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- 2021-06-16 发布
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章末检测试卷三(第八章)
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 13 小题,每小题 4 分,共 52 分. 在每小题给出的四个选项中,第 1~
10 题只有一项符合题目要求;第 11~13 题,有多项符合题目要求,全部选对的得 4 分,选
对但不全的得 2 分,有选错的不得分)
1.棱锥的侧面和底面可以都是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
答案 A
解析 三棱锥的侧面和底面均可以为三角形.
2.下面多面体中有 12 条棱的是( )
A.四棱柱 B.四棱锥 C.五棱锥 D.五棱柱
答案 A
解析 ∵n 棱柱共有 3n 条棱,n 棱锥共有 2n 条棱,∴四棱柱共有 12 条棱;四棱锥共有 8 条
棱;五棱锥共有 10 条棱;五棱柱共有 15 条棱.
3.将几何的研究范围由平面拓展到空间后,很多平面几何的结论推广到空间中不一定成立.在
空间中,下列说法仍然正确的是( )
A.有两组对边相等的四边形是平行四边形
B.四边相等的四边形是菱形
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线平行
答案 D
4.如图,Rt△O′A′B′是一平面图的直观图,斜边 O′B′=2,则这个平面图形的面积是
( )
A. 2
2 B.1
C. 2 D.2 2
答案 D
解析 ∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,
斜边 O′B′=2,
∴直角三角形的直角边长是 2,
∴直角三角形的面积是1
2
× 2× 2=1,
∴原平面图形的面积是 1×2 2=2 2.
5.如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且 C∉l,直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的
平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
A.点 A B.点 B
C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M
答案 D
6.将若干毫升水倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为 6 cm,若将这些水倒
入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为( )
A.6 3 cm B.6 cm
C.23 18 cm D.33 12 cm
答案 B
解析 设圆锥中水的底面半径为 r cm,
由题意知1
3πr2× 3r=π×22×6,
得 r=2 3,
∴水面的高度是 3×2 3=6(cm).
7.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 为 A1B1 的中点,AB=BC=2BB1=2,AC=2 2,则
异面直线 BD 与 AC 所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 如图,取 B1C1 的中点 E,连接 BE,DE,
则 AC∥A1C1∥DE,
则∠BDE 即为异面直线 BD 与 AC 所成的角.
由条件可知 BD=DE=EB= 2,所以∠BDE=60°.
8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CD 的中点,则( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
答案 C
解析 如图,由题设知,A1B1⊥平面 BCC1B1,
从而 A1B1⊥BC1,
又 B1C⊥BC1,且 A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面 A1B1CD,
所以 BC1⊥平面 A1B1CD,
又 A1E⊂平面 A1B1CD,
所以 A1E⊥BC1.
9.如图所示,空间四边形 PABC 的各边都相等,D,E,F,G 分别是 AB,BC,CA,AP 的中
点,下列四个结论中正确的个数为( )
①DF∥平面 PBC;②AB⊥平面 PDC;
③平面 PEF⊥平面 ABC;④平面 PAE⊥平面 PBC.
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 A
解析 ∵BC∥DF,DF⊄平面 PBC,BC⊂平面 PBC,
∴DF∥平面 PBC,故①正确;
∵PD⊥AB,CD⊥AB,PD∩CD=D,PD,DC⊂平面 PCD,
∴AB⊥平面 PDC,故②正确;
∵PE⊥BC,AE⊥BC,PE∩AE=E,PE,AE⊂平面 PAE,
∴BC⊥平面 PAE,
∵BC⊂平面 PBC,∴平面 PAE⊥平面 PBC,故④正确.
只有③错误.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内
角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米
堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放
的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有
( )
A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛
答案 B
解析 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积,
设圆锥底面半径为 r,则1
4
×2πr=8,
得 r=16
π
,
所以米堆的体积为1
3
×1
4πr2×5≈320
9 (立方尺),
320
9 ÷1.62≈22(斛).
11.下面关于四棱柱的命题中,为真命题的是( )
A.若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
C.若四个侧面全等,则该四棱柱为直四棱柱
D.若四棱柱的四条体对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱
答案 BCD
12.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点 A∈α,A∉l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α,m∥β,
则下列四种位置关系中,成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
答案 ABC
解析 ∵m∥α,m∥β,α∩β=l,∴m∥l.
∵AB∥l,∴AB∥m.故 A 一定正确.
∵AC⊥l,m∥l,∴AC⊥m.故 B 一定正确.
∵A∈α,AB∥l,l⊂α,∴B∈α.
∴AB⊄β,l⊂β,∴AB∥β.故 C 也正确.
∵AC⊥l,当点 C 在平面α内时,AC⊥β成立,
当点 C 不在平面α内时,AC⊥β不成立.
故 D 不一定成立.
13.如图,四边形 ABCD 是圆柱的轴截面,E 是底面圆周上异于 A,B 的一点,则下面结论中
正确的是( )
A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面 CEB
D.平面 ADE⊥平面 BCE
答案 ABD
解析 由 AB 是底面圆的直径,则∠AEB=90°,
即 AE⊥EB.
∵四边形 ABCD 是圆柱的轴截面,
∴AD⊥底面 AEB,BC⊥底面 AEB.
∴BE⊥AD,又 AD∩AE=A,AD,AE⊂平面 ADE,
∴BE⊥平面 ADE,DE⊂平面 ADE,
∴BE⊥DE.
同理可得 AE⊥CE.
又∵BE⊂平面 BCE,
∴平面 BCE⊥平面 ADE.
可得 A,B,D 正确.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
14.若一个圆台的母线长为 l,上、下底面半径分别为 r1,r2,且满足 2l=r1+r2,其侧面积为
8π,则 l=________.
答案 2
解析 S 圆台侧=π(r1+r2)l=2πl2=8π,所以 l=2.
15.已知平面α,β和直线 m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α∥β.当满足条件________
时,有 m⊥β.
答案 ②④
16.空间四边形 ABCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,∠BAD=90°,∠BCD=90°,且 AB=AD,
则 AC 与平面 BCD 所成的角是________.
答案 45°
解析 如图所示,取 BD 的中点 O,连接 AO,CO.
因为 AB=AD,所以 AO⊥BD,又平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AO⊂
平面 ABD,所以 AO⊥平面 BCD.
因此,∠ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成的角.
由于∠BAD=90°=∠BCD,所以 AO=OC=1
2BD,
又 AO⊥OC,所以∠ACO=45°.
17.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是32
3 π,那么
这个三棱柱的侧面积为________,体积是________.
答案 48 3 48 3
解析 设球的半径为 r,
则4
3πr3=32
3 π,
得 r=2,柱体的高为 2r=4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等,
所以底面正三角形的边长为 4 3,
所以正三棱柱的侧面积 S 侧=3×4×4 3=48 3,
体积 V= 3
4
×(4 3)2×4=48 3.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 82 分)
18.(12 分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖),它的母线长为 50 cm,两底面直径分别
为 40 cm 和 30 cm.求纸篓(外侧部分)的表面积.
解 根据题意可知,纸篓底面圆的半径 r′=15 cm,上口的半径 r=20 cm,母线长 l=50 cm,
则纸篓的表面积
S=π(r′2+r′l+rl)
=π(152+15×50+20×50)=1 975π(cm2).
19.(12 分)在空间四边形 ABCD 中,H,G 分别是 AD,CD 的中点,E,F 分别是边 AB,BC
上的点,且CF
FB
=AE
EB
=1
3.
求证:直线 EH,BD,FG 相交于一点.
证明 如图所示,连接 EF,GH.
∵H,G 分别是 AD,CD 的中点,∴GH∥AC,且 GH=1
2AC.
∵CF
FB
=AE
EB
=1
3
,∴EF∥AC,且 EF=3
4AC.
∴GH∥EF,且 GH≠EF.
∴EH 与 FG 相交,设交点为 P.
∵P∈EH,EH⊂平面 ABD,∴P∈平面 ABD.
同理 P∈平面 BCD.
又∵平面 ABD∩平面 BCD=BD,∴P∈BD.
∴直线 EH,BD,FG 相交于一点.
20.(14 分)如图所示,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中
点.
求证:(1)直线 EF∥平面 ACD;
(2)平面 EFC⊥平面 BCD.
证明 (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点,
∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD.
∵EF⊄平面 ACD,AD⊂平面 ACD,
∴直线 EF∥平面 ACD.
(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.
∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD.
又∵EF∩CF=F,EF,CF⊂平面 EFC,
∴BD⊥平面 EFC.
∵BD⊂平面 BCD,∴平面 EFC⊥平面 BCD.
21.(14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD⊥平面 PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC
=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面 PBC;
(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
(1)解 由已知 AD∥BC,故∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角.
∵AD⊥平面 PDC,PD
⊂
平面 PDC,∴AD⊥PD.
在 Rt△PDA 中,由已知,得 AP= AD2+PD2= 5,
故 cos∠DAP=AD
AP
= 5
5 .
∴异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5
5 .
(2)证明 ∵AD⊥平面 PDC,直线 PD
⊂
平面 PDC,
∴AD⊥PD.
又∵BC∥AD,∴PD⊥BC,
又 PD⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB
⊂
平面 PBC,
∴PD⊥平面 PBC.
(3)解 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连接 PF,
则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角.
∵PD⊥平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影,
∴∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角.
由于 AD∥BC,DF∥AB,可得 BF=AD=1.
由已知,得 CF=BC-BF=2.
又 AD⊥DC,故 BC⊥DC.
在 Rt△DCF 中,可得 DF= CD2+CF2=2 5.
在 Rt△DPF 中,可得 sin∠DFP=PD
DF
= 5
5 .
∴直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5
5 .
22.(15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面
ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 的中点,E 为 AD 的中点,过 A,D,N 的
平面交 PC 于点 M.
求证:(1)EN∥平面 PDC;
(2)BC⊥平面 PEB;
(3)平面 PBC⊥平面 ADMN.
证明 (1)∵四边形 ABCD 为菱形,∴AD∥BC,
又∵BC
⊂
平面 PBC,AD⊄平面 PBC,
∴AD∥平面 PBC.
∵平面 ADMN∩平面 PBC=MN,AD
⊂
平面 ADMN,
∴AD∥MN.
∴MN∥BC.
又∵N 为 PB 的中点,∴M 为 PC 的中点,
∴MN=1
2BC.
∵E 为 AD 的中点,∴DE=1
2AD=1
2BC=MN,
∴DE∥MN 且 DE=MN,
∴四边形 DENM 为平行四边形,∴EN∥DM.
又∵EN⊄平面 PDC,DM
⊂
平面 PDC,
∴EN∥平面 PDC.
(2)∵四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,且∠BAD=60°,E 为 AD 中点,
∴BE⊥AD.
又∵PE⊥AD,PE∩BE=E,PE,BE
⊂
平面 PBE,∴AD⊥平面 PEB.
∵AD∥BC,∴BC⊥平面 PEB.
(3)由(2)知 AD⊥PB.
又∵PA=AD=AB,且 N 为 PB 的中点,∴AN⊥PB.
∵AD∩AN=A,AD,AN
⊂
平面 ADMN,
∴PB⊥平面 ADMN.
又∵PB
⊂
平面 PBC,
∴平面 PBC⊥平面 ADMN.
23.(15 分)如图所示,在长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为 CD 的中点,以 AE 为折痕,
把△DAE 折起到△D′AE 的位置,且平面 D′AE⊥平面 ABCE.
(1)求证:AD′⊥BE;
(2)求四棱锥 D′-ABCE 的体积;
(3)在棱 ED′上是否存在一点 P,使得 D′B∥平面 PAC,若存在,求出点 P 的位置,若不存
在,请说明理由.
(1)证明 根据题意可知,在长方形 ABCD 中,△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形,∴∠DEA
=∠CEB=45°,
∴∠AEB=90°,即 BE⊥AE.
∵平面 D′AE⊥平面 ABCE,且平面 D′AE∩平面 ABCE=AE,BE⊂平面 ABCE,
∴BE⊥平面 D′AE,
∵AD′⊂平面 D′AE,
∴AD′⊥BE.
(2)解 取 AE 的中点 F,连接 D′F,则 D′F⊥AE,且 D′F= 2
2 .
∵平面 D′AE⊥平面 ABCE,
且平面 D′AE∩平面 ABCE=AE,D′F⊂平面 D′AE,
∴D′F⊥平面 ABCE,
∴VD′-ABCE=1
3S 四边形 ABCE·D′F
=1
3
×1
2
×(1+2)×1× 2
2
= 2
4 .
(3)解 如图所示,连接 AC 交 BE 于 Q,假设在 D′E 上存在点 P,使得 D′B∥平面 PAC,
连接 PQ.
∵D′B⊂平面 D′BE,平面 D′BE∩平面 PAC=PQ,
∴D′B∥PQ,
∴在△EBD′中, EP
PD′=EQ
QB.
∵△CEQ∽△ABQ,
∴EQ
QB
=EC
AB
=1
2
,
∴ EP
PD′
=EQ
QB
=1
2
,即 EP=1
3ED′,
∴在棱 ED′上存在一点 P,且 EP=1
3ED′,
使得 D′B∥平面 PAC.
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