四川省宜宾市叙州区2020届高二下学期第二次月考 数学（理）试题（含答案） 9页

第 1 页 共 9 页 四川省宜宾市叙州区2020届高二下学期第二月考 数学（理） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．复数 2 3i 的虚部为 A．2 B． 3i C．3i D． 3 2．以下不等式在 0x  时不成立．．．的是 A． ln x x B． exx  C． ln 1 xx e  D． 1xe x  3．已知   2f x x ，则     0 limx f x x f x x     A． 2x B． 2x C． 2x D． x 4．双曲线 2 2 19 4 x y   的渐近线方程是 A． 3 2y x  B． 9 4y x  C． 2 3 y x  D． 4 9y x  5．“ 1c  ”是“直线 0x y c   与圆   2 22 1 2x y    ”相切的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若在 2 2 1x y  所围区域内随机取一点，则该点落在 1x y  所围区域内的概率是 A． 1  B． 2  C． 1 2 D． 11  7．从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个 数为 第 2 页 共 9 页 A．300 B．216 C．180 D．162 8．甲.乙两人约定在上午9:00 到10: 40 之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能 会面的概率为 A． 1 25 B． 16 25 C． 9 25 D． 1 5 9．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点为 1 2,F F ,离心率为 3 3 ,过 2F 的直线l 交C 于 ,A B 两点，若 1AF B 的周长为 4 3 ,则b 的值为 A． 4 B． 2 C． 2 D． 2 2 10．已知函数 退ᚮ诠 ɝ ᚮ ᚮ ，若过点 退cro诠 可作曲线 ɝ 退ᚮ诠 的三条切线，则实数的取值 范围是 A． 退 r c诠 B． 退 r c诠C． 退 rc诠 D． 退Ͳrc诠11．已知圆 1C ：   2 21 1 1x y    ，圆 2C ：   2 22 1 4x y    ，A ，B 分别是圆 1C ， 2C 上的动员.若动点 M 在直线 1l ： 1 0x y   上，动点 N 在直线 2l ： 1 0x y   上，记 线段 MN 的中点为 P ，则 PA PB 的最小值为 A．3 B． 5 2 2 C． 14 3 D． 13 3 12．已知函数  f x 的导函数为  'f x ，且满足   3 21 23f x x ax bx    ，    ' 2 ' 4f x f x   ，若   6 ln 2f x x x  恒成立，则实数b 的取值范围为 A． 4 ln2,  B． 5 ln5,  C． 6 4ln3,  D． 6 6ln6,  第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．定积分 3 1 12 dx xx      __________． 第 3 页 共 9 页 14．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 ,E F 分别是 1BB ，CD 的中点，则异面直线 1D F 与 DE 所成角的大小为___________. 15．函数 退ᚮ诠 ɝ ᚮ sinᚮr （- 緘 ᚮ 緘 诠 ，若 退ᚮ c 诠 退 ᚮ诠 െ Ͳ ，则实数 ᚮ 的取值范围是 ___ 16．已知点 1F ， 2F 分别为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点，P 为双曲线C 左 支上的任意一点，若 2 2 1 | |PF PF 的最小值为8a ，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（_____）． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 2.5PM 是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解 A 市空气质量情况，从 2018 年每天的 2.5PM 值的数据中随机抽取 40 天的数据，其频率分布直方图如图所示.将 2.5PM 值划分成区间 0,100 、 100,150 、 150,200 、 200,250 ，分别称为一级、二级、三 级和四级，统计时用频率估计概率 . （I）根据 2018 年的数据估计该市在 2019 年中空气质量为一级的天数； （II）如果 A 市对环境进行治理，经治理后，每天 2.5PM 值 X 近似满足正态分布  115,752X N ，求经过治理后的 2.5PM 值的均值下降率. 18．（12 分）已知函数    3 21 1 1 13 2f x x ax a x     ，a 为实数. （I）当 2a  时，讨论  f x 的单调性； 第 4 页 共 9 页 （II）若  f x 在区间 1,4 上是减函数，求 a 的取值范围. 19．（12 分）三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧棱与底面垂直， 90ABC   ， 1 2AB BC BB   ， ,M N 分别是 1,AB AC 的中点． （I）求证： MN  平面 1 1A B C ； （II）求二面角 1 1M B C A  的余弦值． 20．（12 分）设椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2e  ，椭圆C 上一点 P 到左右 两个焦点 1 2,F F 的距离之和是 4. （I）求椭圆的方程； （II）已知过 2F 的直线与椭圆C 交于 ,A B 两点，且两点与左右顶点不重合，若 1 1 1F M F A F B    ，求四边形 1AMBF 面积的最大值． 21．（12 分）已知函数   2lnf x a x x  ，其中 a R . （I）讨论  f x 的单调性； （II）当 1a  时，证明:   2 1f x x x   ； 第 5 页 共 9 页 （III）试比较 2 2 2 2 2 2 2 2 ln2 ln3 ln4 ln 2 3 4 n n     与      1 2 1 2 1 n n n     * 2n N n 且 的大小， 并证明你的结论。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 1 2cos 3 2sin x y       ( 为参数),以坐标原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2cos 4sin   (I)写出曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程； (II)若射线  0: 0OM     平分曲线 1C ，且与曲线 2C 交于点 A ，曲线 2C 上的点 B 满 足 2AOB   ，求 AB . 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 ( ) | 2 1|f x x  ． （I）解不等式 ( ) | | 3f x x  ； （II）若对于 x ， y R ，有 1| 3 1| 3x y   ， 1| 2 1| 6y   ，求证： ( 6 7)f x  ． 第 6 页 共 9 页 参考答案 1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11-12:DD 13．8 ln3 14．90 15． rͲ 16． 1,3 17．（1）由样本空气质量 2.5PM 的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表： 2.5PM 值  0,50  50,100  100,150  150,200  200,250 频率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 由上表可知，如果 A 市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为 0.25，因此在365天中空气质量为一级的天数约有365 0.25 91  （天）. （2）如果 A 市维持不变，那么该市的 2.5PM 值的均值约为   25 0.125 75 0.125+125 0.375E Y      +175 0.25 225 0.125 131.25    由于该市的环境进行治理，治理后每天 2.5PM 值 X 近似满足  115,752X N ，所以治理 后的 2.5PM 值 X 的均值为   115E X  ，因此 A 市治理后的 2.5PM 值的均值下降率为 131.25 115 12.38%131.25   18．（1）      2 1 1 1f x x ax a x x a           ， 当 1 1a   即 2a  时，    21 0f x x    ，  f x 在 R 上单调递增； 当 1 1a   即 2a  时，由   0f x  得 1x  或 1x a  ，由   0f x  得1 1x a   .  f x 分别在 ,1 与 1,a   单调递增，在 1, 1a 单调递减. 综上所述，当 2a  时，  f x 在 R 上单调递增； 当 2a  时，  f x 分别在 ,1 与 1,a   单调递增，在 1, 1a 单调递减. （2）由已知得   2 1 0f x x ax a      在区间 1,4 上恒成立.   21 1a x x    在区间 1,4 上恒成立. 当 1x  时， a R . 当1 4x  时， 1a x  . 第 7 页 共 9 页 而 1y x  在  1,4x 上单调递增， 4x  时， max 5y  ，则 5a  . 综上 5a  . 19．（1）如图，以 B1 为原点建立空间直角坐标系 1B xyz 则          1 10,0,0 , 0,2,2, , 2,0,0 , 1,0,2 , 1,1,1 ,B C A M N        1 1 10,2,2 , 2,0,0 , 0, 1,1B C A B NM       . 设平面 A1B1C1 的法向量为  , ,n x y z 1 1 1 00 0 xn B C y zn A B             .令 1z  ，则  0, 1, 0, 1,1x y n      . n NM   ， MN 平面 A1B1C （2）平面 MB1C 的法向量为  0 0 0, ,m x y z 0 01 0 01 20 0 x zm B C y zm B M            . 令 0 1,z  则  0 02, 1, 2, 1,1x y m      ， 2 3cos , 32 6 n mm n n m         ，所求二面角 M—B1C—A1 的余弦值为 3 3 20．（1）依题意， 2 4, 2a a  ， 因为 1 2e  ，所以 2 2 21, 3c b a c    ，所以椭圆C 方程为 2 2 14 3 x y  ； （2）设    1 1 2 2, , , , : 1A x y B x y AB x my  ，则由 2 2 1 14 3 x my x y     ，可得  2 23 1 4 12my y   ， 即， 2 23 4 6 9 0m y my    ，    2 2 236 36 3 4 144 1 0m m m       ， 又因为 1 1 1F M F A F B    ，所以四边形 1AMBF 是平行四边形， 设平面四边形 1AMBF 的面积为 S ，则 1 2 1 2 1 2 2 2 1 12 2 2 242 3 4 3 4ABF mS S F F y y m m             设 2 1t m  ，则 第 8 页 共 9 页  2 2 1 1m t t   ，所以 2 124 24 13 1 3 tS t t t      ，因为 1t  ， 所以 13 4t t   ， 所以  0,6S  ，所以四边形 1AMBF 面积的最大值为6. 21．（1）函数  f x 的定义域为：  0,  ，  'f x  222a a xxx x   ①当 0a  时，  ' 0f x  ，所以  f x 在 0,  上单调递增 ②当 0a  时，令  ' 0f x  ，解得 x  2 a ． 当 222 时， 22 0a x  ，所以  ' 0f x  ， 所以  f x 在 0, 2 a     上单调递减； 当 2 ax   时， 22 0a x  ，所以  ' 0f x  ，所以  f x 在 ,2 a      上单调递增． 综上，当 0a  时，函数  f x 在 0,  上单调递增； 当 0a  时，函数  f x 在 0, 2 a     上单调递减，在 ,2 a      上单调递增. （2）当 a 1 时，   2lnf x x x  ，要证明   2 1f x x x   ， 即证 ln 1x x  ，即证： ln 1 0x x   . 设  g ln 1x x x   ，则  g' x  1 x x  ，令   0g x  得， 1x  . 当  0,1x 时，   0g x  ，当  1,x  时，   0g x  . 所以 1x  为极大值点，且  g x 在 1x  处取得最大值。 所以    1 0g x g  ，即 ln 1 0x x   。故   2 1f x x x   . （3）证明： ln 1x x  （当且仅当 1x  时等号成立），即 11lnx x x   , 则有 2 2 2 2 ln + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 11 1 1 n 13 2 3 2 3 ln lnn n n n                  1 1 1n 1 2 3 3 4 1n n            第 9 页 共 9 页      1 2 11 1 1 1 1 1 1 1n 1 n 12 3 3 4 1 2 1 2 1 n n n n n n                          , 故： 2 2 2 2 ln +      2 2 2 2 1 2 13 3 2 1 n nln lnn n n     22．解：（1）曲线 1C 的直角坐标方程是   221 3 4x y    ，即 2 22 2 3 0x x y y    化成极坐标方程为： 2cos 2 3sin    曲线 2C 的直角坐标方程是 2 4x y ； （2）曲线 1C 是圆，射线 OM 过圆心 1, 3 ，所以方程是  03    代入 2cos 4sin   ，得 8 3A  又 2AOB   ，将 5 6   ，代入 2cos 4sin   ，得 8 3B  因此 2 2 16 7 3A BAB     23．（1）由 ( ) | | 3f x x  得| 2 1| | | 3x x   ， 则 1 2 2 1 3 x x x       ， 或 10 2 1 2 3 x x x        ， 或 0 1 2 3. x x x       ， 解得 1 42 x  ，或 10 2x  ，或 2 0x   ，即 2 4x   ， 所以不等式 ( ) | | 1f x x  的解集为{ | 2 4}x x   . （2）证明：由 1| 3 1| 3x y   ， 1| 2 1| 6y   ， 所以 2 1 7( ) | 2 1| | 2( 3 1) 3(2 1) | 2 | 3 1| 3| 2 1| 3 2 6f x x x y y x y y               .