2019版一轮复习理数通用版“椭圆双曲线抛物线”双基过关检测 6页

椭圆、双曲线、抛物线”双基过关检测 一、选择题 1．抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，若其上一点 P(m,1)到焦点的距离为 5，则抛物 线的标准方程为( ) A．y＝8x2 B．y＝16x2 C．x2＝8y D．x2＝16y 解析：选 D 根据题意知，点 P(m,1)在 x 轴上方，则抛物线开口向上， 设其标准方程为 x2＝2py，其准线方程为 y＝－p 2 ， 由点 P 到焦点的距离为 5，得 1－ －p 2 ＝5, 解得 p＝8， 则抛物线的标准方程为 x2＝16y. 2．椭圆x2 16 ＋y2 m ＝1 的焦距为 2 7，则 m 的值为( ) A．9 B．23 C．9 或 23 D．16－ 7或 16＋ 7 解析：选 C 由椭圆x2 16 ＋y2 m ＝1 的焦距为 2 7， 可得，2 16－m＝2 7或 2 m－16＝2 7， 解得 m＝9 或 23. 3．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选 B 抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 4．若双曲线 C：x2 4 －y2＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足PF1 ―→ ·PF2 ―→ ＝0 的点 P 依次记为 P1，P2，P3，P4，则四边形 P1P2P3P4 的面积为( ) A.8 5 5 B．2 5 C.8 6 5 D．2 6 解析：选 C 设 P(x，y)，由已知得 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)， 则(－ 5－x，－y)·( 5－x，－y)＝x2－5＋y2＝0， 即 x2＋y2＝5，与双曲线方程x2 4 －y2＝1 联立， 可得交点分别为 2 30 5 ， 5 5 ，－2 30 5 ， 5 5 ，－2 30 5 ，－ 5 5 ， 2 30 5 ，－ 5 5 ， 它们构成一个长为4 30 5 ，宽为2 5 5 的长方形， 所以四边形 P1P2P3P4 的面积为4 30 5 ×2 5 5 ＝8 6 5 . 5．若双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 10，则其渐近线方程为( ) A．y＝±3x B．y＝±1 2x C．y＝±2x D．y＝±1 3x 解析：选 D 因为双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 10， 所以 e＝c a ＝ 10， 即 e2＝c2 a2 ＝a2＋b2 a2 ＝1＋b2 a2 ＝10，所以b a ＝3. 因为双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1 的焦点在 y 轴上，其渐近线方程为 y＝±a bx， 所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±1 3x. 6．已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则椭圆 C 的方程为( ) A.x2 3 ＋y2 2 ＝1 B.x2 3 ＋y2＝1 C.x2 12 ＋y2 8 ＝1 D.x2 12 ＋y2 4 ＝1 解析：选 A 由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4 3，∴a＝ 3. 又 e＝ 3 3 ，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2， ∴椭圆的方程为x2 3 ＋y2 2 ＝1. 7．已知双曲线x2 12 －y2 4 ＝1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一 个交点，则此直线斜率的取值范围是( ) A. － 3 3 ， 3 3 B.(－ 3， 3) C. － 3 3 ， 3 3 D.[－ 3， 3] 解析：选 C 由题意知 F(4,0)， 双曲线的两条渐近线方程为 y＝± 3 3 x. 当过点 F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点， 画出图象，数形结合可知应选 C. 8．已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π 4 ， 则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.1 2 B. 2 2 C．1 D. 2 解析：选 B 如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得， |PF1|＋|PF2|＝2a1， |PF1|－|PF2|＝2a2， ∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2. 设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝π 4 ， 在△PF1F2 中，由余弦定理得， 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π 4 ， 化简得：(2－ 2)a21＋(2＋ 2)a22＝4c2， 即2－ 2 e21 ＋2＋ 2 e22 ＝4. 又∵2－ 2 e21 ＋2＋ 2 e22 ≥2 22－2 e1·e2 ＝2 2 e1·e2 ， ∴2 2 e1·e2 ≤4，即 e1·e2≥ 2 2 ， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 2 2 . 二、填空题 9．(2017·北京高考)若双曲线 x2－y2 m ＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________. 解析：由双曲线的标准方程可知 a2＝1，b2＝m， 所以 a＝1，c＝ 1＋m，所以 e＝ 1＋m 1 ＝ 3， 解得 m＝2. 答案：2 10．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x2 a2 －y2 9 ＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝3 5x，则 a＝________. 解析：∵双曲线的标准方程为x2 a2 －y2 9 ＝1(a＞0)， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3 ax. 又双曲线的一条渐近线方程为 y＝3 5x，∴a＝5. 答案：5 11．与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 有相同的焦点，且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程为__________． 解析：由椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1，得 a2＝9，b2＝4， ∴c2＝a2－b2＝5， ∴该椭圆的焦点坐标为(± 5，0). 设所求椭圆方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1，a＞b＞0， 则 c＝ 5，又c a ＝ 5 5 ，得 a＝5，∴b2＝25－5＝20. ∴所求椭圆方程为x2 25 ＋y2 20 ＝1. 答案：x2 25 ＋y2 20 ＝1 12．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线 y＝1 4x2 的焦点 F 的直线 l 与抛物线和圆 x2＋(y －1)2＝1 交于 A，B，C，D 四点，则 AB―→ · DC―→＝________. 解析：不妨设直线 AB 的方程为 y＝1， 联立 y＝1， y＝1 4x2， 解得 x＝±2，则 A(－2,1)，D(2,1)， 因为 B(－1,1)，C(1,1)，所以 AB―→＝(1,0)， DC―→＝(－1,0)， 所以 AB―→ · DC―→＝－1. 答案：－1 三、解答题 13．已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的短轴长为 2，且函数 y＝x2－65 16 的图象与椭圆 C 仅有两个公共点，过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若点 P 为线段 MN 的中垂线与椭圆 C 的一个公共点，求△PMN 面积的最小值，并 求此时直线 l 的方程． 解：(1)由题意可得，2b＝2，所以 b＝1. 联立x2 a2 ＋y2＝1(a＞1)与 y＝x2－65 16 ，消去 y， 整理得 x4＋ 1 a2 －65 8 x2＋81×49 162 ＝0， 根据椭圆 C 与抛物线 y＝x2－65 16 的对称性， 可得Δ＝ 1 a2 －65 8 2－4×81×49 162 ＝0，a＞1，解得 a＝2. ∴椭圆 C 的标准方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)①当直线 l 的斜率不存在时，S△PMN＝1 2 ×2b×a＝2； 当直线 l 的斜率为 0 时，S△PMN＝1 2 ×2a×b＝2； ②当直线 l 的斜率存在且不为 0 时． 设直线 l 的方程为 y＝kx，由 y＝kx， x2 4 ＋y2＝1， 解得 x2＝ 4 1＋4k2 ，y2＝ 4k2 1＋4k2. ∴|MN|＝2 x2＋y2＝4 1＋k2 1＋4k2. 由题意可得，线段 MN 的中垂线方程为 y＝－1 kx， 联立 y＝－1 kx， x2 4 ＋y2＝1， 可得 x2＝ 4k2 k2＋4 ，y2＝ 4 k2＋4. ∴|OP|＝ x2＋y2＝2 1＋k2 k2＋4 . ∴S△PMN＝1 2·|MN|·|OP|＝ 41＋k2 1＋4k2k2＋4 ≥ 41＋k2 1＋4k2＋k2＋4 2 ＝8 5 ， 当且仅当 k＝±1 时取等号，此时△PMN 的面积的最小值为8 5. ∵2>8 5 ，∴△PMN 的面积的最小值为8 5 ，直线 l 的方程为 y＝±x. 14.已知点 F 为抛物线 E：y2＝2px(p>0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|＝3. (1)求抛物线 E 的方程； (2)已知点 G(－1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为 圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切． 解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋p 2. 因为|AF|＝3，即 2＋p 2 ＝3，解得 p＝2， 所以抛物线 E 的方程为 y2＝4x. (2)因为点 A(2，m)在抛物线 E：y2＝4x 上， 所以 m＝±2 2. 由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)． 由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)． 由 y＝2 2x－1， y2＝4x， 得 2x2－5x＋2＝0， 解得 x＝2 或 x＝1 2 ，从而 B 1 2 ，－ 2 . 又 G(－1,0)， 所以 kGA＝ 2 2－0 2－－1 ＝2 2 3 ， kGB＝ － 2－0 1 2 －－1 ＝－2 2 3 ， 所以 kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等， 故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切．