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山东省青岛市黄岛区 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题

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山东省青岛市黄岛区 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 满分 150 分,考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.由“ 1 2 2 3  , 2 4 3 5  , 2 5 4 7  ”得出:“若 0a b  且 0m  ,则 b b m a a m   ”这个 推导过程使用的方法是 A.数学归纳法 B.演绎推理 C.类比推理 D.归纳推理 2. 用数学归纳法证明:“ 2 2 1 11 ( 1)1 n n xx x x xx         ”,在验证 1n  时,左端的项为 A. 2 31 x x x   B. 21 x x  C.1 x D.1 3.下列求导运算正确的是 A. 2 1 1( ) 1x x x    B. 2(log )x   2ln 1 x C. (3 )x  = 33 logx e D. 2( cos )x x  = 2 sinx x 4.函数 ( )f x 与 ( )g x 是定义在 R 上的可导函数,若 ( )f x 、 ( )g x 满足 ( ) ( )f x g x  ,则 A. ( ) ( )f x g x B. ( ) ( )f x g x 为常数函数 C. ( ) ( ) 0f x g x  D. ( ) ( )f x g x 为常数函数 5.设 28 lny x x  ,则此函数在区间 1(0, )4 和 1( ,1)2 内分别为 A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增 C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减 6. 若 1 2 1 2 1 2, ,z z C z z z z    是 A.纯虚数 B.实数 C.虚数 D.以上都有可能 7. 已知函数 ( ) xf x e ,则 4 2 ( )f x dx A. 4 2 2e e  B. 4 2e e C. 4 2 2e e  D. 4 2 2e e  8.设 a 为正实数,i 为虚数单位, 2a i i   ,则 a 的值为 A. 2 B. 3 C. 2 D.1 9.对于 R 上可导的任意函数 ( )f x ,若满足 '( 1) ( ) 0x f x  ,则必有 A. (0) (2) 2 (1)f f f  B. (0) (2) 2 (1)f f f  C. (0) (2) 2 (1)f f f  D. (0) (2) 2 (1)f f f  10.已知函数 3 21( ) 3f x x ax bx   在 1x   时取得极大值 5 3 ,则 ab  A. 15 B. 15 C. 3 D. 3 11.观察下列事实: 1x y  的不同整数解 ( , )x y 的个数为 4 , 2x y  的不同整数解 ( , )x y 的个数为8 , 3x y  的不同整数解 ( , )x y 的个数为12,,则 100x y  的不同整数 解 ( , )x y 的个数为 A. 400 B. 420 C. 440 D. 480 12.设函数 ( )f x 在 R 上可导,其导函数为 ( )f x ,函数 )(')1( xfxy  的图象如图所示,则 下列结论中一定成立的是 A.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 (1)f B.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f  和极小值 (1)f C.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 ( 2)f  D.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f  和极小值 (2)f 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分. x y 2 1 2O 13.用反证法证明“如果 a b ,那么 3 3a b ”,则假设的内容应是____________. 14.已知函数 sin( ) sin cos xf x x x   ,则 ( )2f   ____________. 15.复数 3 2 3 2 2 3 2 3 i i i i     . 16. 已知等差数列{ }na 中,有 11 12 20 1 2 30 10 30 a a a a a a    成立.类似地,在等比 数列{ }nb 中,有 成立. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。请把解答题答在答题纸限定的区域内,解答应写出 文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)请按要求完成下列两题. (Ⅰ)求由直线 3x   , 3x  , 0y  与曲线 cosy x 所围成的封闭图形的面积. (Ⅱ)求由直线 4y x  ,曲线 2y x 及 x 轴所围成的封闭图形的面积. 18.(本题满分 12 分)请按要求完成下列两题 (Ⅰ)已知 a 、b 、 c 都为正实数, x 、 y 分别为 a 与b 、b 与 c 的等差中项,且 2a c x y   , 求证: a 、b 、 c 成等比数列. (Ⅱ)数列{ }na 中, 1 1a  , nS 表示前 n 项和,且 nS , 1nS  , 12S 成等差数列. (Ⅰ)计算 1 2 3, ,S S S 的值; (Ⅱ)根据以上计算结果猜测 nS 的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想. 19.(本题满分 12 分)某电视生产企业有 ,A B 两种型号的电视机参加家电下乡活动,若企业 投放 ,A B 两种型号电视机的价值分别为 ,a b 万元,则农民购买电视机获得的补贴分别 为 1 , ln( 1)10 a m b  万元( 0m  且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的 ,A B 两种型号 的电视机,且 ,A B 两种型号的投放金额都不低于1万元. (Ⅰ)以投放 B 型号电视机金额为自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数, 并求其定义域; (Ⅱ)求当投放 B 型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大? 20.(本小题满分 12 分)已知函数 3 2( ) 4 5f x x ax bx    . (Ⅰ)若函数 ( )f x 不存在极值点,求 a ,b 的关系式; (Ⅱ)已知函数 ( )f x 在 3 2x  与 1x   时有极值. ⑴若函数 ( )f x 在 (0, )m 上不是单调函数,求实数 m 的取值范围; ⑵当 [ 2,2]x  时,求函数 ( )f x 的最值. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 2( ) ln(1 ) ( 0)2 kf x x x x k     . (Ⅰ)当 0k  时,求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程; (Ⅱ)当 1k  时,求函数 ( )f x 的单调区间; (Ⅲ)当 0k  时,若 1x   ,证明: 1ln( 1) 1 1x x     . 22.(本小题满分 10 分)已知 Rm ,复数 2(1 ) (8 5 ) 15 14z i m i m i      . (Ⅰ)若复数 z 为纯虚数,求实数 m 的值; (Ⅱ)若在复平面内复数 z 表示的点在第四象限,求实数 m 的范围. 高二数学 2017.3.23 一、选择题:DBBBC BABCD AD 二、填空题:13. 3 3a b 14. 1 15. 2i 16. 10 30 11 12 13 20 1 2 3 30... ...b b b b b b b b 17.解(Ⅰ) 3 - 3 3cos sin 3 xdx x       …………3 分 sin sin( ) 33 3      …………5 分 (Ⅱ)由 4 2 y x y x    得, 2 4x x  ,即 22 ( 4)x x  ,得 4x  , 2x  (舍) 所以两曲线的交点坐标为 (8,4) ,直线 4y x  与 x 轴的交点为 (4,0) …………7 分 所以 4 8 0 4 2 [ 2 ( 4)]S xdx x x     , 3 3 22 24 8 82 2 2 2 1 ( 4)0 4 43 3 2x x x    …10 分 40 3  …………12 分 18.解(Ⅰ)由已知得 2 a bx  , 2 b cy  ……1 分 因为 2a c x y   ,所以 2 2 2 a c a b b c   ,化简得 ( ) ( ) ( )( )a b c c a b a b b c      , 则 2b ac ,所以 a 、b 、 c 成等比数列. ……………4 分 (Ⅱ)(1) 1 1 1S a  , 由已知有 2 1 12 2S S S  , 得 2 3 2S  ,又 3 2 12 2S S S  , 得 3 7 4S  …………………………6 分 (2)由以上结果猜测: 1 2 1 2 n n nS   …………………………………7 分 用数学归纳法证明如下: (Ⅰ)当 1n  时 , 1 1 1 1 2 1 12S    ,猜想成立………………………8 分 (Ⅱ)假设当 n k 时猜想成立,则有 1 2 1 2 k k kS   当 1n k  时,因为 1 12 2k kS S S   所以 1 1 1 1 2 1 2 12 22 2 k k k k kS         所以 1 1 ( 1) 1 2 1 2 k k kS      所以 1n k  时猜想成立 所以对任意正整数 n ,猜想都成立…………………12 分 19.(本题 13 分)解:(Ⅰ)设投放 B 型电视机的金额为 x 万元,则投放 A 型电视机的金额为 (10 )x 万元,所以1 9x  …………………2 分 总补贴 1( ) (10 ) ln( 1) ln( 1) 110 10 xf x x m x m x        ……………4 分 (Ⅱ) 1 [ (10 1)]( ) 1 10 10( 1) m x mf x x x        令 0y  ,得 10 1x m  ……………7 分 若10 1 1m   即 10 5m  ,则 ( )f x 在[1,9]为减函数,当 1x  时, ( )f x 有最大值; 若1 10 1 9m   即 1 15 m  ,则 ( )f x 在[1,10 1)m  是增函数,在 (10 1,9]m  是减函数, 当 10 1x m  时, ( )f x 有最大值; 若10 1 9m   即 1m  ,则 ( )f x 在[1,9]是增函数,当 9x  时, ( )f x 有最大值. 因此,当 10 5m  时,投放 B 型电视机1万元,农民得到的总补贴最大. 当 1 15 m  时,投放 B 型电视机10 1m  万元,农民得到的总补贴最大; 当 1m  时,投放 B 型电视机 9 万元,农民得到的总补贴最大. …………12 分 20.解(Ⅰ)由已知 2( ) 12 2f x x ax b    ……………2 分 因为函数 ( )f x 不存在极值点,所以 2( ) 12 2 0f x x ax b     无解 则 24 48 0a b    ,所以 2 12a b ……………4 分 (Ⅱ)⑴ 2( ) 12 2f x x ax b    ,所以 3 9( ) 12 3 02 4f a b      且 ( 1) 12 2 0f a b      ,解得 3, 18a b    ……………6 分 所以 2( ) 12 6 18 6(2 3)( 1)f x x x x x       ( , 1)  3( 1, )2  3( , )2  ( )f x + - + ( )f x 增 减 增 所以 ( )f x 在 ( , 1)  和 3( , )2  上增,在 3( 1, )2  上减……………8 分 若函数 ( )f x 在 (0, )m 上不是单调函数,则 3 2m  ……………9 分 ⑵由⑴知,则当 31, 2x   时取极大、极小值 因为 3 2( ) 4 3 18 5f x x x x    ,所以 3 61( 1) 16, ( ) , ( 2) 3, (2) 112 4f f f f        所以函数 ( )f x 的最大、最小值分别为 6116, 4  ……………12 分 21.解(Ⅰ)当 0k  时, ( ) ln(1 )f x x x   ,则 (1) ln 2 1f   所以 1( ) 11f x x    ,则 1(1) 2f    ………2 分 所以 (1) (1)( 1)y f f x   ,即 2 2ln 2 1 0x y    ………4 分 (Ⅱ)由已知 1x   , 1( ) 11f x kxx     ,即 ( 1)'( ) 1 x kx kf x x    , 当 0k  时, 1( ) 11 1 xf x x x       ,因为 1x   所以在 ( 1,0) 上增,在 (0, ) 上减………5 分 当 0 1k  时,由 ( 1)'( ) 01 x kx kf x x    ,得 1 0x  , 2 1 0kx k   所以在 ( 1,0) 和 1( , )k k   上 '( ) 0f x  ;在 1(0, )k k  上 '( ) 0f x  故 ( )f x 在 ( 1,0) 和 1( , )k k   单调递增,在 1(0, )k k  单调递减………7 分 当 1k  时, ( 1)'( ) 01 x kx kf x x    ,得 1 1 ( 1,0)kx k    , 2 0x  . 所以在 1( 1, )k k  和 (0, ) 上 '( ) 0f x  ;在 1( ,0)k k  上 '( ) 0f x  故 ( )f x 单调递增区间是 1( 1, )k k  和 (0, ) ,减区间是 1( ,0)k k  ……………9 分 (Ⅲ)令 1( ) ln( 1) 11g x x x     ,则 2 1 1( ) 1 ( 1)g x x x     = 2( 1) x x  .………11 分 所以 当 ( 1,0)x  时, ( ) 0g x  ,当 (0, )x  时, ( ) 0g x  . 所以 当 1x   时, ( )g x  (0)g ,即 1ln( 1) 11x x    0 所以 1ln( 1) 1 1x x     .……………12 分 22.解(Ⅰ)由已知, 2 2( 8 15) ( 5 14)z m m m m i      ……………2 分 因为复数 z 为纯虚数,所以 2 8 15 0m m   ,且 2 5 14 0m m   ……………4 分 解 2 8 15 0m m   得 3m  或 5m  ,解 2 5 14 0m m   得 2m   或 7m  所以 3m  或 5m  ……………6 分 (Ⅱ)若复数 z 表示的点在第四象限,则 2 2 8 15 0 5 14 0 m m m m        ……………8 分 解得 3, 5 2 7 m m m      或 ,所以 2 3m   或5 7m  ……………10 分