高二数学同步辅导教材(第12讲) 8页

高二数学同步辅导教材（第 12 讲） 一、本章主要内容 8． 1 椭圆及其标准方程 课本第 92 页至第 97 页 本讲主要内容 1、椭圆的定义及运用； 2、用待定系数法求椭圆标准方程。 二、学习指导 1、椭圆的定义用集合表示为{P||PF1|+|PF2|=2a，其中 F1、F2 是两个定点，2a 为定值，2a>|F1F2|} 当 2a=|F1F2|时，点 P 的轨迹为线段 F1F2 当 2a<|F1F2|时，点 P 不存在 椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆 问题的重要思想方法。 课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。字母运 算是本章的特点，属于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。 2、椭圆的标准方程是指在以焦点的中点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。 当焦点在 x 轴上时，方程类型为 1 b y a x 2 2 2 2  当焦点在 y 轴上时，方程类型为 2 2 2 2 a y b x  =1 恒有 a>b>0。字母 x 通常写在前面。 为了运算简单，有时也用整式形式，如 Ax2+By2=1（A>0，B>0)等。 3、求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。其步骤为： （1）选标准，即判定焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两种情况都有可能； （2）定参数，通过解方程组的思想求得 a2，b2，或 c2，a2=b2+c2。 实际上，定参数（a，b，c）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。 四、典型例题 例 1、椭圆焦距|F1F2|=4，点 P 在椭圆上，∠F1PF2= 3 2 ，若△F1PF2 的面积 S= 313 ，求椭圆的标准方程。 解题思路分析： 因△F1PF2 的面积可通过 S= h|FF|2 1 21  及 S= 2121 PFFsin|PF||PF|2 1  两种方式转化，故本题有两种解题途径。 思路一：如图，建立坐标系，则 F1(-7，0)，F2(7，0)，不妨设 P(x0，y0)，（ x0>0，y0>0） ∵ 021PFF y|FF|2 1S 21  ∴ 37 13y0  又 7x yk 0 0 PF1  ， 7x yk 0 0 PF2  直线 PF1 到直线 PF2 的角为 3 2 ∴ )7x)(7x( y1 7x y 7x y 3 2tan 00 2 0 0 0 0 0   ∴ 49yx y143 2 0 2 0 0   ∴ 49 620x 2 0  ∵ P 在椭圆上 ∴ 1 b y a x 2 2 0 2 2 0  ∴ 1 b49 507 a49 620 22  ……① 又 a2-b2=c2=49 ……② ①②联立，解得 a2=62，b2=13 ∴ 所求椭圆方程为 113 y 62 x 22  当 F1，F2 在 y 轴上时，椭圆方程为 113 x 62 y 22  思路二：不防设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则  3 2sinrr2 1S 21PFF 21 ∴ r1r2=52 在△F1PF2 中 |F1F2|2=r1 2+r2 2-2r1r2cos 3 2 ∴ |F1F2|2=(r1+r2)2-r1r2 ∴ 142=(2a)2-52 ∴ a2=62 ∴ b2=a2-c2=13 当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为 当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 162 y 13 x 22  注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉 及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知 识，如正弦定理，余弦定理等，△PF1F2 常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如 2a=r1+r2，求得 r1+r2， 即求得 2a；对条件 r1r2 的整体运用等。思路二是先定形状，再定位置。 例 2、定点 A（-1，1）， B（1，0），点 P 在椭圆 13 y 4 x 22  上运动，求|PA|+|PB|的最值。 解题思路分析： B 为右焦点 若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通 考虑用平面几何知识求解 解题的突破口是用定义转化|PB| 设左焦点为 B1（-1，0），则|PB|=2a-|PB1|=4-|PB1| ∴ |PA|+|PB|=4+|PA|-|PB1| ∵ |PA|-PB1|≤|AB1| 当且仅当 P、A、B1 三点共线时，等号成立 ∴ 连 AB1，延长交椭圆于 P1，则|P1A|-|P1B1|=|AB1| ∴ 当 P 在 P1 时(|PA|-|PB1|)max=|AB1|=1 ∴ (|PA|+|PB|)max=5，此时 P1（-1， 2 3 ） 又 |PA|+|PB|=4+|PA-|PB1|=4-（|PB1|-|PA|） ∴ 当|PB1|-|PA|最大时，|PA|+|PB|最小 同刚才理由，延长 B1、A 交椭圆于 P2 则|PB1|-|PA|≤|AB1|=|P2B1|-|P2A|=1 ∴ (|PA|+|PB|)min=3，此时 P2（-1， 2 3 ） 注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小 于第三边，如一般情形下，|PB1|-|PA|<|AB1|。当|AB1|为常数，且严格不等号能取得等号时，|AB1|为 |PB1|-|PA|的最大值。这是利用最值定义求最值时一种重要的处理方法，即先找不等关系，再试图寻找 等号成立的条件。 例 3、已知△ABC 的三边 a>b>c，且 a、b、c 成等差数列，A、C 坐标分别为（-1，0）和（1，0），求 顶点 B 的轨迹。 解题思路分析： ∵ a、b、c 成等差数列 ∴ a+c=2b 即 |BC|+|BA|=2|AC|=4 ∵ A、C 为定点，4>|AC|>2 ∴ 由椭圆定义知，点 B 轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，其方程为 根据题设，需检查完备性 ∵ a>b>c ∴ |BC|>|BA| ∴ 点 B 在 y 轴右侧 又 ABC 构成三角形 ∴ y≠0 ∴ 所求轨迹为椭圆 13 y 4 x 22  在 y 轴左侧部分，去掉（-2，0），如图 例 4、已知椭圆两个焦点坐标是 F1（-2，0）、 F2（2，0），且经过点 P（ 2 3,2 5  ），试求椭圆的标准方 程。 解题思路分析： 法一：利用待定系数法 根据焦点坐标特征，设椭圆方程为 1 b y a x 2 2 2 2  （a>b>0） 则           1 b )2 3( a )2 5( 4cba 2 2 2 2 222 解之得      6b 10a 2 2 ，或        )(2 3b 2 5a 2 2 舍 ∴ 椭圆的标准方程为 16 y 10 x 22  思路二：已知两焦点及椭圆上一点，利用定义求参数 2a=|PF1|+|PF2|= 102)2 3()22 5()2 3()22 5( 2222  ∴ a2=10 ∴ b2=a2-c2=6 ∴ 所求椭圆方程为 16 y 10 x 22  注：比较两种方法可知，思路一运算量大，利用定义则可大大减少字母运算，希望同学们重视定义 法解题。 例 5、已知两圆⊙O1：x2+y2+2x-15=0，⊙O2：x2+y2-2x=0 （1）证明两圆内含； （2）如果⊙P 与⊙O1 内切，又与⊙O2 外切，试求⊙P 圆心 P 的轨迹方程。 解题思路分析： （1）⊙O1：(x+1)2+y2=42，⊙O2：(x-1)2+y2=1 ∴ 圆心 O1（-1，0）， O2（1，0），半径 r1=4，r2=1 只需证|O1O2|<|r1-r2|即可 ∵ |O1O2|=2，|r1-r2|=r1-r2=3 ∴ ⊙O1 与⊙O2 内含 （2）设⊙P 的半径为 r1 则      r1|PO| r4|PO| 2 1 ∴ |PO1|+|PO2|=5 ∵ 5>|O1O2|=2 ∴ 点 P 轨迹是以 O1、O2 为焦点的椭圆，其方程为 1 4 9 y 4 25 x 22  五、同步练习 （一）选择题 1、焦距为 6，焦点在 x 轴上的椭圆经过点（0，-4），则如椭圆标准方程是 A、 136 y 100 x 22  B、 164 y 100 x 22  C、 116 y 25 x 22  D、 19 y 25 x 22  2、方程 13m y m7 x 22  表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是 A、（ 3，7） B、（ 3，5）∪（5，7） C、（ 3，5） D、（ 5，7） 3、过椭圆 13 y 4 x 22  的一个焦点，且垂直于 x 轴的直线被此椭圆截得的弦长为 A、 2 3 B、3 C、 2 3 D、 3 4、若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点是（0，-4），则实数 k 的值是 A、 8 1 B、8 C、 32 1 D、32 5、已知 F1、F2 是椭圆 19 y 25 x 22  的两个焦点，过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点，则△MNF2 的周长 是 A、10 B、16 C、20 D、32 6、若关于 x、y 的方程 x2sinα -y2cosα =1 所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cosα )2+ (y+sinα )2=1 所表示的圆的圆心在 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 7、已知两椭圆 ax2+y2=8 与 9x2+25y2=100 的焦距相等，则 a 的值为 A、9 或 17 9 B、 4 3 或 2 3 C、9 或 4 3 D、 17 9 或 2 3 8、若 F 是椭圆 1 b y a x 2 22  （a>b>0）的一个焦点，MN 是过中心的一条弦，则△FMN 面积的最大值是 A、ab B、ac C、bc D、 2 ab （二）填空题 9、椭圆 4x2+2y2=1 的焦点坐标是____________。 10 、 椭 圆 上 一 点 P 与 两 焦 点 恰 好 构 成 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， 则 此 椭 圆 标 准 方 程 为 ______________________________。 11、中心在原点，以直线 3x+4y-12=0 与两坐标轴的交点分别作为顶点和焦点的椭圆方程是 ________________________。 12、对称轴在坐标轴上的椭圆经过点 P（3，0），且长轴长是短轴长的三倍，则椭圆方程是 _______________________。 13、若方程 1k3 y 5k x 22  表示椭圆，则实数 k 的取值范围是______________。 14、若方程 1k10 y 5k x 22  表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是______________。 15、椭圆 ax2+by2+ab=0（a0）的距离的平方和为常数 r2（r>），求此动点的轨迹。 18、设 P 是椭圆 1 b y a x 2 2 2 2  （a>b>0）上的一点，F1、F2 是椭圆的两个焦点 （1）记∠F1PF2=θ ，求证 2tanbS 2 PFF 21  ； （2）若|PF1|-|PF2|=2m（m>0），求证：∠F1PF2= 22 222 na ab2marccos   19、已知 B（8，0）， C（-8，0）是△ABC 的两个顶点，AB、AC 上中线长之和为 30，分别求重心 G 和顶点 A 的轨迹方程。 20、过原点的椭圆的一个焦点为 F（1，0），其长轴长为 4，求椭圆中心的轨迹方程。 六、参考答案 （一）选择题 1、C。 设两焦点 F1（-3，0）、 F2（3，0），定点 P（0，-4），则 2a=|PF1|+|PF2|= 10)4()3()4(3 2223  ，∴a=5，∴b2=a2-c2=25-9=16，∴椭圆方程 19 y 25 x 22  或用待定系数法：设椭圆方程为 1 b y a x 2 2 2 2  （a>b>0)，则      1 b 16 9cba 2 222 ，∴      16b 25a 2 2 2、D。 m 满足       3mm7 03m 0m7 ，∴5b>0）则      1 a 9 3b2a2 2 ，      9a 3b 2 2 ，当 焦点在 y 轴上时，同理可得 b2=9，a2=81 13、(3，4)∪(4，5) 标准方程为 13k y k5 x 22  ，则       3kk5 03k 0k5 ，∴       4k 3k 5k 14、 )2 15,5( k 满足       k105k 0k10 05k ，           2 15k 10k 5k ，∴ 2 15k5  15、 )ab,0(  椭圆标准方程为 1a y b x 22  ，则 -a>-b>0，c2=-a-(-b)=b-a，∴焦点（0， ab  ） （三）解答题 16、解：设 P（3，4），则圆心为 F1F2 中点（原点），|F1F2|=2|OP|=10， ∴ c=5 ∴ F1（-5，0）， F2（5，0） ∴ 2a=|PF1|+|PF2|= 564248 2222  ∴ a2=45 ∴ b2=a2-c2=20 ∴ 所求椭圆方程 120 y 45 x 22  17、解：设动点 P（x，y），则 22 2 2 2 r) 1k |ykx|() 1k |ykx|(      整理得：2k2x2+2y2=r2(1+k2) 当 k2=1，k=1 时，方程为 x2+y2=r2，轨迹是以原点为圆心，r 为半径的圆 当 k2≠1，k≠1 时，整理方程得 1 2 )k1(r y k2 )k1(r x 22 2 2 22 2     当 k>1 时， 2 222 k2 )k1(r 2 )k1(r  ，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 当 0