【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程作业 5页

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程 ‎[基础题组练]‎ ‎1．若直线过点(1，1)，(2，1＋)，则此直线的倾斜角的大小为(　　)‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．90°‎ 解析：选C.设此直线的倾斜角为α，则k＝tan α＝＝.又a∈[0，π)，所以α＝60°.故选C.‎ ‎2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)‎ A．y＝x＋2 B．y＝x－2‎ C．y＝x＋ D．y＝－x＋2‎ 解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2.‎ ‎3．(2020·黑龙江鹤岗一中期中)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)‎ A．1 B．－1 ‎ C．2或1 D．－2或1‎ 解析：选D.当a＝0时，直线方程为y＝2，显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得＝2＋a，解得a＝－2或a＝1，故选D.‎ ‎4．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不经过第二象限．选B.‎ ‎5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)‎ A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0‎ C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0‎ 解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.‎ ‎6．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 ．‎ 解析：BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.‎ 答案：x＋13y＋5＝0‎ ‎7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为 ．‎ 解析：直线l平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝x.‎ 答案：y＝x ‎8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是 ．‎ 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．‎ 答案：[－2，2]‎ ‎9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：‎ ‎(1)BC边所在直线的方程；‎ ‎(2)BC边的垂直平分线DE的方程．‎ 解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，‎ 所以BC的方程为＝，‎ 即x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，‎ 所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，‎ 即2x－y＋2＝0.‎ ‎10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3，4)；‎ ‎(2)斜率为.‎ 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，‎ 所以b＝±1.‎ 所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)‎ A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜ C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1‎ 解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，‎ 则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.‎ ‎2．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 ．　‎ 解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.‎ 答案：x－2y＋2＝0或x＝2‎ ‎3．已知直线l过点(2，1)，且在x，y轴上的截距相等．‎ ‎(1)求直线l的一般方程；‎ ‎(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值．‎ 解：(1)①截距为0时，k＝＝，‎ 所以l：y＝x，即x－2y＝0；‎ ‎②截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将(2，1)代入，计算得t＝3，则直线方程为x＋y－3＝0.‎ 综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.‎ ‎(2)由题意得l的方程为x＋y－3＝0，‎ 因为点P(a，b)在直线l上，所以a＋b＝3，‎ 所以3a＋3b≥2＝2＝6，‎ 当且仅当a＝b＝时等号成立，‎ 所以3a＋3b的最小值是6.‎ ‎4．(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？‎ 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，‎ 所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．‎ 易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，‎ 在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，‎ 则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．‎ 又＋＝1(0≤m≤30)，‎ 所以n＝20－m.‎ 所以S＝(100－m) ‎＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．‎ 所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.‎ 所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．‎