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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修1-1第三章导数及其应用学业分层测评18word版含答案

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学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列是函数 f(x)在[a,b]上的图象,则 f(x)在(a,b)上无最大值 的是( ) 【解析】 在开区间(a,b)上,只有 D 选项中的函数 f(x)无最大值. 【答案】 D 2.函数 f(x)=2 x+1 x ,x∈(0,5]的最小值为( ) A.2 B.3 C.17 4 D.2 2+1 2 【解析】 由 f′(x)= 1 x -1 x2=x3 2 -1 x2 =0,得 x=1, 且 x∈(0,1]时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0, ∴x=1 时,f(x)最小,最小值为 f(1)=3. 【答案】 B 3.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值为 M,最小值 为 m,则 M-m 的值为( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 【解析】 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 因为 f(0)=2,f(-1)=-2,f(1)=0, 所以 M=2,m=-2. 所以 M-m=4. 【答案】 C 4.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为 ( ) A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1 D.0<a<1 2 【解析】 ∵f′(x)=3x2-3a,令 f′(x)=0 得 x2=a. ∴x=± a. 又∵f(x)在(0,1)内有最小值, ∴0< a<1,∴0<a<1.故选 B. 【答案】 B 5.已知函数 f(x)=ax3+c,且 f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值 为 20,则 c 的值为( ) A.1 B.4 C.-1 D.0 【解析】 ∵f′(x)=3ax2, ∴f′(1)=3a=6,∴a=2. 当 x∈[1,2]时,f′(x)=6x2>0,即 f(x)在[1,2]上是增函数, ∴f(x)max=f(2)=2×23+c=20, ∴c=4. 【答案】 B 二、填空题 6.函数 f(x)=3x+sin x 在 x∈[0,π]上的最小值为________. 【解析】 f′(x)=3xln 3+cos x. ∵x∈[0,π]时,3xln 3>1,-1≤cos x≤1, ∴f′(x)>0. ∴f(x)递增,∴f(x)min=f(0)=1. 【答案】 1 7.已知函数 f(x)=x3-3 2ax2+b(a,b 为实数,且 a>1)在区间[-1,1] 上的最大值为 1,最小值为-1,则 a=________,b=________. 【解析】 ∵f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a), 令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=a. ∵a>1, ∴当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 f′(x) + 0 - f(x) -1-3 2a +b 极大 值 b 1-3 2a +b 由题意得 b=1. f(-1)=-3a 2 ,f(1)=2-3a 2 , f(-1)<f(1), ∴-3a 2 =-1,∴a=2 3. 【答案】 2 3 1 8.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对任意的 x∈(0,1]都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的取值范围为________. 【导学号:26160094】 【解析】 ∵x∈(0,1], ∴f(x)≥0 可化为 a≥3 x2-1 x3. 设 g(x)=3 x2-1 x3,则 g′(x)=31-2x x4 . 令 g′(x)=0,得 x=1 2. 当 00; 当1 20, 得 a>-1 9.所以,当 a>-1 9 时,f(x)在 2 3 ,+∞ 上存在单调递增区间. (2)令 f′(x)=0,得两根 x1=1- 1+8a 2 , x2=1+ 1+8a 2 . 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递 增. 当 00,故|MN|min=1 3 1-ln1 3 =1 3(1+ln 3). 【答案】 A 3.已知函数 f(x)=2ln x+ a x2(a>0),若当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥2 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 【导学号:26160095】 【解析】 由 f(x)≥2,得 a≥2x2-2x2ln x. 设 g(x)=2x2-2x2ln x, 则 g′(x)=2x(1-2ln x), 令 g′(x)=0,得 x=e 1 2 或 x=0(舍去), 因为当 00;当 x>e 1 2 时,g′(x)<0. 所以当 x=e 1 2 时,g(x)取得最大值 g(e 1 2 )=e,故 a≥e. 【答案】 a≥e 4.设2 3 <a<1,函数 f(x)=x3-3 2ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为 1, 最小值为- 6 2 ,求常数 a,b 的值. 【解】 令 f′(x)=3x2-3ax=0,得 x1=0,x2=a. 由题意可知当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f′(x) + 0 - 0 + f(x) -1- 3 2a+b b -a3 2 +b 1-3 2a +b 从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b, 而 f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较 f(0)与 f(1)的大小. 因为 f(0)-f(1)=3 2a-1>0, 所以 f(x)的最大值为 f(0)=b,所以 b=1, 又 f(-1)-f(a)=1 2(a+1)2(a-2)<0, 所以 f(x)的最小值为 f(-1)=-1-3 2a+b=-3 2a, 所以-3 2a=- 6 2 ,所以 a= 6 3 . 综上,a= 6 3 ,b=1.