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- 2021-06-16 发布
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2009年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1. i是虚数单位,5i2-i=( )
A.1+2i B.-1-2i C.1-2i D.-1+2i
2. 设变量x,y满足约束条件:x+y≥3x-y≥-12x-y≤3 ,则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.23
3. 命题“存在x0∈R,2x2-1≤0”的否定是( )
A.不存在x0∈R,2x02-1>0 B.存在x0∈R,2x02-1>0
C.对任意的x∈R,2x2-1≤0 D.对任意的x∈R,2x2-1>0
4. 设函数f(x)=13x-lnx(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间(1e, 1),(1, e)内均有零点
B.在区间(1e, 1),(1, e)内均无零点
C.在区间(1e, 1)内无零点,在区间(1, e)内有零点
D.在区间(1e, 1)内有零点,在区间(1, e)内无零点
5. 阅读程序框图,则输出的S=( )
A.26 B.35 C.40 D.57
6. 设a>0,b>0.若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.14
7. 已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R, ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移π8个单位长度 B.向右平移π8个单位长度
C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移π4个单位长度
8. 已知函数f(x)=x2+4xx≥0,4x-x2x<0.若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞, -1)∪(2, +∞) B.(-1, 2)
C.(-2, 1) D.(-∞, -2)∪(1, +∞)
9. 设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(3, 0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF=( )
12 / 12
A.45 B.23 C.47 D.12
10. 0(ax)2的解集中的整数恰有3个,则( )
A.-10)的公共弦的长为23,则a=________.
15. 在四边形ABCD中,AB→=DC→=(1, 1),1|BA→|BA→+1|BC→|BC→=3|BD→|BD→,则四边形ABCD的面积是________.
16. 用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)
三、解答题(共6小题,满分76分)
17. 已知:△ABC中,BC=1,AC=5,sinC=2sinA
(1)求AB的值.
(2)求sin(2A-π4)的值.
18. 在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:
(I)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;
(II)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
12 / 12
19. 如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD // BC // FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=12AD,
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(2)证明平面AMD⊥平面CDE;
(3)求二面角A-CD-E的余弦值.
20. 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)当a≠23时,求函数f(x)的单调区间和极值.
21. 以知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c, 0)和F2(c, 0)(c>0),过点E(a2c,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A // F2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m, n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求nm的值.
22. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(q>1).设sn=a1b1+a2b2+...+anbn,Tn=a1b1-a2b2+...+(-1)n-1anbn,n∈N+,
(1)若a1(2)=b1(3)=1,d=2,q=3,求S3的值;
(II)若b1(6)=1,证明(1-q)S2n-(1+q)T2n=2dq(1-q2n)1-q2,n∈(10)N+;
(III)若正数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,c1=ak1b1+ak2b2+...+aknbn,c2=al1b1+al2b2+...+alnbn证明c1≠c2.
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参考答案与试题解析
2009年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.D
【分析】
解:5i2-i=5i(2+i)5=-1+2i,
故选D.
2.B
【分析】
画出不等式x+y≥3x-y≥-12x-y≤3 .表示的可行域,如图,
让目标函数表示直线y=-2x3+z3在可行域上平移,
知在点B自目标函数取到最小值,
解方程组x+y=32x-y=3 得(2, 1),
所以zmin=4+3=7,
3.D
【分析】
解:结论的否定形式为:2x2-1>0
∴ 原命题的否定为:D.
故选D.
4.C
【分析】
解:由题得f'(x)=x-33x,
令f'(x)>0得x>3;
令f'(x)<0得00,
f(e)=e3-1<0,f(1e)=13e+1>0.
故选C.
5.C
【分析】
解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+...+14的值
∵ S=2+5+8+...+14=40.
故选C.
6.B
【分析】
解:因为3a⋅3b=3,所以a+b=1,
1a+1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4,
当且仅当ba=ab即a=b=12时“=”成立,
故选择B.
7.A
【分析】
解:由题知ω=2,
所以f(x)=sin(2x+π4)
=cos[π2-(2x+π4)]
=cos(2x-π4)=cos2(x-π8),
∴ f(x+π8)=cos2(x+π8-π8)=cos2x.
故选A.
8.C
【分析】
解:f(x)=x2+4x=(x+2)2-4,x≥04x-x2=-(x-2)2+4,x<0
由f(x)的解析式可知,f(x)在(-∞, +∞)上是单调递增函数,
再由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a
即a2+a-2<0,解得-2(ax)2
即(a2-1)x2+2bx-b2<0,它的解应在两根之间,
因此应有a2-1>0,解得a>1或a<-1,注意到01,
故有△=4b2+4b2(a2-1)=4a2b2>0,
不等式的解集为-ba-11,并结合已知条件02a-2
b<3a-3
又02a-2
3a-3>0
解得123,则-2aa-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞, a-2)
a-2
(a-2, -2a)
-2a
(-2a, +∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
F(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(-∞, a-2),(-2a, +∞)内是增函数,在(a-2, -2a)内是减函数
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2,
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
【分析】
(1)解:当a=0时,f(x)=x2ex,f'(x)=(x2+2x)ex,故f'(1)=3e,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为3e,f(1)=e,
所以该切线方程为y-e=3e(x-1),
整理得:3ex-y-2e=0.
(2)解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex
令f'(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2.由a≠23知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论.
①若a>23,则-2aa-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞, a-2)
a-2
(a-2, -2a)
-2a
(-2a, +∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
F(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(-∞, a-2),(-2a, +∞)内是增函数,在(a-2, -2a)内是减函数
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2,
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
21.(1)解:由F1A // F2B且|F1A|=2|F2B|,
得|EF2EF1|=|F2BF1A|=12,从而a2c-ca2c+c=12
整理,得a2=3c2,故离心率e=ca=33
(2)解:由(I)得b2=a2-c2=2c2,
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为y=k(x-a2c),即y=k(x-3c).
由已知设A(x1, y1),B(x2, y2),
则它们的坐标满足方程组y=k(x-3c)2x2+3y2=6c2
消去y整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.
依题意,△=48c2(1-3k2)>0,得-330,得-33li,同理可得c1-c2db1<-1,因此c1≠c2.综上c1≠c2.
【分析】
(I)解:由题设,可得an=2n-1,bn=3n-1,n∈N*
所以,S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55
(II)证明:由题设可得bn=qn-1则S2n=a1+a2q+a3q2+...+a2nq2n-1,①
T2n=a1-a2q+a3q2-a4q3+...-a2nq2n-1,
S2n-T2n=2(a2q+a4q3+...-a2nq2n-1)
1式加上②式,得S2n+T2n=2(a1+a3q2+...+a2n-1q2n-2)③
2式两边同乘q,得q(S2n+T2n)=2(a1q+a3q3+...+a2n-1q2n-1)
12 / 12
所以,(1-q)S2n-(1+q)T2n=(S2n-T2n)-q(S2n+T2n)
=2d(q+q3+...+q2n-1)
=2dq(1-q2n)1-q2,n∈N*
(III)证明:c1-c2=(ak1-al1)b1+(ak2-al2)b2+...+(akn-aln)bn
=(k1-l1)db1+(k2-l2)db1q+...+(kn-ln)db1qn-1
因为d≠0,b1≠0,所以c1-c2db1=(k1-l1)+(k2-l2)q++(kn-ln)qn-1
若kn≠ln,取i=n
若kn=ln,取i满足ki≠li且kj=lj,i+1≤j≤n,
由题设知,1li,同理可得c1-c2db1<-1,因此c1≠c2.综上c1≠c2.
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