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  • 2021-06-16 发布

2019版一轮复习理数通用版“三角函数及其恒等变换”双基过关检测

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“三角函数及其恒等变换”双基过关检测 一、选择题 1.(2018·杭州模拟)如图所示,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位 圆 O 于点 P,若∠AOP=θ,则点 P 的坐标是( ) A.(cos θ,sin θ) B.(-cos θ,sin θ) C.(sin θ,cos θ) D.(-sin θ,cos θ) 解析:选 A 由三角函数的定义知 xP=cos θ,yP=sin θ,故选 A. 2.若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是( ) A.重合 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 解析:选 C 角α与θ终边相同,β与-θ终边相同. 又角θ与-θ的终边关于 x 轴对称. ∴角α与β的终边关于 x 轴对称. 3.已知 sin π 2 +α =1 2 ,α∈ -π 2 ,0 ,则 cos α-π 3 的值是( ) A. 1 2 B. 2 3 C.-1 2 D.1 解析:选 C 由已知得 cos α=1 2 ,sin α=- 3 2 , ∴cos α-π 3 =1 2cos α+ 3 2 sin α=-1 2. 4.(2018·淄博调研)已知 tan α=2,则 sin2α-sin αcos α的值是( ) A.2 5 B.-2 5 C.-2 D.2 解析:选 A sin2α-sin αcos α=sin2α-sin αcos α sin2α+cos2α =tan2α-tan α tan2α+1 , 把 tan α=2 代入,原式=2 5. 5.设函数 f(x)=sin 2x-π 2 ,x∈R,则 f(x)是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π 2 的奇函数 D.最小正周期为π 2 的偶函数 解析:选 B ∵f(x)=sin 2x-π 2 =-cos 2x, ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 6.已知函数 f(x)=sin ωx+π 3 (ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A.关于直线 x=π 3 对称 B.关于点 π 3 ,0 对称 C.关于直线 x=-π 6 对称 D.关于点 π 6 ,0 对称 解析:选 B ∵f(x)=sin ωx+π 3 (ω>0)的最小正周期为π, ∴ω=2,即 f(x)=sin 2x+π 3 . 经验证可知 f π 3 =sin 2π 3 +π 3 =sin π=0, 即 π 3 ,0 是函数 f(x)的一个对称点. 7.将函数 y=3sin 2x+π 3 的图象向右平移π 2 个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间 π 12 ,7π 12 上单调递减 B.在区间 π 12 ,7π 12 上单调递增 C.在区间 -π 6 ,π 3 上单调递减 D.在区间 -π 6 ,π 3 上单调递增 解析:选 B 平移后的函数为 y=3sin 2 x-π 2 +π 3 =3sin 2x-2π 3 , 增区间:-π 2 +2kπ≤2x-2π 3 ≤π 2 +2kπ,k∈Z,即 π 12 +kπ≤x≤7π 12 +kπ,k∈Z, 令 k=0 时, π 12 ≤x≤7π 12 , 故所得图象对应的函数在 π 12 ,7π 12 上单调递增,在 -π 6 ,π 3 上不单调,故选 B. 8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)的部分图象如图所示,下面结论错误的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为2π 3 B.函数 f(x)的图象可由 g(x)=Acos ωx 的图象向右平移 π 12 个单位长度得到 C.函数 f(x)的图象关于直线 x= π 12 对称 D.函数 f(x)在区间 π 4 ,π 2 上单调递增 解析:选 D 函数的最小正周期 T=2 11π 12 -7π 12 =2π 3 ,选项 A 正确; 由 T=2π 3 得ω=3.又 f 7π 12 =Acos 7π 4 +φ =0,所以φ=kπ-5π 4 (k∈Z). 又 f π 2 =Acos 3π 2 +φ =Asin φ=-2 3 ,所以 sin φ<0,φ=-π 4 +2kπ(k∈Z), 即 f(x)=Acos 3x-π 4 ,函数 g(x)=Acos 3x 的图象向右平移 π 12 个单位长度得到的图象对 应的函数的解析式为 y=g x- π 12 =Acos 3 x- π 12 =Acos 3x-π 4 =f(x),选项 B 正确; 当 x= π 12 时,f(x)=A,因此函数 f(x)的图象关于直线 x= π 12 对称,选项 C 正确; 当 x∈ π 4 ,π 2 时,3x-π 4 ∈ π 2 ,5π 4 ,故函数 f(x)在 π 4 ,π 2 上不是单调递增的,选项 D 错 误. 二、填空题 9.函数 f(x)=sin x-4sin3x 2cos x 2 的最小正周期为________. 解析:f(x)=sin x-2sin2x 2sin x=sin xcos x=1 2sin 2x,所以函数的最小正周期 T=π. 答案:π 10.在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作锐角α,它的终边与单位圆相交于点 A, 且点 A 的横坐标为 5 13 ,则 tan π-α 2 的值为________. 解析:由题意知 cos α= 5 13 ,因为α为锐角, 所以 cosα 2 = 1+cos α 2 = 3 13 ,sinα 2 = 1-cos2α 2 = 2 13 , 所以 tan π-α 2 =-tanα 2 =- sinα 2 cosα 2 =-2 3. 答案:-2 3 11.已知函数 y=Asin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π 2 的部分图象如图所示,则φ=________. 解析:由图象知 A=1,T=4 7π 12 -π 3 =π, 故ω=2,再由 2×π 3 +φ=π 2 ,得φ=-π 6. 答案:-π 6 12.函数 f(x)=log2 1+sin 2x sin x+cos x 的最大值为________. 解析:因为 1+sin 2x sin x+cos x =sin x+cos x2 sin x+cos x =sin x+cos x= 2sin x+π 4 ∈(0, 2], 又因为函数 y=log2x 是增函数, 所以,当 1+sin 2x sin x+cos x = 2时,函数 f(x)=log2 1+sin 2x sin x+cos x 取得最大值为1 2. 答案:1 2 三、解答题 13.设函数 f(x)=3sin ωx+π 6 (ω>0,x∈R)的最小正周期为π 2. (1)求 f(x)的解析式; (2)利用“五点作图法”,画出 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (3)已知 f α 4 + π 12 =9 5 ,求 cos α的值. 解:(1)∵T=2π ω =π 2 ⇒ω=4, ∴f(x)=3sin 4x+π 6 . (2)列表: 4x+π 6 0 π 2π x - π 24 f(x) 0 3 0 -3 0 图象如图所示: (3)∵f α 4 + π 12 =3sin 4 α 4 + π 12 +π 6 =3sin α+π 2 =3cos α=9 5 ,∴cos α=3 5. 14.已知向量 m= 3sin x 4 ,1 ,n= cos x 4 ,cos2x 4 ,记 f(x)=m·n. (1)若 f(x)=1,求 cos x+π 3 的值; (2)在锐角△ABC 中,(2a-c)cos B=bcos C,求 f(2A)的取值范围. 解:(1)f(x)=m·n= 3sin x 4cos x 4 +cos2x 4 = 3 2 sin x 2 +1 2cosx 2 +1 2 =sin x 2 +π 6 +1 2 , 由 f(x)=1,得 sin x 2 +π 6 =1 2 , 所以 cos x+π 3 =1-2sin2 x 2 +π 6 =1 2. (2)因为(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以 2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C, 所以 2sin Acos B=sin(B+C),因为 A+B+C=π, 所以 sin(B+C)=sin A,且 sin A≠0,所以 cos B=1 2 , 又 00)图象上最高点的纵坐标 为 2,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求 a 和ω的值; (2)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间. 解:(1)f(x)=4cos ωx·sin ωx+π 6 +a =4cos ωx· 3 2 sin ωx+1 2cos ωx+a =2 3sin ωxcos ωx+2cos2ωx-1+1+a = 3sin 2ωx+cos 2ωx+1+a =2sin2ωx+π 6 +1+a. 当 sin 2ωx+π 6 =1 时,f(x)取得最大值 2+1+a=3+a, 又 f(x)图象上最高点的纵坐标为 2,∴3+a=2, ∴a=-1. 又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π, ∴f(x)的最小正周期 T=π,∴2ω=2π T =2,∴ω=1. (2)由(1)得 f(x)=2sin 2x+π 6 , 由π 2 +2kπ≤2x+π 6 ≤3π 2 +2kπ,k∈Z, 得π 6 +kπ≤x≤2π 3 +kπ,k∈Z. 令 k=0,得π 6 ≤x≤2π 3 , ∴函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间为 π 6 ,2π 3 .