高二数学人教a必修5练习：2-5等比数列的前n项和（二）word版含解析 5页

§2.5 等比数列的前 n 项和(二) 课时目标 1．熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题． 1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，当公比 q≠1 时，Sn＝a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q ；当 q＝1 时，Sn＝na1. 2．等比数列前 n 项和的性质： (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1 或 m 为 奇数) (2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q 为数列{an}的公比)． (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列，则S 偶 S 奇 ＝q. 3．解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型． 一、选择题 1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项 a1＝3，前 3 项和为 21，则 a3＋a4＋a5 等于 ( ) A．33 B．72 C．84 D．189 答案 C 解析 由 S3＝a1(1＋q＋q2)＝21 且 a1＝3，得 q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5 ＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84. 2．某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内， 该厂的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1) 答案 D 解析 注意去年产值为 a，今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)． 3．已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3＝S6，则数列{ 1 an }的 前 5 项和为( ) A.15 8 或 5 B.31 16 或 5 C.31 16 D.15 8 答案 C 解析 若 q＝1，则由 9S3＝S6 得 9×3a1＝6a1， 则 a1＝0，不满足题意，故 q≠1. 由 9S3＝S6 得 9×a11－q3 1－q ＝a11－q6 1－q ， 解得 q＝2. 故 an＝a1qn－1＝2n－1， 1 an ＝(1 2)n－1. 所以数列{ 1 an }是以 1 为首项，1 2 为公比的等比数列，其前 5 项和为 S5＝ 1×[1－1 2 5] 1－1 2 ＝31 16. 4．一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则 第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A．300 米 B．299 米 C．199 米 D．166 米 答案 A 解 析 小 球 10 次 着 地 共 经 过 的 路 程 为 100 ＋ 100 ＋ 50 ＋ … ＋ 100× 1 2 8 ＝ 29939 64 ≈300(米)． 5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则 S20 等于( ) A．90 B．70 C．40 D．30 答案 C 解析 q≠1 (否则 S30＝3S10)， 由 S30＝13S10 S10＋S30＝140 ，∴ S10＝10 S30＝130 ， ∴ a11－q10 1－q ＝10 a11－q30 1－q ＝130 ，∴q20＋q10－12＝0. ∴q10＝3，∴S20＝a11－q20 1－q ＝S10(1＋q10) ＝10×(1＋3)＝40. 6．某企业在今年年初贷款 a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预 计五年内还清，则每年应偿还( ) A. a1＋γ 1＋γ5－1 万元 B. aγ1＋γ5 1＋γ5－1 万元 C. aγ1＋γ5 1＋γ4－1 万元 D. aγ 1＋γ5 万元 答案 B 解析 设每年偿还 x 万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5， ∴x＝ aγ1＋γ5 1＋γ5－1 . 二、填空题 7．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1,2S2,3S3 成等差数列，则{an}的公比为________． 答案 1 3 解析 由已知 4S2＝S1＋3S3，即 4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)． ∴a2＝3a3， ∴{an}的公比 q＝a3 a2 ＝1 3. 8．在等比数列{an}中，已知 S4＝48，S8＝60，则 S12＝ ________________________________________________________________________. 答案 63 解析 方法一 ∵S8≠2S4，∴q≠1， 由已知得 a11－q4 1－q ＝48 ① a11－q8 1－q ＝60 ② 由②÷①得 1＋q4＝5 4 ，∴q4＝1 4 ③ 将③代入①得 a1 1－q ＝64， ∴S12＝a11－q12 1－q ＝64(1－ 1 43)＝63. 方法二 因为{an}为等比数列， 所以 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等比数列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以 S3n＝S2n－Sn2 Sn ＋S2n， 所以 S12＝S8－S42 S4 ＋S8＝60－482 48 ＋60＝63. 9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 2 个伙伴；第 2 天，3 只蜜蜂飞 出去，各自找回了 2 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6 天所有的蜜蜂都归巢 后，蜂巢中一共有________只蜜蜂． 答案 729 解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，∴第 6 天所有蜜蜂归 巢后，蜜蜂总数为 a6＝36＝729(只)． 10．某工厂月生产总值的平均增长率为 q，则该工厂的年平均增长率为________． 答案 (1＋q)12－1 解析 设第一年第 1 个月的生产总值为 1，公比为(1＋q)，该厂第一年的生产总值为 S1 ＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11. 则第 2 年第 1 个月的生产总值为(1＋q)12， 第 2 年全年生产总值 S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1， ∴该厂生产总值的平均增长率为S2－S1 S1 ＝S2 S1 －1＝(1＋q)12－1. 三、解答题 11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿区计划 从 2010 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2010 年最多出口多 少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35. 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1＝a，公比 q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)． (2)10 年的出口总量 S10＝a1－0.910 1－0.9 ＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即 a≤ 8 1－0.910 ，∴a≤12.3. 故 2010 年最多出口 12.3 吨． 12．某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车，有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力型 公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%，试问： (1)该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1 3 ？(lg 657＝2.82，lg 2 ＝0.30，lg 3＝0.48) 解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中 a1＝128，q＝1.5， 则在 2015 年应该投入的电力型公交车为 a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)． (2)记 Sn＝a1＋a2＋…＋an， 依据题意，得 Sn 10 000＋Sn >1 3 ， 于是 Sn＝1281－1.5n 1－1.5 >5 000(辆)，即 1.5n>657 32 . 两边取常用对数，则 n·lg 1.5>lg 657 32 ， 即 n>lg 657－5lg 2 lg 3－lg 2 ≈7.3，又 n∈N＋，因此 n≥8. 所以到 2016 年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1 3. 能力提升 13．有纯酒精 a L(a>1)，从中取出 1 L，再用水加满，然后再取出 1 L，再用水加满， 如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L. 答案 1－1 a 8 2－1 a 解析 用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为a－1 a ＝1－1 a ，a2＝1－1 a ，加 水后浓度为 1－1 a a－1 a ＝ 1－1 a 2，a3＝ 1－1 a 2， 依次类推：a9＝ 1－1 a 8，a10＝ 1－1 a 9. ∴ 1－1 a 8＋ 1－1 a 9＝ 1－1 a 8 2－1 a . 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年 便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年 可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元，两方案使用期都是 10 年，到期后一次性归 还本息，若银行贷款利息均按本息 10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到 千元，数据 1.110≈2.594,1.310≈13.79) 解 甲方案 10 年中每年获利数组成首项为 1，公比为 1＋30%的等比数列，其和为 1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－1 1.3－1 ≈42.63(万元)， 到期时银行贷款的本息为 10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)． 乙方案 10 年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝101＋5.5 2 ＝32.50(万元)， 而贷款本利和为 1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1×1.110－1 1.1－1 ≈17.53(万元)． ∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 32．50－17.53≈15.0(万元)， 比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利． 1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降 低解题的运算量，从而减少错误． 2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定 a1 与项数 n 的实际 含义，同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题．