高考数学专题复习教案： 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 2页

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 主标题：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 副标题：为学生详细的分析立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直的高考考点、命题方向以及规律总结。‎ 关键词：向量证平行，向量证垂直，向量求角 难度：2‎ 重要程度：4‎ 考点剖析：‎ ‎1．理解直线的方向向量及平面的法向量．‎ ‎2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．‎ ‎3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.‎ 命题方向：1）多以多面体(特别是棱柱、棱锥)为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推理和向量计算各有千秋，逻辑推理要书写清晰，“充分”地推出所求证(解)的结论；向量计算要步骤完整，“准确”地算出所要求的结果．　‎ ‎2）多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体，考查线线角、线面角的求法，正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键 规律总结：‎ ‎1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．‎ ‎2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．‎ ‎3．运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．‎ 知 识 梳 理 ‎1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．‎ ‎(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 ‎2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.‎ l1∥l2‎ n1∥n2⇔n1＝λn2‎ l1⊥l2‎ n1⊥n2⇔n1·n2＝0‎ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0‎ l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m.‎ α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0‎