高考数学专题复习教案： 变量间的相关关系、统计案例备考策略 3页

变量间的相关关系、统计案例备考策略 主标题：变量间的相关关系、统计案例备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：相关关系，线性回归方程，独立性检验，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 考点一 相关关系的判断 ‎[例1]　(1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 (　　)‎ ‎　 　　　　　　　　　 　　　　　‎ A．－1 B．0 C. D．1‎ ‎(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；‎ ‎②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；‎ ‎③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；‎ ‎④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.‎ 其中一定不正确的结论的序号是 (　　)‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ 解析　(1)所有样本点均在直线上，则样本相关系数最大即为1.‎ ‎(2)由回归直线方程y＝bx＋a，知当b>0时，x与y正相关，当b<0时，x与y负相关，所以①④一定错误．‎ 答案　(1)D　(2)D ‎【备考策略】判定两个变量正、负相关性的方法 ‎(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．‎ ‎(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．‎ ‎(3)线性回归直线方程中：b>0时，正相关；b<0时，负相关．‎ 考点二　线性回归方程及其应用 ‎ ‎[例2]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝80，＝20，＝184，＝720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均值．‎ 解析(1)依题意得：‎ b＝＝＝0.3，‎ a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，‎ 故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．‎ ‎ 【备考策略】最小二乘法估计的三个步骤 ‎(1)作出散点图，判断是否线性相关．‎ ‎(2)如果是，则用公式求a，b，写出回归方程．‎ ‎(3)根据方程进行估计．‎ 提醒：回归直线方程恒过点(，).‎ 考点三 独立性检验的基本思想及其应用　　‎ ‎[例3]为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ 性别是否需要志愿者 男 女 总计 需要 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎430‎ 总计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．‎ 解析　(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.‎ ‎(2)χ2＝≈9.967.‎ 由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．‎ ‎(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．‎ ‎【备考策略】独立性检验问题的常见类型及解题策略 ‎(1)已知分类变量的数据，判断两类变量的相关性．可依据数据及公式计算χ2，然后作出判断．‎ ‎(2)已知某些数据，求分类变量的部分数据．可依据已知条件列表即可求出．‎ ‎(3)已知χ2，判断几种命题的正确性．可由临界值，分别作出判断，然后再得出结论．‎