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- 2021-06-16 发布
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考点规范练56 坐标系与参数方程
考点规范练B册第42页
基础巩固
1.(2016江苏,21C)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1+12t,y=32t(t为参数),椭圆C的参数方程为x=cosθ,y=2sinθ(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
解椭圆C的普通方程为x2+y24=1.
将直线l的参数方程x=1+12t,y=32t(t为参数)
代入x2+y24=1,得1+12t2+32t24=1,
即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-167.
所以AB=|t1-t2|=167.〚导学号74920547〛
2.(2016丹东二模)在平面直角坐标系xOy中,将曲线C1:x2+y2=1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标伸长为原来的2倍后,得到曲线C2;以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ-sin θ)=6.
(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程;
(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离d最大,并求出此最大值.
解(1)由题意知,曲线C2方程为x32+y22=1,故曲线C2的参数方程为x=3cosφ,y=2sinφ(φ为参数).
直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0.
(2)设P(3cos φ,2sin φ),
则点P到直线l的距离为
d=|23cosφ-2sinφ-6|5=|4sin(60°-φ)-6|5,
故当sin(60°-φ)=-1时,d取到最大值25,此时取φ=150°,点P坐标是-32,1.〚导学号74920548〛
3.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+cosφ,y=sinφ(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ+π3=33,射线OM:θ=π3与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解(1)圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,
又x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(2)设P(ρ1,θ1),则由ρ=2cosθ,θ=π3,得ρ1=1,θ1=π3,
设Q(ρ2,θ2),
则由ρ(sinθ+3cosθ)=33,θ=π3得ρ2=3,θ2=π3,
因为P,Q两点在同一射线OM上,且ρ1=1>0,ρ2=3>0,
所以|PQ|=ρ2-ρ1=2.〚导学号74920549〛
4.(2016全国乙卷,文23)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,y=1+asint,(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,
可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,
所以a=1.〚导学号74920550〛
5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t2,y=4t(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+π4=22.
(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.
解(1)消去参数可得C1:y2=4x,
C2:x-y-1=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中点为P(x0,y0),
联立y2=4x,x-y-1=0可得x2-6x+1=0.
∴x1+x2=6,x1x2=1,∴x0=x1+x22=3,y0=2.
∴AB中垂线的参数方程为x=3-22t,y=2+22t(t为参数).①
y2=4x.②
将①代入②中,得t2+82t-16=0,
∴t1·t2=-16.
∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.〚导学号74920551〛
能力提升
6.(2016东北三省四市二模)已知直线l的参数方程为x=m+22t,y=22t(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,且曲线C的左焦点F在直线l上.若直线l与曲线C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的值.
解由题意,曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12,即x212+y24=1.
因为曲线C的左焦点F(-22,0)在直线l上,
所以m=-22.
将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得t2-2t-2=0,
故|FA|·|FB|=|t1·t2|=2.〚导学号74920552〛
7.(2016河南许昌、新乡、平顶山三模)已知直线C1:x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数),圆C2:x=cosθ,y=sinθ(θ为参数).
(1)当α=π3时,求C1被C2截得的线段的长;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当α变化时,求点A轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
解(1)当α=π3时,C1的普通方程为y=3(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.
联立方程组y=3(x-1),x2+y2=1,解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与12,-32.
故C1被C2截得的线段的长为1-122+0+322=1.
(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2+2tcos α=0,
设直线C1与圆C2交于两点M,N,M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则A点对应的参数t=t1+t22=-cos α,
故A点坐标为(sin2α,-cos αsin α).
故当α变化时,点A轨迹的参数方程为x=sin2α,y=-sinαcosα(α为参数).
因此,点A轨迹的普通方程为x-122+y2=14.
故点A的轨迹是以12,0为圆心,半径为12的圆.〚导学号74920553〛
高考预测
8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PA|·|PB|=|AB|2,求a的值.
解(1)∵ρsin2θ=acos θ(a>0),
∴ρ2sin2θ=aρcos θ(a>0),即y2=ax(a>0).
直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,得t2-2(a+8)t+4(a+8)=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=2(a+8),t1·t2=4(a+8).
∵|PA|·|PB|=|AB|2,
∴t1·t2=(t1-t2)2.
∴(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1·t2=5t1·t2,
即[2(8+a)]2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),
∴a的值为2.〚导学号74920554〛
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