上海市崇明区2021届高三上学期第一次高考模拟考试（一模）数学试卷2020 12页

上海市崇明区 2021 届第一次高考模拟考试数学试卷 2020.12.11 时间：120 分钟；满分：150 分 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 设集合 {1,2,3}A  ，集合 {3,4}B  ，则 A B I 2. 不等式 1 02 x x   的解集是 3. 已知复数 z 满足 ( 2)i 1z   （i 是虚数单位），则 z  4. 设函数 1( ) 1f x x   的反函数为 1( )f x ，则 1(2)f   5. 点 (0,0) 到直线 2x y  的距离是 6. 计算： 1 2 3lim ( 2)n n n n     7. 若关于 x 、 y 的方程组 4 6 1 3 2 x y ax y      无解，则实数 a  8. 用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示） 9. 若 2 3(2 )na b 的二项展开式中有一项为 4 12ma b ，则 m  10. 设 O 为坐标原点，直线 x a 与双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0a  ， 0b  ）的两条渐近线 分别交于 D 、 E 两点，若△ODE 的面积为 1，则双曲线 C 的焦距的最小值为 11. 已知函数 ( )y f x ，对任意 x  R ，都有 ( 2) ( )f x f x k   （ k 为常数），且当 [0,2]x  时， 2( ) 1f x x  ，则 (2021)f  12. 已知点 D 为圆 2 2: 4O x y  的弦 MN 的中点，点 A的坐标为 (1,0) ，且 1AM AN  uuur uuur ， 则 OA OD uur uuur 的最大值为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 若 0a b  ，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 1 1 a b  B. a b  C. 2 2a b D. 3 3a b 14. 正方体上点 P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 异面的图形是（ ） A. B. C. D. 15. 设{ }na 为等比数列，则“对于任意的 *m N ， 2m ma a  ”是“{ }na 为递增数列”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 设函数 ( )y f x 的定义域是 R ，对于下列四个命题： （1）若函数 ( )y f x 是奇函数，则函数 ( ( ))y f f x 是奇函数； （2）若函数 ( )y f x 是周期函数，则函数 ( ( ))y f f x 是周期函数； （3）若函数 ( )y f x 是单调减函数，则函数 ( ( ))y f f x 是单调减函数； （4）若函数 ( )y f x 存在反函数 1( )y f x ，且函数 1( ) ( )y f x f x  有零点， 则函数 ( )y f x x  也有零点； 其中正确的命题共有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，已知 AB  平面 BCD ， BC BD ，直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 30°， 且 2AB BC  . （1）求三棱锥 A BCD 的体积； （2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与CM 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 18. 已知函数 21( ) sin2 3cos2f x x x  . （1）求函数 ( )y f x 的最小正周期； （2）在 ABC 中，角 A、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，若锐角 A满足 1 3( ) 2f A  ， 6C  ， 2c  ，求 ABC 的面积. 19. 研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数 y 与听课时间 x （单位：分钟） 之间的变化曲线如图所示，当 [0,16]x  时，曲线是二次函数图像的一部分；当 [16,40]x  时，曲线是函数 0.880 log ( )y x a   图像的一部分，当学生的注意力指数不高于 68 时， 称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数 ( )y f x 的解析式； （2）在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长？（精确到 1 分钟） 20. 已知椭圆 2 2: 14 x y   的左右顶点分别为 A、B ，P 为直线 4x  上的动点，直线 PA 与椭圆  的另一交点为 C ，直线 PB 与椭圆  的另一交点为 D . （1）若点 C 的坐标为 (0,1) ，求点 P 的坐标； （2）若点 P 的坐标为 (4,1) ，求以 BD 为直径的圆的方程； （3）求证：直线CD 过定点. 21. 对于数列{ }na ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{ }na 为 P 数列. （1）若数列 1，2， x ，8 是 P 数列，求实数 x 的取值范围； （2）设数列 1a ， 2a ， 3a ，， 10a 是首项为 1 、公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数 列，求 d 的取值范围； （3）设无穷数列{ }na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列，有穷数列{ }nb 、{ }nc 是从{ }na 中 取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为 1T 、 2T ，求证：当 0a  且 1 2T T 时，数列{ }na 不是 P 数列. 上海市崇明区 2021 届第一次高考模拟考试数学试卷(教师解析版）2020.12.11 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 设集合 {1,2,3}A  ，集合 {3,4}B  ，则 A B I 【答案】{3} 2. 不等式 1 02 x x   的解集是 【答案】 ( 2,1) 3. 已知复数 z 满足 ( 2)i 1z   （i 是虚数单位），则 z  【解析】因为 ( 2) 1z i  ，所以 1 2 2z ii     ，所以 2z i  . 4. 设函数 1( ) 1f x x   的反函数为 1( )f x ，则 1(2)f   【解析】在 1( ) 1f x x   中，令 2y  ，得 1 2x   ，所以 1 1(2) 2f    . 5. 点 (0,0) 到直线 2x y  的距离是 【解析】由点到直线的距离公式得 2 2 2 d   . 6. 计算： 1 2 3lim ( 2)n n n n     【解析】 1 2 3lim lim lim( ( 1) 1 1 2 ( 2) 2( 2) 22)n n n n n n n n n nn n             . 7. 若关于 x 、 y 的方程组 4 6 1 3 2 x y ax y      无解，则实数 a  【解析】由题意得 4 6 12 6 03D aa      ，所以 2a   ， 经检验满足题意，所以 2a   . 8. 用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示） 【解析】先挑个位，有 1 3C 种；再挑百位，有 1 4C 种；最后挑十位，有 1 4C 种； 故奇数的个数为 1 1 1 3 4 4 48C C C  个. 9. 若 2 3(2 )na b 的二项展开式中有一项为 4 12ma b ，则 m  【解析】展开式的通项为 2 2 2 3 1 2 r n r r r n rT C a b    ，令 2 2 4 3 12 n r r     ，解得 6 4 n r    ，所以 4 2 5 2 60m C  . 10. 设 O 为坐标原点，直线 x a 与双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0a  ， 0b  ）的两条渐近线 分别交于 D 、 E 两点，若△ODE 的面积为 1，则双曲线 C 的焦距的最小值为 【解析】双曲线的渐近线为 by xa   ，所以 ( , ), ( , )D a b E a b ， 因为 ODE 的面积为 1，所以 12 12a b   ，即 1ab  ， 因为 2 2 2c a b  ，所以 2 22 2 2 2 2 2c a b ab    ， 即双曲线的焦距的最小值为 2 2 . 11. 已知函数 ( )y f x ，对任意 x  R ，都有 ( 2) ( )f x f x k   （ k 为常数），且当 [0,2]x  时， 2( ) 1f x x  ，则 (2021)f  【解析】因为对任意 x R ，都有 ( 2) ( )f x f x k   为常数，所以 ( 4) ( 2)f x f x k    ， 从而 ( 4) ( )f x f x  ，即 ( )f x 的周期为 4， 所以 (2021) (1) 2f f  . 12. 已知点 D 为圆 2 2: 4O x y  的弦 MN 的中点，点 A的坐标为 (1,0) ，且 1AM AN  uuur uuur ， 则 OA OD uur uuur 的最大值为 【解析】设 ( , )D x y ，则 ( ) ( ) ( ) ( )AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN                   2 2 2 2 2 2 4 4 1AD DN AD OD AD OD              ， 因为 ( 1, ), ( , )AD x y OD x y    ，所以 2 2 2 2( 1) 5x y x y     ， 整理得 2 21 9 2 4x y      ，即为点 ( , )D x y 的轨迹方程，所以 1 3 22 2OA OD x      ， 故OA OD  的最大值为 2. 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 若 0a b  ，则下列不等式恒成立的是（ D ） A. 1 1 a b  B. a b  C. 2 2a b D. 3 3a b 14. 正方体上点 P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 异面的图形是（ B ） A. B. C. D. 、 15. 设{ }na 为等比数列，则“对于任意的 *m N ， 2m ma a  ”是“{ }na 为递增数列”的 （ C ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】对任意的 * 2, m mm N a a  ，必有 20, 1ma q＞ ＞ ，即 1q＞ ，所以 na 为递增数列； 反之，若 na 为递增数列，则 2 1m m ma a a   ，故为充要条件，故选 C. 16. 设函数 ( )y f x 的定义域是 R ，对于下列四个命题： （1）若函数 ( )y f x 是奇函数，则函数 ( ( ))y f f x 是奇函数； （2）若函数 ( )y f x 是周期函数，则函数 ( ( ))y f f x 是周期函数； （3）若函数 ( )y f x 是单调减函数，则函数 ( ( ))y f f x 是单调减函数； （4）若函数 ( )y f x 存在反函数 1( )y f x ，且函数 1( ) ( )y f x f x  有零点， 则函数 ( )y f x x  也有零点； 其中正确的命题共有（ B ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【解析】①若 ( )y f x 是奇函数，则 ( ) ( )f x f x   ， ( ( )) ( ( )) ( ( ))f f x f f x f f x     也 是奇函数，正确； ②若 ( )y f x 是周期函数，则 ( ) ( )f x T f x  ， ( ( )) ( ( ))f f x T f f x  也是周期函数，正 确； ③若 ( )y f x 是单调递减函数，则根据复合函数的性质， ( ( ))y f f x 是单调递增函数，不 正确； ④函数、反函数的图像与直线 y x 可以没有交点，可以只有唯一交点，也可以有 若干个、甚至无穷多个公共点；函数与反函数的图像在直线 y x 之外也可能有交点，函数 16y x 与其反函数 1 16 logy x 确实有三个交点，分别是：  1 1 1 1( , ), 0.3643,0.3643 ,( , )4 2 2 4 ,其中只有一个交点  0.3643,0.3643 是在直线 y x 上.这里 0.3643 是个近似数，它的准确值是个超越数，即无法用有理数的分数指数幂 表示的无理数，不正确；故选 D. 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，已知 AB  平面 BCD ， BC BD ，直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 30°， 且 2AB BC  . （1）求三棱锥 A BCD 的体积； （2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小. （结果用反三角函数值表 示） 【解析】（1）因为 AB  平面 BCD ，所以 ADB 就是 AD 与平面 BCD所成的角， 即 30ADB   ，所以 2 3BD  ，所以 1 4 33 3A BCD BCDV S AB    ； （2）取 AB 中点 E ，连结 ,EM EC ，则 / /EM AD ， 所以 EMC 就是异面直线 AD 与CM 所成的角（或其补角）， 在 EMC 中， 72, , 5EM CM EC   ， 所以 2 2 2 4 3 5 3 7cos 2 142 2 3 EM CM ECEMC EM CM          ， 即 3 7arccos 14EMC  ， 所以异面直线 AD 与CM 所成的角为 3 7arccos 14 . 18. 已知函数 21( ) sin2 3cos2f x x x  . （1）求函数 ( )y f x 的最小正周期； （2）在 ABC 中，角 A、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，若锐角 A满足 1 3( ) 2f A  ， 6C  ， 2c  ，求 ABC 的面积. 【解析】（1） 21 1 1 cos2( ) sin2 3cos sin2 32 2 2 xf x x x x     1 3 3 3sin2 cos2 sin(2 )2 2 2 3 2 πx x x      ，所以最小正周期 2 2 πT π  ； （2）因为 3sin(2 )) 2 1 3( 23 πf AA    ，所以 1sin(2 )3 2 πA   ， 又 A为锐角，所以 22 ,3 3 2 π π πA       ，所以 2 3 6 π πA  ，所以 4 πA  ， 又 , 26 πC c  ，由正弦定理得 sin sin a c A C  ，解得 2 2a  ， 而 6 2sin sin( ) sin 4 6 4 π πB A C         ， 所以 ABC 的面积 1 6 2sin 2 2 3 12 4S ac B      . 19. 研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数 y 与听课时间 x （单位：分钟） 之间的变化曲线如图所示，当 [0,16]x  时，曲线是二次函数图像的一部分；当 [16,40]x  时，曲线是函数 0.880 log ( )y x a   图像的一部分，当学生的注意力指数不高于 68 时， 称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数 ( )y f x 的解析式； （2）在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长？（精确到 1 分钟） 【解析】（1）当 (0,16]x 时，设 2( ) ( 12) 84( 0)f x b x b    ， 因为 2(16) (16 12) 84 80f b    ，所以 1 4b   ， 所以 21( ) ( 12) 844f x x    ， 当 (16,40]x 时， 0.8( ) log ( ) 80f x x a   ， 由 0.8(16) log (16 ) 80 80f a    ，解得 15a   ，所以 0.8( ) log ( 15) 80f x x   ， 综上， 2 0.8 1 ( 12) 84, (0,16]( ) 4 log ( 15) 80, (16,40] x xf x x x          ； （2）当 (0,16]x 时，令 21( ) ( 12) 84 684f x x     ，得 [0,4]x  ， 当 (16,40]x 时，令 0.8( ) log ( 15) 80 68f x x    ，得 1215 0.8 29.6x    ， 所以 [30,40]x  ，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为 4 0 40 30 14    分钟. 20. 已知椭圆 2 2: 14 x y   的左右顶点分别为 A、B ，P 为直线 4x  上的动点，直线 PA 与椭圆  的另一交点为 C ，直线 PB 与椭圆  的另一交点为 D . （1）若点 C 的坐标为 (0,1) ，求点 P 的坐标； （2）若点 P 的坐标为 (4,1) ，求以 BD 为直径的圆的方程； （3）求证：直线CD 过定点. 【解析】（1）因为 ( 2,0), (0,1)A C ，所以直线 PA 的方程为 1 12y x  ， 令 4x  ，得 3y  ，所以 (4,3)P ； （2）因为 ( 2,0), (2,0), (4,1)A B P ，所以直线 PB 的方程为 1 ( 2)2y x  ， 由 2 2 1 ( 2)2 14 y x x y         得 2 2 0x x  ，所以 10, ( 2) 12D D Dx y x     ， 所以以 BD 为直径的圆的方程为 ( 2) ( 1) 0x x y y    ， 即 2 2 1 5( 1) 2 4x y       ； （3）设 (4, )P t ，因为 ( 2,0), (2,0)A B ，直线 PA 的方程为 ( 2)6 ty x  ， 由 2 2 ( )6 4 2 1 ty x x y         得 2 2 2 2( 9) 4 4 36 0t x t x t     ， 由韦达定理得 2 2 4 362 9c tx t    ，所以 2 2 2 18 9c tx t    ， 所以 2 6( 2)6 9C C t ty x t     ，同理，直线 PB 的方程为 ( 2)2 ty x  ， 由 2 2 ( )2 4 2 1 ty x x y         得 2 2 2 2( 1) 4 4 4 0t x t x t     ， 由韦达定理得 2 2 4 42 1D tx t   ，所以 2 2 2 2 1D tx t   ， 所以 2 2( 2)2 1D D t ty x t     ， 由椭圆的对称性知这样的定点在 x 轴上，设为 ( ,0)E m ， 则 , ,C E D 三点共线， 所以 2 2 2 2 2 2 2 18 6 2 2 2, , ,9 9 1 1 t t t tEC m ED mt t t t                      共线， 所以 2 2 2 2 2 2 2 18 2 2 2 6 9 1 1 9 t t t tm mt t t t                            恒成立， 整理得 2(4 4) 12 12 0m t m    恒成立，所以 1m  ，故直线 CD 过定点 (1,0) . 21. 对于数列{ }na ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{ }na 为 P 数列. （1）若数列 1，2， x ，8 是 P 数列，求实数 x 的取值范围； （2）设数列 1a ， 2a ， 3a ，， 10a 是首项为 1 、公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数 列，求 d 的取值范围； （3）设无穷数列{ }na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列，有穷数列{ }nb 、{ }nc 是从{ }na 中 取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为 1T 、 2T ，求证：当 0a  且 1 2T T 时，数列{ }na 不是 P 数列. 【解析】（1）由题意得 1 2 8 1 2 x x       ，所以 3 5x  ； （2）由题意得，该数列的前 n 项和为 1 ( 1) , 12n n n nS n d a nd       ， 由数列 1 2 3 10, , , ,a a a a 是 P 数列，得 2 1 1a S a  ，故公差 0d  ， 2 1 31 1 02 2n n dS a n d n          对满足 1,2,3 ,9n   的所有 n 都成立， 则 2 39 9 1 1 02 2 d d        ，解得 8 27d  ，所以 d 的取值范围是 80, 27      ； （3）若 na 是 P 数列，则 1 2a S a aq   ， 因为 0a  ，所以 1q  ，又由 1n na S  对所有 n 都成立，得 1 1 n n qaq a q    恒成立，即 12 n q q       恒成立，因为 1 10, lim 0 n n nq q            ，故 2 0q  ，所以 2q  ， 若 nb 中的每一项都在 nc 中，则由这两数列是不同数列可知 1 2T T ， 若 nc 中的每一项都在 nb 中，同理可得 1 2T T ， 若 nb 中至少有一项不在 nc 中，且 nc 中至少有一项不在 nb 中， 设   ,n nb c  是将   ,n nb c 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列， 它们的所有项之和分别为 1 2,T T  ，不妨设    ,n nb c  中的最大项在  nb 中，设为 ( 2)ma m  ， 则 2 1 2 1 1m mT a a a a T       ，故总有 2 1T T  与 2 1T T  矛盾，故假设错误，原命题 正确.