高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 7页

3.1.5 空间向量运算的坐标表示 课时目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向 量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两 点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题． 1．空间向量的直角坐标运算律 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝______________； (2)a－b＝________________； (3)λa＝____________(λ∈R)； (4)a·b＝________________； (5)a∥b⇔________________； (6)a⊥b⇔________________. 2．几个重要公式 (1)若 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则AB→＝________________________.即一个向量在空间 直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐 标． (2)模长公式：若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a·a＝______________，|b|＝ b·b ＝________________. (3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________ ＝________________________ (a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))． (4)两点间的距离公式：若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则 AB  ＝ 2 AB  =_________. 一、选择题 1．在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 A 的坐标为(－1,2,1)，点 B 的坐标为(1,3,4)，则 ( ) A.AB→ ＝(－1,2,1) B.AB→ ＝(1,3,4) C..AB→ ＝(2,1,3) D.AB→ ＝(－2，－1，－3) 2．已知 a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( ) A．x＝1 3 ，y＝1 B．x＝1 2 ，y＝－4 C．x＝2，y＝－1 4 D．x＝1，y＝－1 3．若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a1 b1 ＝a2 b2 ＝a3 b3 是 a∥b 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 的值是( ) A．1 B.1 5 C.3 5 D.7 5 5．已知 a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A. 65 B. 65 2 C．4 D．8 6．已知 a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是( ) A. 5 5 B. 55 5 C.3 5 5 D.11 5 二、填空题 7．已知 A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点 P(x，－1,3)在平面 ABC 内，则 x＝______. 8．若(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－5b)，则 a 与 b 的夹角的余弦值为________． 9.已知 A（1，－1,2），B(5,-6,2)C(1,3-1)则AB→ 在AC→上的投影为______． 三、解答题 10．设 a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求 k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求 k. 11．在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取 A1B1、A1A 的中点分别为 P、Q. （1）求向量BQ→ 的长； （2）cos〈BQ→ ，CB1 → 〉，cos〈BA1 → ，CB1 → 〉，并比较〈BQ→ ，CB1 → 〉与〈BA1 → ，CB1 → 〉的大小； (3)求证：AB1⊥C1P. 能力提升 12．在长方体 OABC—O1A1B1C1 中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E 是 BC 的中点，建立空 间直角坐标系，用向量方法解下列问题： (1)求直线 AO1 与 B1E 所成的角的余弦值； (2)作 O1D⊥AC 于 D，求点 O1 到点 D 的距离． 13．在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，在棱 BB1 上是否存在点 M，使得 D1M⊥平面 EFB1? 1．空间向量在几何中的应用 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利 用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算 即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用． 2．关于空间直角坐标系的建立 建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使 尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标． 3．1.5 空间向量运算的坐标表示 知识梳理 1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)(λa1，λa2，λa3) (4)a1b1 ＋a2b2＋a3b3 (5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) (6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) 终点 起点 (2) a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23 (3) a·b |a||b| a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23 (4)      2 2 2 2 1 2 1 2 1x x y y z z    作业设计 1．C 2．B [∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1 ＋2x)＝4(2－x)且 3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝1 2 ，y＝－4.] 3．A [设a1 b1 ＝a2 b2 ＝a3 b3 ＝k，易知 a∥b，即条件具有充分性．又若 b＝0 时，b＝(0,0,0)， 虽有 a∥b，但条件a1 b1 ＝a2 b2 ＝a3 b3 显然不成立，所以条件不具有必要性，故选 A.] 4．D [∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)， ∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝7 5.] 5．A [设向量 a、b 的夹角为θ， 于是 cos θ＝4－2＋2 3×3 ＝4 9 ，由此可得 sin θ＝ 65 9 . 所以以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为 S＝2×1 2×3×3× 65 9 ＝ 65.] 6．C [∵|b－a|＝ b－a 2＝ 1＋t 2＋ 2t－1 2 ＝ 5 t－1 5 2＋9 5≥ 9 5 ＝3 5 5 ， ∴|b－a|的最小值是3 5 5 .] 7．11 解析 ∵点 P 在平面 ABC 内，∴存在实数 k1，k2， 使AP→＝k1AB→＋k2AC→， 即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)， ∴ 2k1＋6k2＝－2， k1＋4k2＝0， 解得 k1＝－4， k2＝1. ∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即 x＝11. 8．1 解析 由题意知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－5a·b＋21a·b－15|b|2＝7|a|2＋16a·b－15b2＝0，① 且(a－4b)·(7a－5b)＝7|a|2－33a·b＋20|b|2＝0，② ①－②得 49a·b＝35|b|2. ∴|a|2＝25 49|b|2，∴|b| |a| ＝7 5. ∴cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ 35 49|b|2 |a||b| ＝35 49·|b| |a| ＝1. 9．－4 解析 ∵AB→＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)． AC→＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)， ∴cos〈AB→，AC→〉＝    2 22 2 0 20 0 5 34 4      ＝－ 20 5 41 ， AB→在AC→上的投影为|AB→|cos〈AB→，AC→〉 ＝   22 54   × － 20 5 41 ＝－4. 10．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)， a－3b＝(7，－4，－16)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)， 则k－2 7 ＝5k＋3 －4 ＝－k＋5 －16 ， 解得 k＝－1 3. (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得 k＝106 3 . 11．解 以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，则由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)， B(0,1,0)， C1(0,0,2)， P 1 2 ，1 2 ，2 ，Q(1,0,1)， B1(0,1,2)，A1(1,0,2)． ∴BQ→＝(1，－1,1)，CB1 →＝(0,1,2)， BA1 →＝(1，－1,2)，AB1 →＝(－1,1,2)， C1P→＝ 1 2 ，1 2 ，0 . (1)| BQ→|＝ BQ BQ  ＝ 12＋ －1 2＋12＝ 3. (2)∵BQ→·CB1 →＝0－1＋2＝1，|BQ→|＝ 3， |CB1 →|＝ 02＋12＋22＝ 5， ∴cos〈BQ→，CB1 →〉＝ 1 3× 5 ＝ 15 15 . 又BA1 →·CB1 →＝0－1＋4＝3， |BA1 →|＝ 1＋1＋4＝ 6，|CB1 →|＝ 5， ∴cos〈BA1 →，CB1 →〉＝ 3 30 ＝ 30 10 . 又 0< 15 15 < 30 10 <1， ∴〈BQ→，CB1 →〉，〈BA1 →，CB1 →〉∈ 0，π 2 . 又 y＝cos x 在 0，π 2 内单调递减， ∴〈BQ→，CB1 →〉>〈BA1 →，CB1 →〉． (3)证明 ∵AB1 →·C1P→＝(－1,1,2)· 1 2 ，1 2 ，0 ＝0， ∴AB1 →⊥C1P→. 12．解 建立如图所示的空间直角坐标系． (1)由题意得 A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)． ∴AO1 →＝(－2,0,2)， B1E→＝(－1,0，－2)， ∴cos〈AO1 →，B1E→〉＝ －2 2 10 ＝－ 10 10 ， ∴AO1 与 B1E 所成角的余弦值为 10 10 . (2)由题意得O1D→⊥AC→，AD→∥AC→， ∵C(0,3,0)，设 D(x，y,0)， ∴O1D→＝(x，y，－2)，AD→＝(x－2，y,0)，AC→＝(－2,3,0)， ∴ －2x＋3y＝0， x－2 －2 ＝y 3 ， 解得 x＝18 13 ， y＝12 13. ∴D 18 13 ，12 13 ，0 ， ∴O1D＝|O1D→|＝ 18 13 2＋ 12 13 2＋4＝2 286 13 . 即点 O1 到点 D 的距离为2 286 13 . 13．解 如图所示，分别以DA→，DC→，DD1 →为单位正交基底，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D1(0,0,1)， B1(1,1,1)， E 1，1 2 ，0 ，F 1 2 ，1，0 ，设 M(1,1，m)，∴EF→＝ －1 2 ，1 2 ，0 ， B1E→＝ 0，－1 2 ，－1 ，D1M→＝(1,1，m－1)． 若 D1M⊥平面 EFB1， 则 D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. 即D1M→·EF→＝0，D1M→·B1E→＝0， ∴ －1 2 ＋1 2 ＋ m－1× 0＝0 0－1 2 ＋1－m＝0 ，∴m＝1 2 ， 即存在点 M 且为 B1B 的中点，使 D1M⊥平面 EFB1.