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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列是函数 f(x)在[a,b]上的图象,则 f(x)在(a,b)上无最大值
的是( )
【解析】 在开区间(a,b)上,只有 D 选项中的函数 f(x)无最大值.
【答案】 D
2.函数 f(x)=2 x+1
x
,x∈(0,5]的最小值为( )
A.2 B.3
C.17
4 D.2 2+1
2
【解析】 由 f′(x)= 1
x
-1
x2=x3
2
-1
x2
=0,得 x=1,
且 x∈(0,1]时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,
∴x=1 时,f(x)最小,最小值为 f(1)=3.
【答案】 B
3.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值为 M,最小值
为 m,则 M-m 的值为( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
【解析】 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2.
因为 f(0)=2,f(-1)=-2,f(1)=0,
所以 M=2,m=-2.
所以 M-m=4.
【答案】 C
4.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为
( )
A.0≤a<1 B.0<a<1
C.-1<a<1 D.0<a<1
2
【解析】 ∵f′(x)=3x2-3a,令 f′(x)=0 得 x2=a.
∴x=± a.
又∵f(x)在(0,1)内有最小值,
∴0< a<1,∴0<a<1.故选 B.
【答案】 B
5.已知函数 f(x)=ax3+c,且 f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值
为 20,则 c 的值为( )
A.1 B.4
C.-1 D.0
【解析】 ∵f′(x)=3ax2,
∴f′(1)=3a=6,∴a=2.
当 x∈[1,2]时,f′(x)=6x2>0,即 f(x)在[1,2]上是增函数,
∴f(x)max=f(2)=2×23+c=20,
∴c=4.
【答案】 B
二、填空题
6.函数 f(x)=3x+sin x 在 x∈[0,π]上的最小值为________.
【解析】 f′(x)=3xln 3+cos x.
∵x∈[0,π]时,3xln 3>1,-1≤cos x≤1,
∴f′(x)>0.
∴f(x)递增,∴f(x)min=f(0)=1.
【答案】 1
7.已知函数 f(x)=x3-3
2ax2+b(a,b 为实数,且 a>1)在区间[-1,1]
上的最大值为 1,最小值为-1,则 a=________,b=________.
【解析】 ∵f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),
令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=a.
∵a>1,
∴当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f′(x) + 0 -
f(x)
-1-3
2a
+b
极大
值 b
1-3
2a
+b
由题意得 b=1.
f(-1)=-3a
2
,f(1)=2-3a
2
,
f(-1)<f(1),
∴-3a
2
=-1,∴a=2
3.
【答案】 2
3 1
8.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对任意的 x∈(0,1]都有 f(x)≥0
成立,则实数 a 的取值范围为________. 【导学号:26160094】
【解析】 ∵x∈(0,1],
∴f(x)≥0 可化为 a≥3
x2-1
x3.
设 g(x)=3
x2-1
x3,则 g′(x)=31-2x
x4 .
令 g′(x)=0,得 x=1
2.
当 00;
当1
20,
得 a>-1
9.所以,当 a>-1
9
时,f(x)在
2
3
,+∞ 上存在单调递增区间.
(2)令 f′(x)=0,得两根 x1=1- 1+8a
2
,
x2=1+ 1+8a
2 .
所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递
增.
当 00,故|MN|min=1
3
1-ln1
3 =1
3(1+ln 3).
【答案】 A
3.已知函数 f(x)=2ln x+ a
x2(a>0),若当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥2
恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 【导学号:26160095】
【解析】 由 f(x)≥2,得 a≥2x2-2x2ln x.
设 g(x)=2x2-2x2ln x,
则 g′(x)=2x(1-2ln x),
令 g′(x)=0,得 x=e
1
2 或 x=0(舍去),
因为当 00;当 x>e
1
2 时,g′(x)<0.
所以当 x=e
1
2 时,g(x)取得最大值 g(e
1
2 )=e,故 a≥e.
【答案】 a≥e
4.设2
3
<a<1,函数 f(x)=x3-3
2ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为 1,
最小值为- 6
2
,求常数 a,b 的值.
【解】 令 f′(x)=3x2-3ax=0,得 x1=0,x2=a.
由题意可知当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1
f′(x) + 0 - 0 +
f(x)
-1-
3
2a+b
b -a3
2
+b
1-3
2a
+b
从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,
而 f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较 f(0)与 f(1)的大小.
因为 f(0)-f(1)=3
2a-1>0,
所以 f(x)的最大值为 f(0)=b,所以 b=1,
又 f(-1)-f(a)=1
2(a+1)2(a-2)<0,
所以 f(x)的最小值为 f(-1)=-1-3
2a+b=-3
2a,
所以-3
2a=- 6
2
,所以 a= 6
3 .
综上,a= 6
3
,b=1.
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