2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第6节对数与对数函数教学案含解析新人教A版 17页

第6节　对数与对数函数 考试要求　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.‎ 知 识 梳 理 ‎1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.‎ ‎2.对数的性质、运算性质与换底公式 ‎(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).‎ ‎(2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R).‎ ‎(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0).‎ ‎3.对数函数及其性质 ‎(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).‎ ‎(2)对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，y>0；‎ 当01时，y<0；‎ 当00‎ 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).‎ ‎(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).‎ ‎2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.‎ ‎3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)‎ ‎(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)‎ ‎(4)当x>1时，若logax>logbx，则ab>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析　∵01.‎ ‎∴c>a>b.‎ 答案　D ‎4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)‎ A.a＋b0，＝log0.32<0.‎ ‎∴0<＋＝log0.30.4<1，即0<<1.‎ 又a>0，b<0，故ab0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)‎ A.a>1，c>1‎ B.a>1，01‎ D.00，即logac>0，所以00，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.‎ ‎【训练1】 (1)(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)‎ A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1‎ ‎(2)(多填题)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.‎ 解析　(1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－(－26.7)＝25.25.‎ 所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.‎ ‎(2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，‎ 所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，‎ 所以b2b＝bb2，即2b＝b2，‎ 又a>b>1，解得b＝2，a＝4.‎ 答案　(1)A　(2)4　2‎ 考点二　对数函数的图象及应用 ‎【例2】 (1)(2020·南昌调研)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.‎ - 17 -‎ 解析　(1)由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.‎ ‎∴f(x)＝a－x＝＝bx，‎ 因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同.‎ A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.‎ ‎(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.‎ 由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.‎ 答案　(1)C　(2)(1，＋∞)‎ 规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.‎ ‎2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.‎ ‎【训练2】 (1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是(　　)‎ A.>> B.>> C.>> D.>> ‎(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2b>c时，>>.‎ ‎(2)由题意，易知a>1.‎ 如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax，x∈(1，2)的图象.‎ - 17 -‎ 若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.‎ 根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.‎ 结合图象，a的取值范围是(1，2].‎ 答案　(1)B　(2)C 考点三　解决与对数函数性质有关的问题　多维探究 角度1　比较大小 ‎【例3－1】 (1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.a＝bc C.ab>c ‎(2)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.a1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.‎ ‎(2)因为y＝log5x是增函数，‎ 所以a＝log52log0.50.5＝1.‎ 因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.512的解集为(　　)‎ - 17 -‎ A.(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)‎ C.∪(，＋∞) D.(，＋∞)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　(1)因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2，即|log2x|>1，解得02.‎ ‎(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，‎ 则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>a，‎ 解得11在区间[1，2]上恒成立，‎ 知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.‎ ‎∴8－a0，此时解集为∅.‎ 综上可知，实数a的取值范围是.‎ 答案　(1)B　(2) 规律方法　形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与00恒成立.‎ - 17 -‎ 即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，‎ 故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).‎ ‎(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.‎ 由题设得log2(1＋a)－log2≥2，‎ 则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).‎ ‎∴解得－b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b ‎(2)(角度2)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.‎ ‎(3)(角度3)已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(m，n)，且函数g(x)＝mx2－2bx＋n在[1，＋∞)上单调递减，则实数b的取值范围是________.‎ 解析　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.‎ 法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数可得a＝－1，‎ ‎∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).‎ - 17 -‎ 由f(x)<0，可得0<<1，∴－10，且a≠1)的图象恒过定点(m，n)，令x＋2＝1，求得x＝－1，f(x)＝3，可得函数的图象经过定点(－1，3)，∴m＝－1，n＝3.‎ ‎∵函数g(x)＝mx2－2bx＋n＝－x2－2bx＋3，‎ 在[1，＋∞)上单调递减，∴－≤1，即b≥－1，‎ 所以实数b的取值范围为[－1，＋∞).‎ 答案　(1)D　(2)(－1，0)　(3)[－1，＋∞)‎ 赢得高分　基本初等函数的应用“瓶颈题”突破 以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.‎ ‎【典例】 (2020·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln ＋，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为(　　)‎ A.2－1 B.e2－ C.2－ln 2 D.2＋ln 2‎ 解析　存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，‎ 则ea＝ln ＋，令t＝ea＝ln ＋>0.‎ ‎∴a＝ln t，b＝2et－，则b－a＝2et－－ln t.‎ 设φ(t)＝2et－－ln t，则φ′(t)＝2et－－(t>0).‎ 显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝时，φ′＝0.‎ ‎∴φ′(t)有唯一零点t＝.‎ 故当t＝时，φ(t)取得最小值φ＝2＋ln 2.‎ 答案　D 思维升华　1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.‎ ‎2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.‎ - 17 -‎ ‎【训练】 (2020·石家庄一中检测)函数f(x)＝ 若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　)‎ A.(16，32) B.(18，34)‎ C.(17，35) D.(6，7)‎ 解析　画出函数f(x)的图象如图所示.‎ 不妨设a0.‎ 由f(a)＝f(b)，得1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.‎ 又f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象，得0<5－c<1，则42，c＝(ln 2)2∈(0，1).‎ 因此b>a>c.‎ 答案　D - 17 -‎ ‎3.若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是(　　)‎ 解析　由f(x)在R上是减函数，知01时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.‎ 答案　D ‎4.(2020·西安联考)若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋f＋f(lg 5)＋f＝(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 解析　由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.‎ 又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5.‎ 所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.‎ 答案　A ‎5.若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)‎ C.(1，＋∞) D. 解析　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，‎ 因为M的单调递增区间为.‎ 又x2＋x>0，所以x>0或x<－，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).‎ 答案　A - 17 -‎ 二、填空题 ‎6.(2020·肇庆统考)已知23log4x＝27，则x的值为________.‎ 解析　23log4x＝2log2x＝x，又27＝33＝(32)＝9，所以x＝9，所以x＝9.‎ 答案　9‎ ‎7.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.‎ 解析　由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝eln 2－a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎8.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.‎ 解析　当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；‎ 当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.‎ 综上可知，x≥0.‎ 答案　[0，＋∞)‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数.‎ ‎(1)求a的值与函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.‎ 解　(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)，‎ 所以log2＝－log2，‎ 即log2＝log2，‎ 所以a＝1，f(x)＝log2，‎ 令>0，解得x<－1或x>1，‎ 所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.‎ ‎(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，‎ - 17 -‎ 当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.‎ 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，‎ 所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].‎ ‎10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)解不等式f(x2－1)>－2.‎ 解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).‎ 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，‎ 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，且f(0)＝0>－2，‎ 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).‎ 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以|x2－1|<4，解得－0，且a≠1)的图象可能是(　　)‎ - 17 -‎ 解析　若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga过定点，C项不符合，因此01.‎ 则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.‎ ‎∴2x－3y＝－＝ ‎＝>0，‎ ‎∴2x>3y.‎ 又∵2x－5z＝－＝ ‎＝<0，‎ ‎∴2x<5z，∴3y<2x<5z.‎ 答案　D - 17 -‎ ‎13.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且ak·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.‎ 解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2‎ 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，‎ 故函数h(x)的值域为[0，2].‎ ‎(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，‎ 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，‎ 令t＝log2x，因为x∈[1，4]，‎ 所以t＝log2x∈[0，2]，‎ 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，‎ ‎①当t＝0时，k∈R；‎ ‎②当t∈(0，2]时，k<恒成立，‎ 即k<4t＋－15，‎ 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，‎ 所以4t＋－15的最小值为－3.‎ 所以k<－3.‎ 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).‎ C级　创新猜想 ‎15.(情境创新题)(2020·武汉调研)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D - 17 -‎ 内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为(　　)‎ A. B.∪ C. D. 解析　函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a<0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上递增，y＝logaz在(0，＋∞)上递增，可得f(x)为R上的增函数；当00，‎ 则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根.‎ 得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，‎ ‎∴0