高中数学全部知识点总结(供参考) 20页

高中数学必修+选修知识点归纳 必修 1 数学知识点 第一章：集合与函数概念 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 常见集合：正整数集合： *N 或 N ，整数集合： Z ，有理数集合： Q ，实数集合： R . 3、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 BA  . 4、 如果集合 BA  ，但存在元素 Bx  ，且 Ax  ， 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B. 5、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定： 空集合是任何集合的子集. 6、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 n2 个子 集， 2 1n  个真子集. 7、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作： BA  . 8、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作： BA  . 9、全集、补集？ { | , }UC A x x U x U  且 专题一：常用逻辑用语 1、命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑 联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题; 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母 p ， q ， r ， s ，……表示命 题. 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系： ⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系． 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地，如果已知 p q ，那么就说： p 是 q 的 充分条件， q 是 p 的必要条件； 若 p q ，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件． ⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命 题的条件 p 与结论 q 之间的关系： 4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式： p 或 q （ p q ）； p 且 q （ p q ）；非 p （ p ）. ⑵复合命题的真假判断 “ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真； “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假； “非 p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称 量词，并用符号“  ”表示.含有全称量词的命题，叫 做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词，并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题， 叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全称命题 p ： , ( )x p x  ，它的否定 p ： 0 0, ( ).x p x   全称命题的否定是特称命题． ②特称命题 p ： 0 0, ( ),x p x  ，它的否定 p ： , ( ).x p x   特称命题的否定是全称命题. §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集 合 B 中都有惟一确定的数  xf 和它对应，那么就 称 BAf : 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记 作：   Axxfy  , . 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 2121 ],,[ xxbaxx 、 那么 ],[)(0)()( 21 baxfxfxf 在 上是增函数； ],[)(0)()( 21 baxfxfxf 在 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格 式 ：解 ： 设  baxx ,, 21  且 21 xx  ， 则 ：    21 xfxf  =… (2)导数法：设函数 )(xfy  在某个区间内可导， 若 0)(  xf ，则 )(xf 为增函数； 若 0)(  xf ，则 )(xf 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数  xf 的定义域内任意一个 x ，都有    xfxf  ，那么就称函数  xf 为 偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数  xf 的定义域内任意一个 x ，都有    xfxf  ，那么就称函数  xf 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数 )(xfy  在点 0x 处的导数的几何意义： 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率 )( 0xf  ，相应的切线方 程是 ))(( 000 xxxfyy  . 2、几种常见函数的导数 ① 'C 0 ；② 1')(  nn nxx ； ③ xx cos)(sin '  ； ④ xx sin)(cos '  ； ⑤ aaa xx ln)( '  ； ⑥ xx ee ')( ； ⑦ axxa ln 1)(log '  ；⑧ xx 1)(ln '  3、导数的运算法则 （1） ' ' '( )u v u v   . （2） ' ' '( )uv u v uv  . （3） ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv vv v   . 4、复合函数求导法则 （理科） 复合函数 ( ( ))y f g x 的导数和函数 ( ), ( )y f u u g x  的导数间的关系为 x u xy y u    ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对u 的导数与u 对 x 的导数的 乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义： 极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf ＜ )( 0xf ， 则 )( 0xf 是函数 )(xf 的极大值； 极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf ＞ )( 0xf ， 则 )( 0xf 是函数 )(xf 的极小值. (2)判别方法： ①如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＞0，右侧 )(' xf ＜0， 那么 )( 0xf 是极大值； ②如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＜0，右侧 )(' xf ＞0， 那么 )( 0xf 是极小值. 6、求函数的最值 (1)求 ( )y f x 在 ( , )a b 内的极值（极大或者极小值） (2)将 ( )y f x 的各极值点与 ( ), ( )f a f b 比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）； 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。 第二章：基本初等函数（Ⅰ） §2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：  1,0  aaay x 2、性质： §2.2.1、对数与对数运算 1、指数与对数互化式： logx aa N x N   ； 2、对数恒等式： loga Na N . 3、基本性质： 01log a ， 1log aa . 4、运算性质：当 0,0,1,0  NMaa 时： 1a 10  a 图 象 6 5 4 3 2 1 -1 -4 -2 2 4 6 0 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4 -2 2 4 6 0 1 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数 (5) 0, 1xx a  ; 0,0 1xx a   (5) 0,0 1xx a   ; 0, 1xx a  01 1 y= a x o y x ⑴   NMMN aaa logloglog  ； ⑵ NMN M aaa logloglog      ； ⑶ MnM a n a loglog  . 5、换底公式： a bb c c a log loglog   0,1,0,1,0  bccaa . 6、重要公式： log logn m aa mb bn  7、倒数关系： ab b a log 1log   1,0,1,0  bbaa . §2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象：  1,0log  aaxy a 2、性质： §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象： 第三章：函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程   0xf 有实根  函数  xfy  的图象与 x 轴有交点  函数  xfy  有零点. 2、 零点存在性定理： 如果函数  xfy  在区间 ba, 上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有     0 bfaf ，那么函数  xfy  在区间  ba, 内有零点，即存在  bac , ， 使得   0cf ，这个 c 也就是方程   0xf 的根. 必修 2 数学知识点 第一章：空间几何体 1、棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。 2、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与 截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； lrS  2侧面 ⑵圆锥侧面积： lrS  侧面 ⑶圆台侧面积： lRlrS  侧面 ⑷体积公式： hSV 柱体 ； hSV  3 1 锥体 ；  hSSSSV 下下上上台体  3 1 ⑸球的表面积和体积： 32 3 44 RVRS   球球 ， . 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线在此平面内。 2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 1a 10  a 图 象 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 性 质 (1)定义域：（0，+∞） （2）值域：R （3）过定点（1，0），即 x=1 时，y=0 （4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数 (5) 0log,1  xx a ； 0log,10  xx a (5) 0log,1  xx a ； 0log,10  xx a 01 1 y=lo g a x o y x 们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这 两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直 线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则 线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个 平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。 第三章：直线与方程 1、倾斜角与斜率： 12 12tan xx yyk    2、直线方程： ⑴点斜式：  00 xxkyy  ⑵斜截式： bkxy  3）一般式： 0 CByAx 3、对于直线： 222111 :,: bxkylbxkyl  有： ⑴      21 21 21 // bb kkll ； ⑵ 1l 和 2l 相交 1 2k k  ； ⑶ 1l 和 2l 重合      21 21 bb kk ； ⑷ 12121  kkll . 4、对于直线： 0: ,0: 2222 1111   CyBxAl CyBxAl 有： ⑴      1221 1221 21 // CBCB BABAll ； ⑵ 1l 和 2l 相交 1221 BABA  ； ⑶ 1l 和 2l 重合      1221 1221 CBCB BABA ； ⑷ 0212121  BBAAll . 5、两点间距离公式：    2 12 2 1221 yyxxPP  6、点到直线距离公式： 22 00 BA CByAxd   7、两平行线间的距离公式： 1l ： 01  CByAx 与 2l ： 02  CByAx 平行， 则 22 21 BA CCd   第四章：圆与方程 1、圆的方程： ⑴标准方程：     222 rbyax  其中圆心为 ( , )a b ，半径为 r . ⑵一般方程： 022  FEyDxyx . 其中圆心为 ( , ) 2 2 D E  ，半径为 2 21 4 2 r D E F   . 2、直线与圆的位置关系 直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax  的位置关系有三种: 0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd . 弦长公式： 222 drl  2 2 1 2 1 21 ( ) 4k x x x x    3、两圆位置关系： 21OOd  ⑴外离： rRd  ； ⑵外切： rRd  ； ⑶相交： rRdrR  ； ⑷内切： rRd  ； ⑸内含： rRd  . 3、空间中两点间距离公式：（理科）      2 12 2 12 2 1221 zzyyxxPP  必修 3 数学知识点 第二章：统计 1、抽样方法： ①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本， 每个个体被抽到的机会（概率）均为 N n 。 2、总体分布的估计： ⑴一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据 的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大 书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： ⑴平均数： n xxxxx n 321 ； 取值为 nxxx ,,, 21  的频率分别为 nppp ,,, 21  ，则其 平均数为 nn pxpxpx  2211 ； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据 nxxx ,,, 21  方差： 2 1 2 )(1    n i i xxns ； 标准差： 2 1 )(1    n i i xxns 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的 稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程： abxy   （最小二乘法） 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx a y bx             注意：线性回归直线经过定点 ),( yx 。 第三章：概率 1、随机事件及其概率： ⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母 表示； ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件 A 的概率： 1)(0,)(  APn mAP . 2、古典概型： ⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； ⑵古典概型的特点： ①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事 件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则 事件 A 发生的概率 n mAP )( . 3、几何概型： ⑴几何概型的特点： ①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式： 的测度 的测度 D dAP )( ； 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、 体积等。 4、互斥事件： ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； ⑵如果事件 nAAA ,,, 21  任意两个都是互斥事件，则称 事件 nAAA ,,, 21  彼此互斥。 ⑶如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率， 等于事件 A，B 发生的概率的和， 即： )()()( BPAPBAP  ⑷如果事件 nAAA ,,, 21  彼此互斥，则有： )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP   ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称 这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A )(1)(,1)()( APAPAPAP  ②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事 件。 必修 4 数学知识点 第一章：三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 终边相同的角的集合：  Zkk  ,2  . §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 r l . 3、弧长公式： RRnl   180 . 4、扇形面积公式： lRRnS 2 1 360 2   . §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点  yxP , ，那么： x yxy   tan,cos,sin 2、 设点  ,A x y 为角 终边上任意一点，那么：（设 2 2r x y  ） sin y r   ，cos x r   ，tan y x   ，cot x y   3、 sin ， cos ， tan 在 四个象限的符号和三角函 数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角的三角函数值.  0 6  4  3  2  sin  cos  tan  §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系： 1cossin 22   . 2、 商数关系：   cos sintan  . §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限” Zk  ） 1、 诱导公式一：       .tan2tan ,cos2cos ,sin2sin       k k k （其中： Zk  ） 2、 诱导公式二：       .tantan ,coscos ,sinsin       3、诱导公式三：       .tantan ,coscos,......sinsin     4、诱导公式四：       .tantan ,coscos,......sinsin     5、诱导公式五： .sin2cos,........cos2sin             6、诱导公式六： T M A O P x y sin cos ,........cos sin .2 2                   图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 xy sin xy cos xy tan 图象 定义域 R R },2|{ Zkkxx   值域 [-1,1] [-1,1] R 最值 max min 2 , 1 2 2 , 1 2 x k k Z y x k k Z y            时， 时， max min 2 , 1 2 , 1 x k k Z y x k k Z y            时， 时， 无 周期性 2T 2T T 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 Zk  在[2 ,2 ]2 2k k    上单调递增 在 3[2 ,2 ]2 2k k    上单调递减 在[2 ,2 ]k k   上单调递增 在[2 ,2 ]k k   上单调递减 在( , )2 2k k    上单调递增 对称性 Zk  对称轴方程： 2 x k   对称中心 ( ,0)k 对称轴方程： x k 对称中心 ( ,0) 2 k  无对称轴 对称中心 , 0)( 2 k §1.5、函数    xAy sin 的图象 1、对于函数：    sin 0, 0y A x B A       有：振幅 A，周 期 2T    ，初相 ，相位  x ，频率   2 1  Tf . 2、能够讲出函数 xy sin 的图象与  siny A x B    的图象之间的平移伸缩变 换关系. 1 先平移后伸缩： siny x 平移 | | 个单位  siny x   （左加右减） 横坐标不变  siny A x   纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变  siny A x   横坐标变为原来的 1| | 倍 平移 | |B 个单位  siny A x B    （上加下减） 2 先伸缩后平移： siny x 横坐标不变 siny A x 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 siny A x 横坐标变为原来的 1| | 倍 平移   个单位  siny A x   （左加右减） 平移 | |B 个单位  siny A x B    （上加下减） 3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数 sin( )y x   ，x∈R 及函数 cos( )y x   ， x∈R(A, , 为常数，且 A≠0)的周期 2 | |T   ；函 数 tan( )y x   ， ,2x k k Z   (A,ω, 为 常数，且 A≠0)的周期 | |T   . 对 于 sin( )y A x   和 cos( )y A x   来 说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数 sin( )y A x   图像的对称轴与对称中心， 只需令 ( ) 2 x k k Z      与 ( )x k k Z     解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征： max min 2 y yA  ， max min 2 y yB  .  要根据周期来求, 要用图像的关键点来求. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值：  sin cos tan 12  4 26 4 26 32  §3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、    sincoscossinsin  2、    sincoscossinsin  3、    sinsincoscoscos  4、    sinsincoscoscos  5、   tan tan 1 tan tantan         . 6、   tan tan 1 tan tantan         . §3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、  cossin22sin  ， 变形： 1 2sin cos sin 2   . 2、  22 sincos2cos  1cos2 2   2sin21 . 变形如下： 升幂公式： 2 2 1 cos2 2cos 1 cos2 2sin          降幂公式： 2 2 1cos (1 cos2 )2 1sin (1 cos2 )2            3、   2tan1 tan22tan   . §3.2、简单的三角恒等变换 2、辅助角公式 )sin(cossin 22  xbaxbxay （一般关注 , ,6 4 3     的情况). 解三角形 1、正弦定理： RC c B b A a 2sinsinsin  . （其中 R 为 ABC 外接圆的半径） 2 sin , 2 sin , 2 sin ;a R A b R B c R C    sin ,sin ,sin ;2 2 2 a b cA B CR R R     : : sin :sin :sin .a b c A B C  用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它 元素。 2、余弦定理： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos , 2 cos , 2 cos . a b c bc A b a c ac B c a b ab C             2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,2 cos ,2 cos .2 b c aA bc a c bB ac a b cC ab            用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式： BacAbcCabS ABC sin2 1sin2 1sin2 1  4、三角形内角和定理： 在△ABC 中，有 ( )A B C C A B        2 2 2 C A B    2 2 2( )C A B    . 5、一个常用结论： 在 ABC 中， sin sin ;a b A B A B     若sin 2 sin 2 , .2A B A B A B    则 或 特别注意， 在三角函数中，sin sinA B A B   不成立。 ：平面向量 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三 个要素：起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称 模），记作 AB  ；长度为零的向量叫做零向量；长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共 线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. 2、 ba  ≤ ba  . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 2、 平面向量共线定理：向量  0aa 与b 共线， 当且仅当有唯一一个实数  ，使 ab  . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、  yxjyixa , . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设    2211 ,,, yxbyxa  ，则： ⑴  2121 , yyxxba  ， ⑵  2121 , yyxxba  ， ⑶  11, yxa   ， ⑷ 1221// yxyxba  . 2、 设    2211 ,,, yxByxA ，则：  1212 , yyxxAB  . §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设      332211 ,,,,, yxCyxByxA ，则 ⑴线段 AB 中点坐标为  22 2121 , yyxx  ， ⑵△ABC 的重心坐标为  33 321321 , yyyxxx  . §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 cosbaba  . 2、 a 在b 方向上的投影为： cosa . 3、 22 aa  . 4、 2 aa  . 5、 0 baba . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设    2211 ,,, yxbyxa  ，则： ⑴ 2121 yyxxba  ⑵ 2 1 2 1 yxa  ⑶ 1 2 1 20 0a b a b x x y y          ⑷ 1 2 2 1/ / 0a b a b x y x y        2、 设    2211 ,,, yxByxA ，则：    2 12 2 12 yyxxAB  . 3、 两向量的夹角公式 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y           必修 5 数学知识点 第二章：数列 1、数列中 na 与 nS 之间的关系： 1 1 , ( 1) ,( 2).n n n S na S S n     注意通项能否合并。 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，即 na － 1na =d ，（n≥ 2，n∈N  ）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 a A b、 、 成等差数列 2 a bA   ⑶通项公式： 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d      或 (na pn q p q  、 是常数）. ⑷前 n 项和公式：    1 1 1 2 2 n n n n n a aS na d     ⑸常用性质： ①若   Nqpnmqpnm ,,, ，则 qpnm aaaa  ； ②数列{ na }为等差数列 na pn q   （p,q 是常数） 3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列。 ⑵等比中项：若三数 a b、G、 成等比数列 2 ,G ab  （ ab 同号）。反之不一定成立。 ⑶通项公式： 1 1 n n m n ma a q a q   ⑷前 n 项和公式：  1 11 1 1 n n n a q a a qS q q     ⑸常用性质 ①若   Nqpnmqpnm ,,, ，则 m n p qa a a a   ； 第三章：不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性） a b b a   ②（传递性） ,a b b c a c    ③（可加性） a b a c b c     （同向可加性） dbcadcba  , （异向可减性） dbcadcba  , ④（可积性） bcaccba  0, bcaccba  0, ⑤（同向正数可乘性） 0, 0a b c d ac bd      （异向正数可除性） 0,0 a ba b c d c d       ⑥（平方法则） 0 ( , 1)n na b a b n N n     且 ⑦（开方法则） 0 ( , 1)n na b a b n N n     且 ⑧（倒数法则） babababa 110;110  2、几个重要不等式 ①  2 2 2a b ab a b R  ， ,（当且仅当 a b 时取 " " 号）. 变形公式： 2 2 .2 a bab  ②（基本不等式） 2 a b ab   a b R， ,（当 且仅当 a b 时取到等号）. 变形公式： 2a b ab  2 .2 a bab      用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最 大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. 绝对值三角不等式 .a b a b a b     （理科） 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c   或 2( 0, 4 0)a b ac     解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 专题五：数系的扩充与复数 1、复数的概念 ⑴虚数单位i ； ⑵复数的代数形式 ( , )z a bi a b R   ； ⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数  ,z a bi a b R   ( 0) ( 0, 0)( 0) ( 0, 0) b a bb a b         实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 3、相关公式 ⑴ dcbadicbia  且, ⑵ 00  babia ⑶ 22 babiaz  ⑷ z a bi  zz， 指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共 轭复数）. 4、复数运算 ⑴复数加减法：       idbcadicbia  ； ⑵复数的乘法：       a bi c di ac bd bc ad i      ； ⑶复数的除法：       a bi c dia bi c di c di c di          2 2 2 2 2 2 ac bd bc ad i ac bd bc ad ic d c d c d          （类似于无理数除法的分母有理化  虚数除法的分 母实数化） 5、常见的运算规律 (1) ; (2) 2 , 2 ;z z z z a z z bi     2 2 2 2(3) ;(4) ;(5)z z z z a b z z z z z R         4 1 4 2 4 3 4 4(6) , 1, , 1;n n n ni i i i i i           2 2 1 1 1(7) 1 ;(8) , ,1 1 2 i i ii i i i ii i                )9( 设 2 31 i 是 1 的立方虚根，则 01 2   ， 1,, 332313   nnn  6、复数的几何意义 复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中 x 轴叫 做复平面的实轴， y 轴叫做复平面的虚轴. z a bi Z  一一对应复数 复平面内的点（a,b) z a bi OZ   一一对应复数 平面向量 专题二：圆锥曲线与方程 1．椭圆 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0y x a ba b     定义 到两定点 21F F、 的距离之和等于常数 2 a ，即 21| | | | 2MF MF a  （ 212 | |a F F ） 轴长 长轴的长 2a 短轴的长 2b 对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称 焦点  1 ,0F c 、  2 ,0F c  1 0,F c 、  2 0,F c 焦距 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b   离心率 (0 1)ce ea    焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b     定义 到两定点 21F F、 的距离之差的绝对值等于常数 2a ，即 21| | | | 2MF MF a  （ 210 2 | |a F F  ） 轴长 实轴的长 2a 虚轴的长 2b 对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称 焦点  1 ,0F c 、  2 ,0F c  1 0,F c 、  2 0,F c 焦距 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b     y y x O M H N 双曲线 抛物线： 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单 位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离 || OM 叫做点 M 的极径，记为  ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的 xOM 叫做点 M 的极角，记为 。有序数对 ),(  叫做点 M 的极坐标，记为 ),( M . 3、极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 ( , )x y ，极坐标是 ( , )  ，从图中可以得出： 2 2 2 cos , sin , t n ( 0). x y yx y a xx             4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 a  ； 离心率 ( 1)ce ea   渐近线方程 by xa   ay xb   图形 标准方程 2 2y px  0p  2 2y px   0p  2 2x py  0p  2 2x py   0p  焦点 , 02 pF      , 02 pF     0, 2 pF      0, 2 pF     准线方程 2 px   2 px  2 py   2 py    xO 图 1 M( , )  ②以 ( ,0)a )0( a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是  cos2a ； ③以 ( , )2a  )0( a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是  sin2a ； ⑵直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 )0(   和 ( 0)      . （如图 1） ②过点 )0)(0,( aaA ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 acos . 化为直角坐标方程为 x a .（如图 2） ③过点 ( , )2A a  且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是 sin a   . 化为直角坐标方程为 y a .（如图 4） 6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 yx, 都是某个变数t 的函数      ),( ),( tgy tfx 并且对于t 的每一 个允许值，由这个方程所确定的点 ),( yxM 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数 yx, 的变数t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程 （1）圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    的参数方程为 cos sin x a r y b r        （ 为参数）； （2）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的参数方程为 cos sin x a y b      （ 为参数）； 椭圆 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b     的参数方程为 cos sin x b y a      （ 为参数）； （3）双曲线 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的参数方程 sec tan x a y b      （ 为参数）； 双曲线 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b     的参数方程 cot csc x b y a      （ 为参数）； （4）抛物线 2 2y px 参数方程 22 2 x pt y pt     (t 为参数， 1 tant  ）； 专题七：随机变量及其分布 1、基本概念 ⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A B C、 、 ，其中任何两个都是互斥事 件，则说事件 A B C、 、 彼此互斥. 当 A B、 是互斥事件时，那么事件 A B 发生（即 A B、 中有一个发生）的概率，等于事件 A B、 分别发 生的概率的和，即 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   . ⑵对立 事件：其中必有 一个发 生的两个互斥 事件.事 件 A 的对立事 件通常 记着 A . 对立事件的概率和等于 1. ( ) 1 ( )P A P A  . ⑶相互独立事件：事件 A（或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是 否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两 个事件叫做相互独立事件. 当 A B、 是相互独立事件时，那么事件 A B 发生 （即 A B、 同时发生）的概率，等于事件 A B、 分别发 生的概率的积.即 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   . 若 A、B 两事件相互独立，则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验 ①一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. ②独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ，那么 在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率  ( ) (1 ) 0,1 2, .,k k n k n nP k nk C p p     ⑸条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. 公式： ( )( ) , ( ) 0.( ) P ABP B A P AP A   3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布（分布列） 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 1 2,x x ，…， ix ，…， nx ， X 的每一个值 ix （ 1,2, ,i n  ）的概率 ( )i iP X x p  ，则称表 X 1x 2x … ix … nx P 1p 2p … ip … np 为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列. 性质：① 0, 1,2,... ;ip i n  ② 1 1. n i i p   ⑵两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 则称 X 服从两点分布，并称 ( 1)p P X  为成功概 率. ⑶二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 ( ) (1 ) .k k n k nP X k C p p    其中 0,1,2,..., , 1k n q p   ，于是得到随机 变量 X 的概率分布如下： X 0 1 … k … n P 0 0 n nC p q 1 1 1n nC p q  … k k n k nC p q  … 0n n nC p q 我们称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作  pnBX ,~ ，并称 p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： ①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一； ②重复性：即试验是独立重复地进行了 n 次; ③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样； ⑵二项分布中的参数是 , , .p k n ⑷超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 X k 发生的 概率为 ( ) ( 0,1,2, , ) k n k M N M n N C CP X k k mC      ,于 是得到随机变量 X 的概率分布如下： X 0 1 P 1 p p 其中  min ,m M n , *, , , ,n N M N n M N N≤ ≤ . 我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 且称随机变量 X 服从超几何分布. 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样； ⑵超几何分布中的参数是 , , .M N n 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X 1x 2x … ix … nx P 1p 2p … ip … np 则称   1 1 2 2 i i n nE X x p x p x p x p       为离散型 随机变量 X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. 性质：① ( ) ( ) .E aX b aE X b   ②若 X 服从两点分布，则 ( ) .E X p ③若  pnBX ,~ ，则 ( ) .E X np ⑵离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X 1x 2x … ix … nx P 1p 2p … ip … np 则称 2 1 ( ) ( ( )) n i i i D X x E X p    为离散型随机变量 X 的 方差，并称其算术平方根 ( )D X 为随机变量 X 的标 准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集 中与离散的程度. ( )D X 越小， X 的稳定性越高，波动越小，取值 越集中； ( )D X 越大， X 的稳定性越差，波动越大， 取值越分散. 性质：① 2( ) ( ).D aX b a D X  ②若 X 服从两点分布，则 ( ) (1 ).D X p P  ③若  pnBX ,~ ，则 ( ) (1 ).D X np P  5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式：     Rxexf x     , 2 1 2 2 2   ，其中 , 是参数， 且   ,0 .记作 2( , ).N   如下图： 专题三：定积分 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果 ( ) ( )F x f x  ，且 ( )f x 在 ],[ ba 上可积，则 ( ) ( ) ( ) ( )b b aa f x dx F x F b F a   ， 【 其 中 ( )F x 叫 做 ( )f x 的 一 个 原 函 数 ， 因 为  ( ) ( ) ( )F x C F x f x    】 4、定积分的性质 ⑴  b a b a dxxfkdxxkf )()( （k 为常数）； ⑵   b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ； ⑶ ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx    （其中 )a c b  ; 5、定积分的几何意义 X 0 1 … m P 0 0n M N M n N C C C   1 1n M N M n N C C C   … m n m M N M n N C C C   定积分 ( )b a f x dx 表示在区间[ , ]a b 上的曲线 ( )y f x 与直线 x a 、x b 以及 x 轴所围成的平面 图形（曲边梯形）的面积的代数和，即 ( )b a x xf x dx S S 轴上方 轴下方－ .（在 x 轴上方的面积取 正号,在 x 轴下方的面积取负号） 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图像； ⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积 分的上、下限； ⑶写出定积分表达式； ⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和. 7、定积分的简单应用 ⑴定积分在几何中的应用： 几种常见的曲边梯形面积的计算方法: （1） x 型区域： ① 由 一 条 曲 线 ）其中 0 )()(( xfxfy 与 直 线 )(, babxax  以及 x 轴所围成的曲边梯形的面 积： ( )bS f x dxa＝ （如图（1））； 图（1） 专题六：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理：(分类相加) 做一件事情，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 1m 种不同的方法，在第二类办法中有 2m 种不同的方 法……在第 n 类办法中有 nm 种不同的方法.那么完成 这件事情共有 nmmmN  21 种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘) 做一件事情，完成它需要 n 个步骤，做第一个步骤有 1m 种不同的方法，做第二个步骤有 2m 种不同的方 法……做第 n 个步骤有 nm 种不同的方法.那么完成这 件事情共有 nmmmN  21 种不同的方法. 2、排列与组合 ⑴排列定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取  nmm  个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列. ⑵组合定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取  nmm  个元素并成一组，叫做从 n 个不同的元素中 任取 m 个元素的一个组合. ⑶排列数：从 n 个不同的元素中任取  nmm  个元素 的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数，记作 m nA . ⑷组合数：从 n 个不同的元素中任取  nmm  个元素 的所有组合的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的组合数，记作 m nC . ⑸排列数公式： ①     121  mnnnnAm n   !mn nAm n  ！ ； ② !nAn n  ，规定 1!0  . ⑹组合数公式： ①      ! 121 m mnnnnC m n   或  !! mnm nC m n  ！ ； ② mn n m n CC  ，规定 10 nC . ⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序. ⑻排列与组合的联系： m m m n m n ACA  ，即排列就是先 组合再全排列.   ( 1) ( 1) ! ( )( 1) 2 1 ! ! m m n n m m A n n n m nC m nA m m m n m                 ⑼排列与组合的两个性质性质 排列 1 1    m n m n m n mAAA ；组合 1 1    m n m n m n CCC . ⑽解排列组合问题的方法 ①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑 有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优 先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他 位置）. ②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再 把不符合条件的所有情况去掉）. ③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑” 为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列， 最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）. ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某 些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好 没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素 按要求插入排好的元素之间）. ⑤有序问题组合法. ⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法. ⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组， 平均分成 n 组问题别忘除以 n！. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式：   0 1 1 2 2 2n n n n r n r r n n n na b C a C a b C a b C a b         n n nC b n N    . ⑵二项展开式的通项公式：      NnNrnrbaCT rrnr nr ,,01 .主要用途 是求指定的项. ⑶项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当 二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系 数.如 在 ( )nax b 的展开式中，第 1r  项的二项式系数 为 r nC ，第 1r  项的系数为 r n r r nC a b ；而 1( )nx x  的 展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为 正，而项的系数不一定为正. ⑷  nx1 的展开式：   0221101 xCxCxCxCx n n n n n n n n n    ， 若令 1x ，则有   n nnnn nn CCCC  210211 . 二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数 的和.即 13120 2  n nnnn CCCC ⑸二项式系数的性质： （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项 式系数相等，即 mn n m n CC  ； （2）增减性与最大值：当 1 2 nr  时，二项式系 数C r n 的值逐渐增大，当 1 2 nr  时,C r n 的值逐渐减小， 且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第 2 n ＋1 项）的二项式系数 2 n nC 取得最大值.当 n 为奇数时， 中间两项（第 2 1n 和 2 1n ＋1 项）的二项式系数 1 1 2 2 n n n nC C    相等并同时取最大值. ⑹系数最大项的求法 设第 r 项的系数 rA 最大，由不等式组 1 1 r r r r A A A A      可确定 r . 知识链接：空间向量（理科） 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行 总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若 A、B 是直线l 上的任意两点，则 AB  为直线l 的 一个方向向量；与 AB  平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量 n  所在直线垂直于平面 ，则称这个向量 垂直于平面 ，记作 n  ，如果 n  ，那么向量 n  叫做平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面 的法向量为 ( , , )n x y z ． ③求出平面内两个不共线向量的坐标 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b   ． ④根据法向量定义建立方程组 0 0 n a n b          . ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量. （如图） 1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线 1 2,l l 的方向向量分别是 a b  、 ，则要证明 1l ∥ 2l ，只需证明 a  ∥b  ，即 ( )a kb k R   . 即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行 ①（法一）设直线l 的方向向量是 a  ，平面 的法向 量是u  ，则要证明l ∥ ，只需证明 a u  ，即 0a u   . 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. ⑶面面平行 若平面 的法向量为u  ，平面  的法向量为 v  ，要 证 ∥  ，只需证u  ∥ v  ，即证u v  . 即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 1 2,l l 的方向向量分别是 a b  、 ，则要证明 1 2l l ，只需证明 a b  ，即 0a b   . 即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。 ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是 a  ，平面 的法向 量是u  ，则要证明l  ，只需证明 a  ∥u  ，即 a u  . ②（法二）设直线l 的方向向量是 a  ，平面 内的两 个相交向量分别为 m n  、 ，若 0, . 0 a m l a n            则 即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的 法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面 的法向量为u  ，平面  的法向量为 v  ，要 证  ，只需证u v  ，即证 0u v   . 即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 ,a b 为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 ,a b 上的任意两点， ,a b 所成的角为 ， 则 cos . AC BD AC BD        ⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 ②求法：设直线l 的方向向量为 a  ，平面 的法向量 为u  ，直线与平面所成的角为 ，a  与u  的夹角为 ， 则 为 的余角或 的补角 的余角.即有： coss .in a u a u       ⑶求二面角 ①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分， 其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面 角的棱，每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角是指在二面角   l 的棱上 任 取 一 点 O ， 分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线 lBOlAO  , ，则 AOB 为二面角   l 的平 面角. 如图： ②求法：设二面角 l   的两个半平面的法向量 分 别 为 m n  、 ， 再 设 m n  、 的 夹 角 为  ， 二 面 角 l   的平面角为 ，则二面角 为 m n  、 的夹角  或其补角 .  根据具体图形确定 是锐角或是钝角： ◆如果 是锐角，则 cos cos m n m n          ， 即 arccos m n m n        ； ◆ 如果 是钝角，则 cos cos m n m n            ， 即 arccos m n m n            .