数学北师大版（2019）必修第二册：1-5-1 正弦函数的图象与性质再认识 学案与作业 8页

七 正弦函数的图象与性质再认识 (15 分钟 30 分) 1.以下对正弦函数 y=sin x 的图象描述不正确的是( ) A.在 x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象形状相同,只是位置不同 B.介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间 C.关于 x 轴对称 D.与 y 轴仅有一个交点 【解析】选 C.由正弦函数 y=sin x 在 x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的 图象可知 C 项不正确. 2.不等式 sin x≥ ,x∈(0,2π)的解集为( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.因为 sin x≥ ,x∈(0,2π),结合 y=sin x 的图象知 ≤ x≤ ,故不等式 sin x≥ 的解集为 . 3.函数 y=sin x,x∈ ,则 y 的范围是( ) A.[-1,1] B. C. D. 【解析】选 C.当 x= 时,y 取最小值 ,当 x= 时 y 取最大值 1. 4.函数 y= 的定义域为( ) A.[0,π] B.{第一或第二象限的角} C.{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z} D.(0,π) 【解析】选 C.要使函数 y= 有意义, 则需 sin x≥0,由 y=sin x 的图象可得{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}. 5.函数 y=-2sin x+10 取最小值时,自变量 x 的集合是________. 【解析】由题意知 y=-2sin x+10 取最小值,就是 sin x 取最大值,即 x= +2kπ,k∈Z. 答案: 6.求函数 y=(sin x-1)2+2 的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小 值时相应的 x 的值. 【解析】设 t=sin x,则有 y=(t-1)2+2, 且 t∈[-1,1],在闭区间[-1,1]上, 当 t=-1 时,函数 y=(t-1)2+2 取得最大值(-1-1)2+2=6.由 t=sin x=-1, 得 x=2kπ- (k∈Z), 即当 x=2kπ- (k∈Z)时,函数 y=(sin x-1)2+2 取得最大值 6.在闭区间 [-1,1]上,当 t=1 时, 函数 y=(t-1)2+2 取得最小值,最小值为 2. 由 t=sin x=1,得 x=2kπ+ (k∈Z), 即当 x=2kπ+ (k∈Z)时,函数 y=(sin x-1)2+2 取得最小值 2. (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知 a= sin 59°,b=sin 15°+cos 15°,c=2 sin 31°·cos 31°,则实数 a,b,c 的大小关系是( ) A.a0,而图中显然小于零,因此排除选项 B. 3.已知函数 f(x)=2sin x,对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则 |x1-x2|的最小值为( ) A. B. C.π D.2π 【解析】选 C.由不等式 f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意 x∈R 恒成立,不难 发现 f(x1),f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为 函数 f(x)= 2sin x 的半个周期.因为 f(x)=2sin x 的周期为 2π,所以|x1-x2|的最 小值为π. 4.设函数 y=sin x 的定义域为[m,n],值域为 ,令 t=n-m,则 t 的 最大值与最小值的和为( ) A.2π B. C.π D. 【解析】选 A.因为函数 y=sin x 的定义域为[m,n],值域为 ,结 合正弦函数 y=sin x 的图象与性质,不妨取 m=- ,n= ,此时 n-m 取得最 大值为 ,取 m=- ,n= ,n-m 取得最小值为 ,则 t 的最大值与最小值的 和为 2π. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.已知函数 f(x)= ·cos x,则下列说法正确的是( ) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于 中心对称 C.f(x)在区间 上单调递增 D.f(x)的值域为[-1,1] 【解析】选 BC.因为函数 f(x)= ·cos x= 画出函数 f(x)的图象,如图所示: f(x)的最小正周期是 2π,根据 f(x)的图象,f(x)的图象关于 中 心对称,f(x)在区间 上单调递增,f(x)的值域为(-1,1). 6.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 的交点个 数可能是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 ABCD.f(x)=sin x+2|sin x|= 在同一 坐标系内分别作出函数 y=f(x)与 y=k 的图象,如图所示, 当 k>3 或 k<0 时,两图象无交点;当 k=3 时,两图象有 1 个交点;当 10 得 sin x>- , 解得- +2kπ0 时, 由题意,得 解得 所以 f(x)=-2sin x,此时 f(x)的最大值为 2,最小值为-2. ②当 b<0 时,由题意,得 解得 所以 f(x)=2sin x,此时 f(x)的最大值为 2,最小值为-2. 1.对于函数 f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中 a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的 一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( ) A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 【解析】选 D.因为 sin(π-x)=sin x, 所以 f(x)=asin x+bx+c, 则 f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin 1-b+c, 所以 f(-1)=-f(1)+2c.① 把 f(1)=4,f(-1)=6 代入①式,得 c=5∈Z,故排除 A; 把 f(1)=3,f(-1)=1 代入①式,得 c=2∈Z,故排除 B; 把 f(1)=2,f(-1)=4 代入①式,得 c=3∈Z,故排除 C; 把 f(1)=1,f(-1)=2 代入①式,得 c= ∉Z. 2.已知函数 f(x)=-sin2x+sin x+a,若 1≤f(x)≤ 对一切 x∈R 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 【 解 析 】 令 t=sin x,t ∈ [-1,1], 则 原 函 数 可 化 为 g(t)=-t2+t+a=- +a+ . 当 t= 时,g(t)max=a+ ,即 f(x)max=a+ ; 当 t=-1 时,g(t)min=a-2,即 f(x)min=a-2. 故对于一切 x∈R,函数 f(x)的值域为 . 所以 解得 3≤a≤4. 关闭 Word 文档返回原板块