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山东省青岛市黄岛区 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题
满分 150 分,考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.由“ 1 2
2 3
, 2 4
3 5
, 2 5
4 7
”得出:“若 0a b 且 0m ,则 b b m
a a m
”这个
推导过程使用的方法是
A.数学归纳法 B.演绎推理 C.类比推理 D.归纳推理
2. 用数学归纳法证明:“
2
2 1 11 ( 1)1
n
n xx x x xx
”,在验证 1n 时,左端的项为
A. 2 31 x x x B. 21 x x C.1 x D.1
3.下列求导运算正确的是
A. 2
1 1( ) 1x x x
B. 2(log )x
2ln
1
x
C. (3 )x = 33 logx e D. 2( cos )x x = 2 sinx x
4.函数 ( )f x 与 ( )g x 是定义在 R 上的可导函数,若 ( )f x 、 ( )g x 满足 ( ) ( )f x g x ,则
A. ( ) ( )f x g x B. ( ) ( )f x g x 为常数函数
C. ( ) ( ) 0f x g x D. ( ) ( )f x g x 为常数函数
5.设 28 lny x x ,则此函数在区间 1(0, )4
和 1( ,1)2
内分别为
A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增
C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减
6. 若 1 2 1 2 1 2, ,z z C z z z z 是
A.纯虚数 B.实数 C.虚数 D.以上都有可能
7. 已知函数 ( ) xf x e ,则 4
2
( )f x dx
A. 4 2 2e e B. 4 2e e C. 4 2 2e e D. 4 2 2e e
8.设 a 为正实数,i 为虚数单位, 2a i
i
,则 a 的值为
A. 2 B. 3 C. 2 D.1
9.对于 R 上可导的任意函数 ( )f x ,若满足 '( 1) ( ) 0x f x ,则必有
A. (0) (2) 2 (1)f f f B. (0) (2) 2 (1)f f f
C. (0) (2) 2 (1)f f f D. (0) (2) 2 (1)f f f
10.已知函数 3 21( ) 3f x x ax bx 在 1x 时取得极大值 5
3
,则 ab
A. 15 B. 15 C. 3 D. 3
11.观察下列事实: 1x y 的不同整数解 ( , )x y 的个数为 4 , 2x y 的不同整数解 ( , )x y
的个数为8 , 3x y 的不同整数解 ( , )x y 的个数为12,,则 100x y 的不同整数
解 ( , )x y 的个数为
A. 400 B. 420 C. 440 D. 480
12.设函数 ( )f x 在 R 上可导,其导函数为 ( )f x ,函数 )(')1( xfxy 的图象如图所示,则
下列结论中一定成立的是
A.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 (1)f
B.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f 和极小值 (1)f
C.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 ( 2)f
D.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f 和极小值 (2)f
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.
x
y
2 1 2O
13.用反证法证明“如果 a b ,那么 3 3a b ”,则假设的内容应是____________.
14.已知函数 sin( ) sin cos
xf x x x
,则 ( )2f ____________.
15.复数 3 2 3 2
2 3 2 3
i i
i i
.
16. 已知等差数列{ }na 中,有 11 12 20 1 2 30
10 30
a a a a a a 成立.类似地,在等比
数列{ }nb 中,有 成立.
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。请把解答题答在答题纸限定的区域内,解答应写出
文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)请按要求完成下列两题.
(Ⅰ)求由直线
3x ,
3x , 0y 与曲线 cosy x 所围成的封闭图形的面积.
(Ⅱ)求由直线 4y x ,曲线 2y x 及 x 轴所围成的封闭图形的面积.
18.(本题满分 12 分)请按要求完成下列两题
(Ⅰ)已知 a 、b 、 c 都为正实数, x 、 y 分别为 a 与b 、b 与 c 的等差中项,且 2a c
x y
,
求证: a 、b 、 c 成等比数列.
(Ⅱ)数列{ }na 中, 1 1a , nS 表示前 n 项和,且 nS , 1nS , 12S 成等差数列.
(Ⅰ)计算 1 2 3, ,S S S 的值;
(Ⅱ)根据以上计算结果猜测 nS 的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想.
19.(本题满分 12 分)某电视生产企业有 ,A B 两种型号的电视机参加家电下乡活动,若企业
投放 ,A B 两种型号电视机的价值分别为 ,a b 万元,则农民购买电视机获得的补贴分别
为 1 , ln( 1)10 a m b 万元( 0m 且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的 ,A B 两种型号
的电视机,且 ,A B 两种型号的投放金额都不低于1万元.
(Ⅰ)以投放 B 型号电视机金额为自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数,
并求其定义域;
(Ⅱ)求当投放 B 型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?
20.(本小题满分 12 分)已知函数 3 2( ) 4 5f x x ax bx .
(Ⅰ)若函数 ( )f x 不存在极值点,求 a ,b 的关系式;
(Ⅱ)已知函数 ( )f x 在 3
2x 与 1x 时有极值.
⑴若函数 ( )f x 在 (0, )m 上不是单调函数,求实数 m 的取值范围;
⑵当 [ 2,2]x 时,求函数 ( )f x 的最值.
21.(本小题满分 12 分)已知函数 2( ) ln(1 ) ( 0)2
kf x x x x k .
(Ⅰ)当 0k 时,求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程;
(Ⅱ)当 1k 时,求函数 ( )f x 的单调区间;
(Ⅲ)当 0k 时,若 1x ,证明: 1ln( 1) 1 1x x
.
22.(本小题满分 10 分)已知 Rm ,复数 2(1 ) (8 5 ) 15 14z i m i m i .
(Ⅰ)若复数 z 为纯虚数,求实数 m 的值;
(Ⅱ)若在复平面内复数 z 表示的点在第四象限,求实数 m 的范围.
高二数学 2017.3.23
一、选择题:DBBBC BABCD AD
二、填空题:13. 3 3a b 14. 1 15. 2i 16. 10 30
11 12 13 20 1 2 3 30... ...b b b b b b b b
17.解(Ⅰ) 3
- 3
3cos sin
3
xdx x
…………3 分
sin sin( ) 33 3
…………5 分
(Ⅱ)由 4
2
y x
y x
得, 2 4x x ,即 22 ( 4)x x ,得 4x , 2x (舍)
所以两曲线的交点坐标为 (8,4) ,直线 4y x 与 x 轴的交点为 (4,0) …………7 分
所以 4 8
0 4
2 [ 2 ( 4)]S xdx x x ,
3 3
22 24 8 82 2 2 2 1 ( 4)0 4 43 3 2x x x …10 分
40
3
…………12 分
18.解(Ⅰ)由已知得
2
a bx ,
2
b cy ……1 分
因为 2a c
x y
,所以 2
2 2
a c
a b b c ,化简得 ( ) ( ) ( )( )a b c c a b a b b c ,
则 2b ac ,所以 a 、b 、 c 成等比数列. ……………4 分
(Ⅱ)(1) 1 1 1S a , 由已知有 2 1 12 2S S S ,
得 2
3
2S ,又 3 2 12 2S S S , 得 3
7
4S …………………………6 分
(2)由以上结果猜测: 1
2 1
2
n
n nS
…………………………………7 分
用数学归纳法证明如下:
(Ⅰ)当 1n 时 ,
1
1 1 1
2 1 12S
,猜想成立………………………8 分
(Ⅱ)假设当 n k 时猜想成立,则有 1
2 1
2
k
k kS
当 1n k 时,因为 1 12 2k kS S S
所以
1
1 1 1
2 1 2 12 22 2
k k
k k kS
所以
1
1 ( 1) 1
2 1
2
k
k kS
所以 1n k 时猜想成立
所以对任意正整数 n ,猜想都成立…………………12 分
19.(本题 13 分)解:(Ⅰ)设投放 B 型电视机的金额为 x 万元,则投放 A 型电视机的金额为 (10 )x
万元,所以1 9x …………………2 分
总补贴 1( ) (10 ) ln( 1) ln( 1) 110 10
xf x x m x m x ……………4 分
(Ⅱ) 1 [ (10 1)]( ) 1 10 10( 1)
m x mf x x x
令 0y ,得 10 1x m ……………7 分
若10 1 1m 即 10 5m ,则 ( )f x 在[1,9]为减函数,当 1x 时, ( )f x 有最大值;
若1 10 1 9m 即 1 15 m ,则 ( )f x 在[1,10 1)m 是增函数,在 (10 1,9]m 是减函数,
当 10 1x m 时, ( )f x 有最大值;
若10 1 9m 即 1m ,则 ( )f x 在[1,9]是增函数,当 9x 时, ( )f x 有最大值.
因此,当 10 5m 时,投放 B 型电视机1万元,农民得到的总补贴最大.
当 1 15 m 时,投放 B 型电视机10 1m 万元,农民得到的总补贴最大;
当 1m 时,投放 B 型电视机 9 万元,农民得到的总补贴最大. …………12 分
20.解(Ⅰ)由已知 2( ) 12 2f x x ax b ……………2 分
因为函数 ( )f x 不存在极值点,所以 2( ) 12 2 0f x x ax b 无解
则 24 48 0a b ,所以 2 12a b ……………4 分
(Ⅱ)⑴ 2( ) 12 2f x x ax b ,所以 3 9( ) 12 3 02 4f a b
且 ( 1) 12 2 0f a b ,解得 3, 18a b ……………6 分
所以 2( ) 12 6 18 6(2 3)( 1)f x x x x x
( , 1) 3( 1, )2
3( , )2
( )f x + - +
( )f x 增 减 增
所以 ( )f x 在 ( , 1) 和 3( , )2
上增,在 3( 1, )2
上减……………8 分
若函数 ( )f x 在 (0, )m 上不是单调函数,则 3
2m ……………9 分
⑵由⑴知,则当 31, 2x 时取极大、极小值
因为 3 2( ) 4 3 18 5f x x x x ,所以 3 61( 1) 16, ( ) , ( 2) 3, (2) 112 4f f f f
所以函数 ( )f x 的最大、最小值分别为 6116, 4
……………12 分
21.解(Ⅰ)当 0k 时, ( ) ln(1 )f x x x ,则 (1) ln 2 1f
所以 1( ) 11f x x
,则 1(1) 2f ………2 分
所以 (1) (1)( 1)y f f x ,即 2 2ln 2 1 0x y ………4 分
(Ⅱ)由已知 1x , 1( ) 11f x kxx
,即 ( 1)'( ) 1
x kx kf x x
,
当 0k 时, 1( ) 11 1
xf x x x
,因为 1x
所以在 ( 1,0) 上增,在 (0, ) 上减………5 分
当 0 1k 时,由 ( 1)'( ) 01
x kx kf x x
,得 1 0x , 2
1 0kx k
所以在 ( 1,0) 和 1( , )k
k
上 '( ) 0f x ;在 1(0, )k
k
上 '( ) 0f x
故 ( )f x 在 ( 1,0) 和 1( , )k
k
单调递增,在 1(0, )k
k
单调递减………7 分
当 1k 时, ( 1)'( ) 01
x kx kf x x
,得 1
1 ( 1,0)kx k
, 2 0x .
所以在 1( 1, )k
k
和 (0, ) 上 '( ) 0f x ;在 1( ,0)k
k
上 '( ) 0f x
故 ( )f x 单调递增区间是 1( 1, )k
k
和 (0, ) ,减区间是 1( ,0)k
k
……………9 分
(Ⅲ)令 1( ) ln( 1) 11g x x x
,则 2
1 1( ) 1 ( 1)g x x x
= 2( 1)
x
x
.………11 分
所以 当 ( 1,0)x 时, ( ) 0g x ,当 (0, )x 时, ( ) 0g x .
所以 当 1x 时, ( )g x (0)g ,即 1ln( 1) 11x x
0
所以 1ln( 1) 1 1x x
.……………12 分
22.解(Ⅰ)由已知, 2 2( 8 15) ( 5 14)z m m m m i ……………2 分
因为复数 z 为纯虚数,所以 2 8 15 0m m ,且 2 5 14 0m m ……………4 分
解 2 8 15 0m m 得 3m 或 5m ,解 2 5 14 0m m 得 2m 或 7m
所以 3m 或 5m ……………6 分
(Ⅱ)若复数 z 表示的点在第四象限,则
2
2
8 15 0
5 14 0
m m
m m
……………8 分
解得 3, 5
2 7
m m
m
或 ,所以 2 3m 或5 7m ……………10 分
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