高中数学人教a必修5学业分层测评13等比数列的性质word版含解析 5页

学业分层测评（十三） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．等比数列{an}的公比 q＝－1 4 ，a1＝ 2，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列 【解析】 因为等比数列{an}的公比为 q＝－1 4 ，a1＝ 2，故 a2<0，a3>0，… 所以数列{an}是摆动数列． 【答案】 D 2．(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9 成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列 D．a3，a6，a9 成等比数列 【解析】 设等比数列的公比为 q，因为a6 a3 ＝a9 a6 ＝q3，即 a26＝a3a9，所以 a3， a6，a9 成等比数列．故选 D. 【答案】 D 3．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则 a9a10a11 的值为( ) A．48 B．72 C．144 D．192 【解析】 ∵a6a7a8 a3a4a5 ＝q9＝8(q 为公比)， ∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192. 【答案】 D 4．在 3 和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去 6， 则成等比数列，则此未知数是( ) A．3 B．27 C．3 或 27 D．15 或 27 【解析】 设此三数为 3，a，b，则 2a＝3＋b， a－62＝3b， 解得 a＝3， b＝3 或 a＝15， b＝27. 所以这个未知数为 3 或 27. 【答案】 C 5．已知等比数列{an}各项均为正数，且 a1，1 2a3，a2 成等差数列，则a3＋a4 a4＋a5 等 于( ) A. 5＋1 2 B. 5－1 2 C.1－ 5 2 D． 5＋1 2 或 5－1 2 【解析】 由题意，得 a3＝a1＋a2，即 a1q2＝a1＋a1q， ∴q2＝1＋q，解得 q＝1± 5 2 . 又∵{an}各项均为正数，∴q>0，即 q＝1＋ 5 2 . ∴a3＋a4 a4＋a5 ＝a1q2＋a1q3 a1q3＋a1q4 ＝1 q ＝ 5－1 2 . 【答案】 B 二、填空题 6．(2015·青岛高二检测)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则 a7 等于 ． 【解析】 因为 a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265， 所以 a3a8＝213，又因为 a3＝16＝24，所以 a8＝29＝512. 因为 a8＝a3·q5，所以 q＝2.所以 a7＝a8 q ＝256. 【答案】 256 7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成 等比数列，则 x＋y＋z 的值为 ． 【解析】 ∵x 2 ＝2 4 ，∴x＝1. ∵第一行中的数成等差数列，首项为 2，公差为 1，故后两格中数字分别为 5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为 2.5,3. ∴y＝5· 1 2 3，z＝6· 1 2 4. ∴x＋y＋z＝1＋5· 1 2 3＋6· 1 2 4＝32 16 ＝2. 【答案】 2 8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的 m 倍，那么该单位此年 的月平均增长率是 ． 【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均 增长率只需利用a12 a1 ＝m，所以月平均增长率为 11 m－1. 【答案】 11 m－1 三、解答题 9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项，求数列{an} 的首项、公比. 【导学号：05920071】 【解】 设该数列的公比为 q. 由已知，得 a1q－a1＝2， 4a1q＝3a1＋a1q2， 所以 a1q－1＝2， q2－4q＋3＝0， 解得 a1＝1， q＝3. (q＝1 舍去) 故首项 a1＝1，公比 q＝3. 10．(2015·福建高考改编)若 a，b 是函数 f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个 不同的零点，且 a，b，－2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后 成等比数列，求 p＋q 的值． 【解】 不妨设 a>b，由题意得 a＋b＝p>0， ab＝q>0， ∴a>0，b>0，则 a，－2，b 成等比数列，a，b，－2 成等差数列， ∴ ab＝－22， a－2＝2b， ∴ a＝4， b＝1， ∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9. [能力提升] 1．等比数列{an}是递减数列，前 n 项的积为 Tn，若 T13＝4T9，则 a8a15＝( ) A．±2 B．±4 C．2 D．4 【解析】 ∵T13＝4T9. ∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9. ∴a10a11a12a13＝4. 又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15， ∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2. 又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2. 【答案】 C 2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列， 且 b7＝a7，则 b6b8＝( ) A．16 B．14 C．4 D．49 【解析】 ∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0， ∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16. 【答案】 A 3．设{an}是公比为 q 的等比数列，|q|>1，令 bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列 {bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则 6q＝ . 【解析】 由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， 说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少 有一项为负，∴q<0. 又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q＝ 36 －24 ＝－3 2 ， ∴6q＝－9. 【答案】 －9 4．在等差数列{an}中，公差 d≠0，a2 是 a1 与 a4 的等比中项．已知数列 a1， a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项 kn. 【解】 依题设得 an＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4， ∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得 d2＝a1d， ∵d≠0，∴d＝a1，得 an＝nd. ∴由已知得 d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列． 又 d≠0，∴数列 1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为 1，公比为 q＝3 1 ＝3，由此得 k1＝9. 等比数列{kn}的首项 k1＝9，公比 q＝3， ∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为 kn＝3n＋1.