2019版一轮复习理数通用版“三角函数及其恒等变换”双基过关检测 6页

“三角函数及其恒等变换”双基过关检测 一、选择题 1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位 圆 O 于点 P，若∠AOP＝θ，则点 P 的坐标是( ) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ) 解析：选 A 由三角函数的定义知 xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选 A. 2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A．重合 B．关于原点对称 C．关于 x 轴对称 D．关于 y 轴对称 解析：选 C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于 x 轴对称． ∴角α与β的终边关于 x 轴对称． 3．已知 sin π 2 ＋α ＝1 2 ，α∈ －π 2 ，0 ，则 cos α－π 3 的值是( ) A. 1 2 B. 2 3 C．－1 2 D．1 解析：选 C 由已知得 cos α＝1 2 ，sin α＝－ 3 2 ， ∴cos α－π 3 ＝1 2cos α＋ 3 2 sin α＝－1 2. 4．(2018·淄博调研)已知 tan α＝2，则 sin2α－sin αcos α的值是( ) A.2 5 B．－2 5 C．－2 D．2 解析：选 A sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos α sin2α＋cos2α ＝tan2α－tan α tan2α＋1 ， 把 tan α＝2 代入，原式＝2 5. 5．设函数 f(x)＝sin 2x－π 2 ，x∈R，则 f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π 2 的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选 B ∵f(x)＝sin 2x－π 2 ＝－cos 2x， ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数 f(x)＝sin ωx＋π 3 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A．关于直线 x＝π 3 对称 B．关于点 π 3 ，0 对称 C．关于直线 x＝－π 6 对称 D．关于点 π 6 ，0 对称 解析：选 B ∵f(x)＝sin ωx＋π 3 (ω>0)的最小正周期为π， ∴ω＝2，即 f(x)＝sin 2x＋π 3 . 经验证可知 f π 3 ＝sin 2π 3 ＋π 3 ＝sin π＝0， 即 π 3 ，0 是函数 f(x)的一个对称点． 7．将函数 y＝3sin 2x＋π 3 的图象向右平移π 2 个单位长度，所得图象对应的函数( ) A．在区间 π 12 ，7π 12 上单调递减 B．在区间 π 12 ，7π 12 上单调递增 C．在区间 －π 6 ，π 3 上单调递减 D．在区间 －π 6 ，π 3 上单调递增 解析：选 B 平移后的函数为 y＝3sin 2 x－π 2 ＋π 3 ＝3sin 2x－2π 3 ， 增区间：－π 2 ＋2kπ≤2x－2π 3 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z，即 π 12 ＋kπ≤x≤7π 12 ＋kπ，k∈Z， 令 k＝0 时， π 12 ≤x≤7π 12 ， 故所得图象对应的函数在 π 12 ，7π 12 上单调递增，在 －π 6 ，π 3 上不单调，故选 B. 8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( ) A．函数 f(x)的最小正周期为2π 3 B．函数 f(x)的图象可由 g(x)＝Acos ωx 的图象向右平移 π 12 个单位长度得到 C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π 12 对称 D．函数 f(x)在区间 π 4 ，π 2 上单调递增 解析：选 D 函数的最小正周期 T＝2 11π 12 －7π 12 ＝2π 3 ，选项 A 正确； 由 T＝2π 3 得ω＝3.又 f 7π 12 ＝Acos 7π 4 ＋φ ＝0，所以φ＝kπ－5π 4 (k∈Z)． 又 f π 2 ＝Acos 3π 2 ＋φ ＝Asin φ＝－2 3 ，所以 sin φ<0，φ＝－π 4 ＋2kπ(k∈Z)， 即 f(x)＝Acos 3x－π 4 ，函数 g(x)＝Acos 3x 的图象向右平移 π 12 个单位长度得到的图象对 应的函数的解析式为 y＝g x－ π 12 ＝Acos 3 x－ π 12 ＝Acos 3x－π 4 ＝f(x)，选项 B 正确； 当 x＝ π 12 时，f(x)＝A，因此函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π 12 对称，选项 C 正确； 当 x∈ π 4 ，π 2 时，3x－π 4 ∈ π 2 ，5π 4 ，故函数 f(x)在 π 4 ，π 2 上不是单调递增的，选项 D 错 误． 二、填空题 9．函数 f(x)＝sin x－4sin3x 2cos x 2 的最小正周期为________． 解析：f(x)＝sin x－2sin2x 2sin x＝sin xcos x＝1 2sin 2x，所以函数的最小正周期 T＝π. 答案：π 10．在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点 A， 且点 A 的横坐标为 5 13 ，则 tan π－α 2 的值为________． 解析：由题意知 cos α＝ 5 13 ，因为α为锐角， 所以 cosα 2 ＝ 1＋cos α 2 ＝ 3 13 ，sinα 2 ＝ 1－cos2α 2 ＝ 2 13 ， 所以 tan π－α 2 ＝－tanα 2 ＝－ sinα 2 cosα 2 ＝－2 3. 答案：－2 3 11．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所示，则φ＝________. 解析：由图象知 A＝1，T＝4 7π 12 －π 3 ＝π， 故ω＝2，再由 2×π 3 ＋φ＝π 2 ，得φ＝－π 6. 答案：－π 6 12．函数 f(x)＝log2 1＋sin 2x sin x＋cos x 的最大值为________． 解析：因为 1＋sin 2x sin x＋cos x ＝sin x＋cos x2 sin x＋cos x ＝sin x＋cos x＝ 2sin x＋π 4 ∈(0， 2]， 又因为函数 y＝log2x 是增函数， 所以，当 1＋sin 2x sin x＋cos x ＝ 2时，函数 f(x)＝log2 1＋sin 2x sin x＋cos x 取得最大值为1 2. 答案：1 2 三、解答题 13．设函数 f(x)＝3sin ωx＋π 6 (ω>0，x∈R)的最小正周期为π 2. (1)求 f(x)的解析式； (2)利用“五点作图法”，画出 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知 f α 4 ＋ π 12 ＝9 5 ，求 cos α的值． 解：(1)∵T＝2π ω ＝π 2 ⇒ω＝4， ∴f(x)＝3sin 4x＋π 6 . (2)列表： 4x＋π 6 0 π 2π x － π 24 f(x) 0 3 0 －3 0 图象如图所示： (3)∵f α 4 ＋ π 12 ＝3sin 4 α 4 ＋ π 12 ＋π 6 ＝3sin α＋π 2 ＝3cos α＝9 5 ，∴cos α＝3 5. 14．已知向量 m＝ 3sin x 4 ，1 ，n＝ cos x 4 ，cos2x 4 ，记 f(x)＝m·n. (1)若 f(x)＝1，求 cos x＋π 3 的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a－c)cos B＝bcos C，求 f(2A)的取值范围． 解：(1)f(x)＝m·n＝ 3sin x 4cos x 4 ＋cos2x 4 ＝ 3 2 sin x 2 ＋1 2cosx 2 ＋1 2 ＝sin x 2 ＋π 6 ＋1 2 ， 由 f(x)＝1，得 sin x 2 ＋π 6 ＝1 2 ， 所以 cos x＋π 3 ＝1－2sin2 x 2 ＋π 6 ＝1 2. (2)因为(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以 2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C， 所以 2sin Acos B＝sin(B＋C)，因为 A＋B＋C＝π， 所以 sin(B＋C)＝sin A，且 sin A≠0，所以 cos B＝1 2 ， 又 00)图象上最高点的纵坐标 为 2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求 a 和ω的值； (2)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin ωx＋π 6 ＋a ＝4cos ωx· 3 2 sin ωx＋1 2cos ωx＋a ＝2 3sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a ＝ 3sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a ＝2sin2ωx＋π 6 ＋1＋a. 当 sin 2ωx＋π 6 ＝1 时，f(x)取得最大值 2＋1＋a＝3＋a， 又 f(x)图象上最高点的纵坐标为 2，∴3＋a＝2， ∴a＝－1. 又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f(x)的最小正周期 T＝π，∴2ω＝2π T ＝2，∴ω＝1. (2)由(1)得 f(x)＝2sin 2x＋π 6 ， 由π 2 ＋2kπ≤2x＋π 6 ≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得π 6 ＋kπ≤x≤2π 3 ＋kπ，k∈Z. 令 k＝0，得π 6 ≤x≤2π 3 ， ∴函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间为 π 6 ，2π 3 .