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  • 2021-06-16 发布

2019版一轮复习理数通用版“椭圆双曲线抛物线”双基过关检测

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椭圆、双曲线、抛物线”双基过关检测 一、选择题 1.抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,若其上一点 P(m,1)到焦点的距离为 5,则抛物 线的标准方程为( ) A.y=8x2 B.y=16x2 C.x2=8y D.x2=16y 解析:选 D 根据题意知,点 P(m,1)在 x 轴上方,则抛物线开口向上, 设其标准方程为 x2=2py,其准线方程为 y=-p 2 , 由点 P 到焦点的距离为 5,得 1- -p 2 =5, 解得 p=8, 则抛物线的标准方程为 x2=16y. 2.椭圆x2 16 +y2 m =1 的焦距为 2 7,则 m 的值为( ) A.9 B.23 C.9 或 23 D.16- 7或 16+ 7 解析:选 C 由椭圆x2 16 +y2 m =1 的焦距为 2 7, 可得,2 16-m=2 7或 2 m-16=2 7, 解得 m=9 或 23. 3.过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果 x1+x2 =6,则|PQ|=( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:选 B 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. 根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8. 4.若双曲线 C:x2 4 -y2=1 的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,满足PF1 ―→ ·PF2 ―→ =0 的点 P 依次记为 P1,P2,P3,P4,则四边形 P1P2P3P4 的面积为( ) A.8 5 5 B.2 5 C.8 6 5 D.2 6 解析:选 C 设 P(x,y),由已知得 F1(- 5,0),F2( 5,0), 则(- 5-x,-y)·( 5-x,-y)=x2-5+y2=0, 即 x2+y2=5,与双曲线方程x2 4 -y2=1 联立, 可得交点分别为 2 30 5 , 5 5 ,-2 30 5 , 5 5 ,-2 30 5 ,- 5 5 , 2 30 5 ,- 5 5 , 它们构成一个长为4 30 5 ,宽为2 5 5 的长方形, 所以四边形 P1P2P3P4 的面积为4 30 5 ×2 5 5 =8 6 5 . 5.若双曲线y2 a2 -x2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 10,则其渐近线方程为( ) A.y=±3x B.y=±1 2x C.y=±2x D.y=±1 3x 解析:选 D 因为双曲线y2 a2 -x2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 10, 所以 e=c a = 10, 即 e2=c2 a2 =a2+b2 a2 =1+b2 a2 =10,所以b a =3. 因为双曲线y2 a2 -x2 b2 =1 的焦点在 y 轴上,其渐近线方程为 y=±a bx, 所以该双曲线的渐近线方程为 y=±1 3x. 6.已知椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 3 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则椭圆 C 的方程为( ) A.x2 3 +y2 2 =1 B.x2 3 +y2=1 C.x2 12 +y2 8 =1 D.x2 12 +y2 4 =1 解析:选 A 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 又∵|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4 3,∴a= 3. 又 e= 3 3 ,∴c=1,∴b2=a2-c2=2, ∴椭圆的方程为x2 3 +y2 2 =1. 7.已知双曲线x2 12 -y2 4 =1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一 个交点,则此直线斜率的取值范围是( ) A. - 3 3 , 3 3 B.(- 3, 3) C. - 3 3 , 3 3 D.[- 3, 3] 解析:选 C 由题意知 F(4,0), 双曲线的两条渐近线方程为 y=± 3 3 x. 当过点 F 的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点, 画出图象,数形结合可知应选 C. 8.已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π 4 , 则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.1 2 B. 2 2 C.1 D. 2 解析:选 B 如图,设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,则根据椭圆及双曲线的定义可得, |PF1|+|PF2|=2a1, |PF1|-|PF2|=2a2, ∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. 设|F1F2|=2c,又∠F1PF2=π 4 , 在△PF1F2 中,由余弦定理得, 4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos π 4 , 化简得:(2- 2)a21+(2+ 2)a22=4c2, 即2- 2 e21 +2+ 2 e22 =4. 又∵2- 2 e21 +2+ 2 e22 ≥2 22-2 e1·e2 =2 2 e1·e2 , ∴2 2 e1·e2 ≤4,即 e1·e2≥ 2 2 , ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 2 2 . 二、填空题 9.(2017·北京高考)若双曲线 x2-y2 m =1 的离心率为 3,则实数 m=________. 解析:由双曲线的标准方程可知 a2=1,b2=m, 所以 a=1,c= 1+m,所以 e= 1+m 1 = 3, 解得 m=2. 答案:2 10.(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x2 a2 -y2 9 =1(a>0)的一条渐近线方程为 y=3 5x,则 a=________. 解析:∵双曲线的标准方程为x2 a2 -y2 9 =1(a>0), ∴双曲线的渐近线方程为 y=±3 ax. 又双曲线的一条渐近线方程为 y=3 5x,∴a=5. 答案:5 11.与椭圆x2 9 +y2 4 =1 有相同的焦点,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程为__________. 解析:由椭圆x2 9 +y2 4 =1,得 a2=9,b2=4, ∴c2=a2-b2=5, ∴该椭圆的焦点坐标为(± 5,0). 设所求椭圆方程为x2 a2 +y2 b2 =1,a>b>0, 则 c= 5,又c a = 5 5 ,得 a=5,∴b2=25-5=20. ∴所求椭圆方程为x2 25 +y2 20 =1. 答案:x2 25 +y2 20 =1 12.(2018·西安中学模拟)如图,过抛物线 y=1 4x2 的焦点 F 的直线 l 与抛物线和圆 x2+(y -1)2=1 交于 A,B,C,D 四点,则 AB―→ · DC―→=________. 解析:不妨设直线 AB 的方程为 y=1, 联立 y=1, y=1 4x2, 解得 x=±2,则 A(-2,1),D(2,1), 因为 B(-1,1),C(1,1),所以 AB―→=(1,0), DC―→=(-1,0), 所以 AB―→ · DC―→=-1. 答案:-1 三、解答题 13.已知椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的短轴长为 2,且函数 y=x2-65 16 的图象与椭圆 C 仅有两个公共点,过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 为线段 MN 的中垂线与椭圆 C 的一个公共点,求△PMN 面积的最小值,并 求此时直线 l 的方程. 解:(1)由题意可得,2b=2,所以 b=1. 联立x2 a2 +y2=1(a>1)与 y=x2-65 16 ,消去 y, 整理得 x4+ 1 a2 -65 8 x2+81×49 162 =0, 根据椭圆 C 与抛物线 y=x2-65 16 的对称性, 可得Δ= 1 a2 -65 8 2-4×81×49 162 =0,a>1,解得 a=2. ∴椭圆 C 的标准方程为x2 4 +y2=1. (2)①当直线 l 的斜率不存在时,S△PMN=1 2 ×2b×a=2; 当直线 l 的斜率为 0 时,S△PMN=1 2 ×2a×b=2; ②当直线 l 的斜率存在且不为 0 时. 设直线 l 的方程为 y=kx,由 y=kx, x2 4 +y2=1, 解得 x2= 4 1+4k2 ,y2= 4k2 1+4k2. ∴|MN|=2 x2+y2=4 1+k2 1+4k2. 由题意可得,线段 MN 的中垂线方程为 y=-1 kx, 联立 y=-1 kx, x2 4 +y2=1, 可得 x2= 4k2 k2+4 ,y2= 4 k2+4. ∴|OP|= x2+y2=2 1+k2 k2+4 . ∴S△PMN=1 2·|MN|·|OP|= 41+k2 1+4k2k2+4 ≥ 41+k2 1+4k2+k2+4 2 =8 5 , 当且仅当 k=±1 时取等号,此时△PMN 的面积的最小值为8 5. ∵2>8 5 ,∴△PMN 的面积的最小值为8 5 ,直线 l 的方程为 y=±x. 14.已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为 圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. 解:(1)由抛物线的定义得|AF|=2+p 2. 因为|AF|=3,即 2+p 2 =3,解得 p=2, 所以抛物线 E 的方程为 y2=4x. (2)因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上, 所以 m=±2 2. 由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). 由 y=2 2x-1, y2=4x, 得 2x2-5x+2=0, 解得 x=2 或 x=1 2 ,从而 B 1 2 ,- 2 . 又 G(-1,0), 所以 kGA= 2 2-0 2--1 =2 2 3 , kGB= - 2-0 1 2 --1 =-2 2 3 , 所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.