高中数学人教a版选修1-2学业分层测评2独立性检验的基本思想及其初步应用word版含解析 9页

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如果在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为事件 A和 B有关，那么具 体算出的数据满足( ) A．K2>3.841 B．K2<3.841 C．K2>6.635 D．K2<6.635 【解析】 对应 P(K2≥k0)的临界值表可知，当 K2>3.841时，在犯错误的概 率不超过 0.05的前提下认为事件 A与 B有关． 【答案】 A 2．通过随机询问 110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的 列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d 算得， k＝110×40×30－20×202 60×50×60×50 ≈7.8. 附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有 关” B．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无 关” C．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【解析】 根据独立性检验的思想方法，正确选项为 C. 【答案】 C 3．下列关于等高条形图的叙述正确的是( ) A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系 B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小 C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系 D．以上说法都不对 【解析】 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故 A错．在 等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故 B错． 【答案】 C 3．分类变量 X和 Y的列联表如下，则( ) y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d A.ad－bc越小，说明 X与 Y的关系越弱 B．ad－bc越大，说明 X与 Y的关系越强 C．(ad－bc)2越大，说明 X与 Y的关系越强 D．(ad－bc)2越接近于 0，说明 X与 Y的关系越强 【解析】 结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与 Y的相关性越强， 从而(ad－bc)2越大，说明 X与 Y的相关性越强． 【答案】 C 4．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得 到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过 0.01的前提下 认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( ) A．100个心脏病患者中至少有 99人打鼾 B．1个人患心脏病，则这个人有 99%的概率打鼾 C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人 D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有 【解析】 这是独立性检验，在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为“打 鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为 99%. 根据概率的意义可知答案应选 D. 【答案】 D 5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取 了 60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据： 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般 8 20 28 总计 30 30 60 由以上数据，计算得到 K2的观测值 k≈9.643，根据临界值表，以下说法正 确的是( ) 【导学号：19220006】 A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B．有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C．有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D．有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 【解析】 根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过 0.005的前 提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有 99.5%的把握认为课外阅读 量大与作文成绩优秀有关． 【答案】 D 二、填空题 6．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法： ①若 K2的观测值 k>6.635，则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为 吸烟与患肺病有关系，那么在 100个吸烟的人中必有 99人患有肺病； ②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为吸烟与患 肺病有关系时，若某人吸烟，则他有 99%的可能患有肺病； ③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为吸烟与患 肺病有关系时，是指有 5%的可能性使得推断错误． 其中说法正确的是________．(填序号) 【解析】 K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确 定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断 犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确． 【答案】 ③ 6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量 的电离辐射照射小白鼠．在照射后 14天内的结果如表所示： 死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计 20 30 50 进行统计分析时的统计假设是__________． 【解析】 由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电 离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关． 【答案】 假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关 7．为研究某新药的疗效，给 50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数 据： 无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计 21 79 100 设 H0：服用此药的效果与患者性别无关，则 K2的观测值 k≈________，从 而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为 ________． 【解析】 由公式计算得 K2的观测值 k≈4.882， ∵k>3.841，∴有 95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而 有 5%的可能性出错． 【答案】 4.882 5% 8．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据： 吃零食 不吃零食 总计 男生 27 34 61 女生 12 29 41 总计 39 63 102 根据上述数据分析，我们得出的 K2的观测值 k约为________． 【解析】 由公式可计算得 k＝102×27×29－34×122 39×63×61×41 ≈2.334. 【答案】 2.334 三、解答题 9．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照 组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下： 阳性数 阴性数 总计 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 总计 38 35 73 试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有 无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系． 【解】 等高条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性 的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明 显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系． 10．(2016·江西吉安高二检测)对某校小学生进行心理障碍测试得到如下表列 联表： 有心理障碍 没有心理障碍 总计 女生 10 30 男生 70 80 总计 20 110 将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？ 附： P(K2 ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解】 将列联表补充完整如下： 有心理障碍 没有心理障碍 总计 女生 10 20 30 男生 10 70 80 总计 20 90 110 k＝110×10×70－20×102 30×80×20×90 ≈6.366>5.024， 所以有 97.5%的把握认为心理障碍与性别有关． [能力提升] 1．(2016·玉溪高二检测)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用， 把 500名使用血清的人与另外 500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较， 提出假设 H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算 K2≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是( ) A．有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B．若有人未使用该血清，那么他一年中有 95%的可能性得感冒 C．这种血清预防感冒的有效率为 95% D．这种血清预防感冒的效率为 5% 【解析】 根据随机变量 K2的意义知 A正确． 【答案】 A 2．有两个分类变量 X，Y，其一组观测值如下面的 2×2列联表所示： Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中 a,15－a均为大于 5的整数，若在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认 为 X，Y有关，则 a的值为( ) A．8 B．9 C．8,9 D．6,8 【解析】 根据公式，得 k＝65×[a30＋a－15－a20－a]2 20×45×15×50 ＝ 13×13a－602 20×45×3×2 >3.841， 根据 a>5且 15－a>5，a∈Z，求得 a＝8,9满足题意． 【答案】 C 3．某班主任对全班 50名学生作了一次调查，所得数据如下表： 认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总计 26 24 50 由表中数据计算得到 K2的观测值 k≈5.059，于是________(填“能”或“不 能”)在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与作业多有关． 【解析】 查表知若要在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为喜欢玩电 脑游戏与认为作业多有关，则临界值 k0＝6.635.本题中，k≈5.059<6.635，所以不 能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关． 【答案】 不能 3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具 体数据如下表： 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到 K2 ＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“有”或“没有”)95%的把 握认为主修统计专业与性别有关系． (参考公式：)K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ； P(K2≥k) 0.050 0.010 k 3.841 6.625 【解析】 根据提供的表格，得 k＝5013×20－7×102 23×27×20×30 ≈4.844＞3.841， ∴可以判定有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关系． 【答案】 有 4．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从 该地区调查了 500位老年人，结果如下表： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别 有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需 要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 参考公式：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ，其中 n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解】 (1)调查的 500位老年人中有 70位需要志愿者提供帮助，因此该地 区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为 70 500 ＝14%. (2)k＝500×40×270－30×1602 200×300×70×430 ≈9.967. 由于 9.967＞6.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与 性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数 据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在 调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用 分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．