高中数学人教a版选修1-2章末综合测评3word版含解析 8页

章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是虚数单位)，则 a， b 的值分别等于( ) A．3，－2 B．3,2 C．3，－3 D．－1,4 【解析】 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以 a＝3，b＝－2. 【答案】 A 2．(2015·广东高考)若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i 【解析】 ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴ z ＝2－3i. 【答案】 A 3．(2016·衡阳高二检测)若 i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数 x＋yi 的模是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 由 i(x＋yi)＝3＋4i，得－y＋xi＝3＋4i，解得 x＝4，y＝－3，所 以复数 x＋yi 的模为 42＋－32＝5. 【答案】 D 4．(2014·广东高考)已知复数 z 满足(3－4i)z＝25，则 z＝( ) A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 【解析】 由(3－4i)z＝25，得 z＝ 25 3－4i ＝ 253＋4i 3－4i3＋4i ＝3＋4i，故选 D. 【答案】 D 5．(2016·天津高二检测)“m＝1”是“复数 z＝(1＋mi)(1＋i)(m∈R，i 为虚 数单位)为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 z＝(1＋mi)(1＋i)＝1＋i＋mi－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若 m＝1，则 z＝2i 为纯虚数；若 z 为纯虚数，则 m＝1.故选 C. 【答案】 C 6．设 z∈C，若 z2 为纯虚数，则 z 在复平面上的对应点落在( ) 【导学号：19220054】 A．实轴上 B．虚轴上 C．直线 y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对 【解析】 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， ∵z2＝a2－b2＋2abi 为纯虚数，∴{a2－b2＝0， ab≠0. ∴a＝±b，即 z 在复平面上的对应点在直线 y＝±x(x≠0)上． 【答案】 C 7．设复数 z 满足1－z 1＋z ＝i，则|1＋z|＝( ) A．0 B．1 C. 2 D．2 【解析】 ∵1－z 1＋z ＝i， ∴z＝1－i 1＋i ＝ 1－i2 1＋i1－i ＝－i， ∴|z＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C 8．设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数，若 z· z i＋2＝2z，则 z＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 【解析】 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，由 z· z i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝ 2(a ＋ bi) ， 即 (a2 ＋ b2)i ＋ 2 ＝ 2a ＋ 2bi ， 由 复 数 相 等 的 条 件 得 {a2＋b2＝2b， 2＝2a， 得{a＝1， b＝1， ∴z＝1＋i. 【答案】 A 9．若 z＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使 z2＝－1 的θ值可能是( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 【解析】 z2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ ＝－1， ∴{sin 2θ＝0， cos 2θ＝－1， ∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)， ∴θ＝kπ＋π 2(k∈Z)，令 k＝0 知选 D. 【答案】 D 10．当 z＝－1－i 2 时，z100＋z50＋1 的值是( ) A．1 B．－1 C．i D．－i 【解析】 原式＝ －1－i 2 100＋ －1－i 2 50＋1＝ 1－i 2 2 50＋ 1－i 2 2 25＋1＝ (－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选 D. 【答案】 D 11．在复平面上，正方形 OBCA 的三个顶点 A，B，O 对应的复数分别为 1 ＋2i，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点 C 对应的复数是( ) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是 A(1,2)，B(－2,1)，O(0,0)， ∴设第四个顶点 C 的坐标为(x，y)， 则BC → ＝OA → ， ∴(x＋2，y－1)＝(1,2)． ∴{x＋2＝1， y－1＝2， ∴{x＝－1， y＝3， ∴第四个顶点 C 的坐标为(－1,3)． 【答案】 D 12．复数 z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为 2，则|z＋2|的 最大值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】 由于|z|＝2，所以 x－22＋y2＝2，即(x－2)2＋y2＝4，故点(x，y) 在以(2,0)为圆心，2 为半径的圆上，而|z＋2|＝|x＋yi|＝ x2＋y2，它表示点(x，y) 与原点的距离，结合图形易知|z＋2|的最大值为 4，故选 B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中横线 上．) 13．(2015·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的值为________． 【解析】 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i 是纯虚数可得 a＋2＝0,1－ 2a≠0，解得 a＝－2. 【答案】 －2 14．复数 z1＝ 1－i 1＋i 2，z2＝2－i3 分别对应复平面内的点 P，Q，则向量PQ → 对 应的复数是________． 【解析】 ∵z1＝ 1－i 1＋i 2＝－1，z2＝2－i3＝2＋i， ∴P(－1,0)，Q(2,1)， ∴PQ → ＝(3,1)，即PQ → 对应的复数为 3＋i. 【答案】 3＋i 15．定义运算|a b c d|＝ad－bc，则对复数 z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件 |z 1 z 2i|＝3＋2i 的复数 z 等于_________________________________． 【导学号：19220055】 【解析】 由定义运算，得|z 1 z 2i|＝2zi－z＝3＋2i，则 z＝ 3＋2i －1＋2i ＝ 3＋2i－1－2i －1＋2i－1－2i ＝1 5 －8 5i. 【答案】 1 5 －8 5i 16．复数 z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范 围是________． 【解析】 复数 z＝(a－2)＋(a＋1)i 对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为 该点位于第二象限， 所以{a－2<0， a＋1>0， 解得－1