高考数学专题复习教案： 空间向量及其运算备考策略 4页

空间向量及其运算备考策略 主标题：空间向量及其运算备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：空间向量，坐标运算，数量积，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容 考点一　空间向量的线性运算 ‎【例1】 如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．‎ ‎ ‎ 解析　∵＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝＋－ ‎＝＋×(＋)－× ‎＝＋＋，‎ 又＝x＋y＋z，‎ 根据空间向量的基本定理，x＝，y＝z＝.‎ 答案　，， ‎【备考策略】‎ ‎ (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．‎ ‎(2)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．‎ ‎ 【训练1】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示.‎ 解　＝＋ ‎＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋＋ ‎＝－－.‎ 考点二　共线定理、共面定理的应用 ‎【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)因为＝－＝－＝(－)＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎【备考策略】 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．‎ ‎【训练2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．‎ ‎(1)判断，，三个向量是否共面；‎ ‎(2)判断点M是否在平面ABC内．‎ 解　(1)由已知＋＋＝3 ，‎ ‎∴－＝(－)＋(－)，‎ 即＝＋＝－－，‎ ‎∴，，共面．‎ ‎(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，‎ ‎∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.‎ 考点三　空间向量的数量积及其应用 ‎【例3】 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC 沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．‎ ‎ ‎ 思路　由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用，，表示，根据||＝求解．‎ 解　∵AB与CD成60°角，∴<，>＝60°或120°，‎ 又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，‎ ‎∴||＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ ‎∴||＝2或.‎ ‎∴BD的长为2或.‎ ‎【备考策略】 (1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．‎ ‎(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．‎ ‎①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎②|a|＝；‎ ‎③cos＝.‎