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  • 2021-06-16 发布

2009年天津市高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年天津市高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. i是虚数单位,‎5i‎2-i‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1+2i B.‎-1-2i C.‎1-2i D.‎‎-1+2i ‎2. 设变量x,y满足约束条件:x+y≥3‎x-y≥-1‎‎2x-y≤3‎‎ ‎,则目标函数z=‎2x+3y的最小值为( )‎ A.‎6‎ B.‎7‎ C.‎8‎ D.‎‎23‎ ‎3. 命题“存在x‎0‎‎∈R,‎2x‎2‎-1≤0‎”的否定是( )‎ A.不存在x‎0‎‎∈R,‎2x‎0‎‎2‎-1>0‎ B.存在x‎0‎‎∈R,‎‎2x‎0‎‎2‎-1>0‎ C.对任意的x∈R,‎2x‎2‎-1≤0‎ D.对任意的x∈R,‎‎2x‎2‎-1>0‎ ‎4. 设函数f(x)=‎1‎‎3‎x-lnx(x>0)‎,则y=f(x)(‎       ‎‎)‎ A.在区间‎(‎1‎e, 1)‎,‎(1, e)‎内均有零点 B.在区间‎(‎1‎e, 1)‎,‎(1, e)‎内均无零点 C.在区间‎(‎1‎e, 1)‎内无零点,在区间‎(1, e)‎内有零点 D.在区间‎(‎1‎e, 1)‎内有零点,在区间‎(1, e)‎内无零点 ‎5. 阅读程序框图,则输出的S=(‎ ‎‎)‎ A.‎26‎ B.‎35‎ C.‎40‎ D.‎‎57‎ ‎6. 设a>0‎,b>0‎.若‎3‎是‎3‎a与‎3‎b的等比中项,则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为( )‎ A.‎8‎ B.‎4‎ C.‎1‎ D.‎‎1‎‎4‎ ‎7. 已知函数f(x)‎=sin(ωx+π‎4‎)(x∈R, ω>0)‎的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)‎的图象(        )‎ A.向左平移π‎8‎个单位长度 B.向右平移π‎8‎个单位长度 C.向左平移π‎4‎个单位长度 D.向右平移π‎4‎个单位长度 ‎8. 已知函数f(x)=‎x‎2‎‎+4xx≥0,‎‎4x-‎x‎2‎x<0.‎若f(2-a‎2‎)>f(a)‎,则实数a的取值范围是(        )‎ A.‎(-∞, -1)∪(2, +∞)‎ B.‎‎(-1, 2)‎ C.‎(-2, 1)‎ D.‎‎(-∞, -2)∪(1, +∞)‎ ‎9. 设抛物线y‎2‎=‎2x的焦点为F,过点M(‎3‎, 0)‎的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,‎|BF|‎=‎2‎,则‎△BCF与‎△ACF的面积之比S‎△BCFS‎△ACF‎=(‎ ‎‎)‎ ‎ 12 / 12‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎‎7‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎10. ‎0(ax‎)‎‎2‎的解集中的整数恰有‎3‎个,则( )‎ A.‎-10)‎的公共弦的长为‎2‎‎3‎,则a=‎________.‎ ‎15. 在四边形ABCD中,AB‎→‎‎=DC‎→‎=(1, 1)‎,‎1‎‎|BA‎→‎|‎BA‎→‎‎+‎1‎‎|BC‎→‎|‎BC‎→‎=‎‎3‎‎|BD‎→‎|‎BD‎→‎,则四边形ABCD的面积是________.‎ ‎16. 用数字‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎,‎6‎组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)‎ 三、解答题(共6小题,满分76分)‎ ‎17. 已知:‎△ABC中,BC=1‎,AC=‎‎5‎,‎sinC=2sinA ‎(1)求AB的值.‎ ‎(2)求sin(2A-π‎4‎)‎的值.‎ ‎18. 在‎10‎件产品中,有‎3‎件一等品,‎4‎件二等品,‎3‎件三等品.从这‎10‎件产品中任取‎3‎件,求:‎ ‎(I)‎取出的‎3‎件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;‎ ‎(II)‎取出的‎3‎件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.‎ ‎ 12 / 12‎ ‎19. 如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥‎平面ABCD,AD // BC // FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=‎1‎‎2‎AD,‎ ‎(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;‎ ‎(2)证明平面AMD⊥‎平面CDE;‎ ‎(3)求二面角A-CD-E的余弦值.‎ ‎20. 已知函数f(x)=(x‎2‎+ax-2a‎2‎+3a)ex(x∈R)‎,其中a∈R.‎ ‎(1)当a=0‎时,求曲线y=f(x)‎在点(‎1, f(1)‎)处的切线方程;‎ ‎(2)当a≠‎‎2‎‎3‎时,求函数f(x)‎的单调区间和极值.‎ ‎21. 以知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的两个焦点分别为F‎1‎‎(-c, 0)‎和F‎2‎‎(c, 0)(c>0)‎,过点E(a‎2‎c,0)‎的直线与椭圆相交于A,B两点,且F‎1‎A // F‎2‎B,‎|F‎1‎A|=2|F‎2‎B|‎.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)求直线AB的斜率;‎ ‎(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F‎2‎B上有一点H(m, n)(m≠0)‎在‎△AF‎1‎C的外接圆上,求nm的值.‎ ‎22. 已知等差数列‎{an}‎的公差为d(d≠0)‎,等比数列‎{bn}‎的公比为q(q>1)‎.设sn‎=a‎1‎b‎1‎+a‎2‎b‎2‎+...+‎anbn,Tn‎=a‎1‎b‎1‎-a‎2‎b‎2‎+...+(-1‎‎)‎n-1‎anbn,n∈‎N‎+‎,‎ ‎(1)‎若a‎1‎‎(2)=b‎1‎(3)=1‎,d=2‎,q=3‎,求S‎3‎的值;‎ ‎(II)‎若b‎1‎‎(6)=1‎,证明‎(1-q)S‎2n-(1+q)T‎2n=‎‎2dq(1-q‎2n)‎‎1-‎q‎2‎,n∈(10)‎N‎+‎;‎ ‎(III)‎若正数n满足‎2≤n≤q,设k‎1‎,k‎2‎,…,kn和l‎1‎,l‎2‎,…,ln是‎1‎,‎2‎,…,n的两个不同的排列,c‎1‎‎=ak‎1‎b‎1‎+ak‎2‎b‎2‎+...+‎aknbn,c‎2‎‎=al‎1‎b‎1‎+al‎2‎b‎2‎+...+‎alnbn证明c‎1‎‎≠‎c‎2‎.‎ ‎ 12 / 12‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年天津市高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.D ‎【分析】‎ 解:‎5i‎2-i‎=‎5i(2+i)‎‎5‎=-1+2i,‎ 故选D.‎ ‎2.B ‎【分析】‎ 画出不等式x+y≥3‎x-y≥-1‎‎2x-y≤3‎‎ ‎.表示的可行域,如图,‎ 让目标函数表示直线y=-‎2x‎3‎+‎z‎3‎在可行域上平移,‎ 知在点B自目标函数取到最小值,‎ 解方程组x+y=3‎‎2x-y=3‎‎ ‎得‎(2, 1)‎,‎ 所以zmin=‎4+3‎=‎7‎,‎ ‎3.D ‎【分析】‎ 解:结论的否定形式为:‎‎2x‎2‎-1>0‎ ‎∴ 原命题的否定为:D.‎ 故选D.‎ ‎4.C ‎【分析】‎ 解:由题得f'(x)=‎x-3‎‎3x,‎ 令f'(x)>0‎得x>3‎;‎ 令f'(x)<0‎得‎00‎,‎ f(e)=e‎3‎-1<0‎‎,f(‎1‎e)=‎1‎‎3e+1>0‎.‎ 故选C.‎ ‎5.C ‎【分析】‎ 解:分析程序中各变量、各语句的作用,‎ 再根据流程图所示的顺序,可知:‎ 该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+...+14‎的值 ‎∵ S=2+5+8+...+14=40‎.‎ 故选C.‎ ‎6.B ‎【分析】‎ 解:因为‎3‎a‎⋅‎3‎b=3‎,所以a+b=1‎,‎ ‎1‎a‎+‎1‎b=(a+b)(‎1‎a+‎1‎b)=2+ba+ab≥2+2ba‎⋅‎ab=4‎‎,‎ 当且仅当ba‎=‎ab即a=b=‎‎1‎‎2‎时“‎=‎”成立,‎ 故选择B.‎ ‎7.A ‎【分析】‎ 解:由题知ω=2‎,‎ 所以f(x)=sin(2x+π‎4‎)‎ ‎=cos[π‎2‎-(2x+π‎4‎)]‎ ‎=cos(2x-π‎4‎)=cos2(x-π‎8‎)‎‎,‎ ‎∴ f(x+π‎8‎)=cos2(x+π‎8‎-π‎8‎)=cos2x.‎ 故选A.‎ ‎8.C ‎【分析】‎ 解:‎f(x)=‎x‎2‎‎+4x=(x+2‎)‎‎2‎-4‎‎,x≥0‎‎4x-x‎2‎=-(x-2‎)‎‎2‎+4‎‎,x<0‎ 由f(x)‎的解析式可知,f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎上是单调递增函数,‎ 再由f(2-a‎2‎)>f(a)‎,得‎2-a‎2‎>a ‎ 即a‎2‎‎+a-2<0‎,解得‎-2(ax‎)‎‎2‎ 即‎(a‎2‎-1)x‎2‎+2bx-b‎2‎<0‎,它的解应在两根之间,‎ 因此应有a‎2‎‎-1>0‎,解得a>1‎或a<-1‎,注意到‎01‎,‎ 故有‎△=4b‎2‎+4b‎2‎(a‎2‎-1)=4a‎2‎b‎2‎>0‎,‎ 不等式的解集为‎-ba-1‎‎1‎,并结合已知条件‎02a-2‎ b<3a-3‎ 又‎02a-2‎ ‎3a-3>0‎ 解得‎1‎‎2‎‎3‎,则‎-2aa-2‎,当x变化时,f‎'‎‎(x)‎,f(x)‎的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞, a-2)‎ a-2‎ ‎(a-2, -2a)‎ ‎-2a ‎(-2a, +∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ F(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f(x)‎在‎(-∞, a-2)‎,‎(-2a, +∞)‎内是增函数,在‎(a-2, -2a)‎内是减函数 函数f(x)‎在x=a-2‎处取得极大值f(a-2)‎,且f(a-2)=(4-3a)‎ea-2‎,‎ 函数f(x)‎在x=-2a处取得极小值f(-2a)‎,且f(-2a)=3ae‎-2a.‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解:当a=0‎时,f(x)=‎x‎2‎ex,f‎'‎‎(x)=(x‎2‎+2x)‎ex,故f‎'‎‎(1)=3e,‎ 所以曲线y=f(x)‎在点(‎1, f(1)‎)处的切线的斜率为‎3e,f(1)=e,‎ 所以该切线方程为y-e=3e(x-1)‎,‎ 整理得:‎3ex-y-2e=0‎.‎ ‎(2)解:‎f‎'‎‎(x)=[x‎2‎+(a+2)x-2a‎2‎+4a]‎ex 令f‎'‎‎(x)=0‎,解得x=-2a,或x=a-2‎.由a≠‎‎2‎‎3‎知,‎-2a≠a-2‎.‎ 以下分两种情况讨论.‎ ‎①若a>‎‎2‎‎3‎,则‎-2aa-2‎,当x变化时,f‎'‎‎(x)‎,f(x)‎的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞, a-2)‎ a-2‎ ‎(a-2, -2a)‎ ‎-2a ‎(-2a, +∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ F(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f(x)‎在‎(-∞, a-2)‎,‎(-2a, +∞)‎内是增函数,在‎(a-2, -2a)‎内是减函数 函数f(x)‎在x=a-2‎处取得极大值f(a-2)‎,且f(a-2)=(4-3a)‎ea-2‎,‎ 函数f(x)‎在x=-2a处取得极小值f(-2a)‎,且f(-2a)=3ae‎-2a.‎ ‎21.(1)解:由F‎1‎A // F‎2‎B且‎|F‎1‎A|=2|F‎2‎B|‎,‎ 得‎|EF‎2‎EF‎1‎|=|F‎2‎BF‎1‎A|=‎‎1‎‎2‎,从而a‎2‎c‎-ca‎2‎c‎+c‎=‎‎1‎‎2‎ 整理,得a‎2‎‎=3‎c‎2‎,故离心率e=ca=‎‎3‎‎3‎ ‎(2)解:由‎(I)‎得b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=2‎c‎2‎,‎ 所以椭圆的方程可写为‎2x‎2‎+3y‎2‎=6‎c‎2‎ 设直线AB的方程为y=k(x-a‎2‎c)‎,即y=k(x-3c)‎.‎ 由已知设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,‎ 则它们的坐标满足方程组y=k(x-3c)‎‎2x‎2‎+3y‎2‎=6‎c‎2‎ 消去y整理,得‎(2+3k‎2‎)x‎2‎-18k‎2‎cx+27k‎2‎c‎2‎-6c‎2‎=0‎.‎ 依题意,‎‎△=48c‎2‎(1-3k‎2‎)>0,得-‎3‎‎3‎0,得-‎3‎‎3‎‎li,同理可得c‎1‎‎-‎c‎2‎db‎1‎‎<-1‎,因此c‎1‎‎≠‎c‎2‎.综上c‎1‎‎≠‎c‎2‎.‎ ‎【分析】‎ ‎(I)‎解:由题设,可得an‎=2n-1‎,bn‎=‎‎3‎n-1‎,‎n∈‎N‎*‎ 所以,‎S‎3‎‎=a‎1‎b‎1‎+a‎2‎b‎2‎+a‎3‎b‎3‎=1×1+3×3+5×9=55‎ ‎(II)‎证明:由题设可得bn‎=‎qn-1‎则S‎2n‎=a‎1‎+a‎2‎q+a‎3‎q‎2‎+...+‎a‎2nq‎2n-1‎,①‎ T‎2n‎=a‎1‎-a‎2‎q+a‎3‎q‎2‎-a‎4‎q‎3‎+...-‎a‎2nq‎2n-1‎‎,‎ S‎2n‎-T‎2n=2(a‎2‎q+a‎4‎q‎3‎+...-a‎2nq‎2n-1‎)‎ ‎1‎式加上②式,得S‎2n‎+T‎2n=2(a‎1‎+a‎3‎q‎2‎+...+a‎2n-1‎q‎2n-2‎)‎③‎ ‎2‎式两边同乘q,得q(S‎2n+T‎2n)=2(a‎1‎q+a‎3‎q‎3‎+...+a‎2n-1‎q‎2n-1‎)‎ ‎ 12 / 12‎ 所以,‎‎(1-q)S‎2n-(1+q)T‎2n=(S‎2n-T‎2n)-q(S‎2n+T‎2n)‎ ‎=2d(q+q‎3‎+...+q‎2n-1‎)‎ ‎=‎2dq(1-q‎2n)‎‎1-‎q‎2‎,n∈‎N‎*‎ ‎(III)‎证明:‎c‎1‎‎-c‎2‎=(ak‎1‎-al‎1‎)b‎1‎+(ak‎2‎-al‎2‎)b‎2‎+...+(akn-aln)‎bn ‎=(k‎1‎-l‎1‎)db‎1‎+(k‎2‎-l‎2‎)db‎1‎q+...+(kn-ln)db‎1‎qn-1‎ 因为d≠0‎,b‎1‎‎≠0‎,所以c‎1‎‎-‎c‎2‎db‎1‎‎=(k‎1‎-l‎1‎)+(k‎2‎-l‎2‎)q++(kn-ln)‎qn-1‎ 若kn‎≠‎ln,取i=n 若kn‎=‎ln,取i满足ki‎≠‎li且kj‎=‎lj,i+1≤j≤n,‎ 由题设知,‎‎1‎li,同理可得c‎1‎‎-‎c‎2‎db‎1‎‎<-1‎,因此c‎1‎‎≠‎c‎2‎.综上c‎1‎‎≠‎c‎2‎.‎ ‎ 12 / 12‎