高二数学人教a必修5练习：第一章解三角形章末检测（a）word版含解析 7页

第一章 章末检测（A） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a＝ 5 2 b，A＝2B，则 cos B 等于( ) A. 5 3 B. 5 4 C. 5 5 D. 5 6 答案 B 解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ， ∴a＝ 5 2 b 可化为sin A sin B ＝ 5 2 . 又 A＝2B，∴sin 2B sin B ＝ 5 2 ，∴cos B＝ 5 4 . 2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10 ，则 BA ·AC→等于( ) A．－3 2 B．－2 3 C.2 3 D.3 2 答案 A 解析 由余弦定理得 cos A＝AB2＋AC2－BC2 2AB·AC ＝9＋4－10 12 ＝1 4. ∴ AB ·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos A＝3×2×1 4 ＝3 2. ∴ BA ·AC→＝－AB→·AC→＝－3 2. 3．在△ABC 中，已知 a＝ 5，b＝ 15，A＝30°，则 c 等于( ) A．2 5 B. 5 C．2 5或 5 D．以上都不对 答案 C 解析 ∵a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴5＝15＋c2－2 15×c× 3 2 . 化简得：c2－3 5c＋10＝0，即(c－2 5)(c－ 5)＝0， ∴c＝2 5或 c＝ 5. 4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 答案 D 解析 A 中，因 a sin A ＝ b sin B ， 所以 sin B＝16×sin 30° 8 ＝1，∴B＝90°，即只有一解； B 中，sin C＝20sin 60° 18 ＝5 3 9 ， 且 c>b，∴C>B，故有两解；C 中， ∵A＝90°，a＝5，c＝2， ∴b＝ a2－c2＝ 25－4＝ 21， 即有解，故 A、B、C 都不正确． 5．△ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为1 3 ，则其外接圆的半径为( ) A.9 2 2 B.9 2 4 C.9 2 8 D．9 2 答案 C 解析 设另一条边为 x， 则 x2＝22＋32－2×2×3×1 3 ， ∴x2＝9，∴x＝3.设 cos θ＝1 3 ，则 sin θ＝2 2 3 . ∴2R＝ 3 sin θ ＝ 3 2 2 3 ＝9 2 4 ，R＝9 2 8 . 6．在△ABC 中，cos2 A 2 ＝b＋c 2c (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，则△ABC 的形状 为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 答案 A 解析 由 cos2A 2 ＝b＋c 2c ⇒cos A＝b c ， 又 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ， ∴b2＋c2－a2＝2b2⇒a2＋b2＝c2，故选 A. 7．已知△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a＝c＝ 6＋ 2，且 A＝75°，则 b 等于( ) A．2 B. 6－ 2 C．4－2 3 D．4＋2 3 答案 A 解析 sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝ 6＋ 2 4 ， 由 a＝c 知，C＝75°，B＝30°.sin B＝1 2. 由正弦定理： b sin B ＝ a sin A ＝ 6＋ 2 6＋ 2 4 ＝4. ∴b＝4sin B＝2. 8．在△ABC 中，已知 b2－bc－2c2＝0，a＝ 6，cos A＝7 8 ，则△ABC 的面积 S 为( ) A. 15 2 B. 15 C.8 15 5 D．6 3 答案 A 解析 由 b2－bc－2c2＝0 可得(b＋c)(b－2c)＝0. ∴b＝2c，在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A， 即 6＝4c2＋c2－4c2·7 8. ∴c＝2，从而 b＝4.∴S△ABC＝1 2bcsin A＝1 2 ×2×4× 1－ 7 8 2＝ 15 2 . 9．在△ABC 中，AB＝7，AC＝6，M 是 BC 的中点，AM＝4，则 BC 等于( ) A. 21 B. 106 C. 69 D. 154 答案 B 解析 设 BC＝a，则 BM＝MC＝a 2. 在△ABM 中，AB2＝BM 2＋AM 2－2BM·AM·cos∠AMB， 即 72＝1 4a2＋42－2×a 2 ×4·cos∠AMB ① 在△ACM 中，AC2＝AM 2＋CM 2－2AM·CM·cos∠AMC 即 62＝42＋1 4a2＋2×4×a 2·cos∠AMB ② ①＋②得：72＋62＝42＋42＋1 2a2，∴a＝ 106. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．有一内角是 30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一内角是 30°的等腰三角形 答案 C 解析 ∵sin A a ＝cos B b ，∴acos B＝bsin A， ∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0. ∴cos B＝sin B，∴B＝45°.同理 C＝45°，故 A＝90°. 11．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ 3ac，则 角 B 的值为( ) A.π 6 B.π 3 C.π 6 或5π 6 D.π 3 或2π 3 答案 D 解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝ 3ac， ∴a2＋c2－b2 2ac ·tan B＝ 3 2 ， 即 cos B·tan B＝sin B＝ 3 2 . ∵0a＋2 a2＋a＋12－a＋22<0 a2＋a＋12－a＋22 2aa＋1 ≥－1 2 . 解得3 2 ≤a<3. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分) 17．(10 分)如图所示，我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45°且距离为 12 海里的 B 处 正以每小时 10 海里的速度向方位角 105°的方向逃窜，我艇立即以 14 海里/小时的速度追击， 求我艇追上走私船所需要的时间． 解 设我艇追上走私船所需时间为 t 小时，则 BC＝10t，AC＝14t，在△ABC 中， 由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知： (14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°， ∴t＝2. 答 我艇追上走私船所需的时间为 2 小时． 18．(12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，且 cos A＝4 5. (1)求 sin2 B＋C 2 ＋cos 2A 的值； (2)若 b＝2，△ABC 的面积 S＝3，求 a. 解 (1)sin2 B＋C 2 ＋cos 2A＝1－cosB＋C 2 ＋cos 2A＝1＋cos A 2 ＋2cos2 A－1＝59 50. (2)∵cos A＝4 5 ，∴sin A＝3 5. 由 S△ABC＝1 2bcsin A，得 3＝1 2 ×2c×3 5 ，解得 c＝5. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，可得 a2＝4＋25－2×2×5×4 5 ＝13，∴a＝ 13. 19．(12 分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， BD 交 AC 于 E，AB＝2. (1)求 cos∠CBE 的值； (2)求 AE. 解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD， ∴∠CBE＝15°. ∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝ 6＋ 2 4 . (2)在△ABE 中，AB＝2， 由正弦定理得 AE sin∠ABE ＝ AB sin∠AEB ， 即 AE sin45°－15° ＝ 2 sin90°＋15° ， 故 AE＝2sin 30° cos 15° ＝ 2×1 2 6＋ 2 4 ＝ 6－ 2. 20．(12 分)已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos B＝3 5. (1)若 b＝4，求 sin A 的值； (2)若△ABC 的面积 S△ABC＝4，求 b，c 的值． 解 (1)∵cos B＝3 5>0，且 0