高考数学专题复习教案： 函数的概念及其表示备考策略 3页

函数的概念及其表示备考策略 主标题：函数的概念及其表示备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：函数，定义域，值域，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容 考点一　求函数的定义域与值域 ‎【例1】 (1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)．‎ A．(－3,0] B．(－3,1] ‎ C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]‎ ‎(2)函数y＝的值域为________．‎ 解析　(1)由题意解得－3＜x≤0.‎ ‎(2)y＝＝＝1－，因为≠0，‎ 所以1－≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．‎ 答案　(1)A　(2){y|y≠1}‎ ‎【备考策略】(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．‎ ‎(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．‎ 考点二　分段函数及其应用 ‎【例2】 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(3)的值为(　　)．‎ A．－1 B．－2 C．1 D．2‎ ‎(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．‎ 解析　(1)依题意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3－2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－1)－f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0)＝－2.‎ ‎(2)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.‎ 此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，‎ f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－.‎ 不合题意，舍去．当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，‎ 此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，‎ f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.‎ 综上可知，a的值为－.‎ 答案　(1)B　(2)－ ‎【备考策略】 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ 考点三　求函数的解析式 ‎【例3】 (1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．‎ ‎(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试求出f(x)的解析式．‎ ‎(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．‎ 解　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，‎ ‎∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x＞1)．‎ ‎(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.‎ ‎∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.‎ ‎∴∴ ‎∴f(x)＝x2－x＋3.‎ ‎(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①‎ 以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②‎ 由①②消去f(－x)得，‎ f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．‎ ‎【备考策略】求函数解析式常用方法 ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(3)方程法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎