取一点 M,直线 A1B1 与 M 确定一个
平面,这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N,当 M 的位置不同时确
定不同的平面,从而与 BC 有不同的交点 N,而直线 MN 与 A1B1,
EF,BC 分别有交点 P,M,N,如图,故有无数条直线与直线 A1B1,
EF,BC 都相交.
二、填空题
9.如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c 为三条交线,且 a∥b,则 a,b,c 的位
置关系是________.
解析:∵a∥b,a⊂α,b⊄α,∴b∥α.
又∵b⊂β,α∩β=c,∴b∥c.∴a∥b∥c.
答案:a∥b∥c
10.(2018·天津六校联考)设 a,b 为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给
出下列命题:
①若 a∥α且 b∥α,则 a∥b;
②若 a⊥α且 a⊥β,则α∥β;
③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;
④若α⊥β,则一定存在直线 l,使得 l⊥α,l∥β.
其中真命题的序号是________.
解析:①中 a 与 b 也可能相交或异面,故不正确.
②垂直于同一直线的两平面平行,正确.
③中存在γ,使得γ与α,β都垂直,正确.
④中只需直线 l⊥α且 l⊄β就可以,正确.
答案:②③④
11.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 CC1,AD 的中
点,那么异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于________.
解析:取 BB1 的中点 G,连接 FG,A1G,易得 A1G∥D1E,
则∠FA1G 是异面直线 D1E 和 A1F 所成角或补角,
易得 A1F=A1G= 5,FG= 6,
在三角形 FA1G 中,
利用余弦定理可得 cos∠FA1G= 5+5-6
2× 5× 5
=2
5.
答案:2
5
12.(2017·全国卷Ⅲ)a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角
边 AC 所在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 30°角;
②当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 60°角;
③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°;
④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°.
其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)
解析:由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,
又 AC⊥a,AC⊥b,AC⊥圆锥底面,
∴在底面内可以过点 B,作 BD∥a,交底面圆 C 于点 D,
如图所示,连接 DE,则 DE⊥BD,∴DE∥b,连接 AD,
设 BC=1,在等腰△ABD 中,AB=AD= 2,
当直线 AB 与 a 成 60°角时,∠ABD=60°,故 BD= 2,
又在 Rt△BDE 中,BE=2,∴DE= 2,
过点 B 作 BF∥DE,交圆 C 于点 F,连接 AF,EF,
∴BF=DE= 2,
∴△ABF 为等边三角形,
∴∠ABF=60°,即 AB 与 b 成 60°角,故②正确,①错误.
由最小角定理可知③正确;
很明显,可以满足平面 ABC⊥直线 a,
∴直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90°,④错误.
∴正确的说法为②③.
答案:②③
三、解答题
13.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线 A1B 与 B1C1
所成的角等于 60°,设 AA1=a.
(1)求 a 的值;
(2)求三棱锥 B1A1BC 的体积.
解:(1)∵BC∥B1C1,
∴∠A1BC 就是异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角,
即∠A1BC=60°.
又 AA1⊥平面 ABC,AB=AC,则 A1B=A1C,
∴△A1BC 为等边三角形,
由 AB=AC=1,∠BAC=90°⇒BC= 2,
∴A1B= 2⇒ 1+a2= 2⇒a=1.
(2)∵CA⊥A1A,CA⊥AB,A1A∩AB=A,
∴CA⊥平面 A1B1B,
∴VB1A1BC=VCA1B1B=1
3
×1
2
×1=1
6.
14.如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB=
4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F 分别是棱 AD,AA1,AB 的中点.
(1)证明:直线 EE1∥平面 FCC1;
(2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
证明:(1)∵F 是 AB 的中点,AB∥ CD,AB=4,BC=CD=2,
∴AF 綊 CD,∴四边形 AFCD 为平行四边形,
∴CF∥AD.
又 ABCDA1B1C1D1 为直四棱柱,
∴C1C∥D1D.
而 FC∩C1C=C,D1D∩DA=D,
∴平面 ADD1A1∥平面 FCC1.
∵EE1⊂平面 ADD1A1,
∴EE1∥平面 FCC1.
(2)在直四棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD,
∴CC1⊥AC,
∵底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4,BC=2,F 是棱 AB 的中点,
∴CF=AD=BF=2,
∴△BCF 为正三角形,∠BCF=∠CFB=60°,
∠FCA=∠FAC=30°,
∴AC⊥BC.
又 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,
∴AC⊥平面 BB1C1C,而 AC⊂平面 D1AC,
∴平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
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