高中数学人教a版选修1-1学业分层测评11抛物线及其标准方程word版含解析 6页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．抛物线的焦点是 －1 4 ，0 ，则其标准方程为( ) A．x2＝－y B．x2＝y C．y2＝x D．y2＝－x 【解析】 易知－p 2 ＝－1 4 ，∴p＝1 2 ，焦点在 x 轴上，开口向左， 其方程应为 y2＝－x. 【答案】 D 2．(2014·安徽高考)抛物线 y＝1 4x2 的准线方程是( ) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 【解析】 ∵y＝1 4x2，∴x2＝4y.∴准线方程为 y＝－1. 【答案】 A 3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x 或 x2＝y D．无法确定 【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝2py(p＞0)，将点(2,4)代入可得 p＝4 或 p＝1 2 ，所 以所求抛物线的标准方程为 y2＝8x 或 x2＝y，故选 C. 【答案】 C 4．若抛物线 y2＝ax 的焦点到准线的距离为 4，则此抛物线的焦 点坐标为( ) A．(－2,0) B．(2,0) C．(2,0)或(－2,0) D．(4,0) 【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为|a 2|＝4，解 得 a＝±8.当 a＝8 时，焦点坐标为(2,0)；当 a＝－8 时，焦点坐标为(－ 2,0)．故选 C. 【答案】 C 5．若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆x2 6 ＋y2 2 ＝1 的右焦点重合，则 p 的值为( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p 2 ＝2，即 p＝4. 【答案】 D 二、填空题 6．已知圆 x2＋y2－6x－7＝0 与抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线相切， 则 p＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为 (3,0)，半径为 4，抛物线的准线为 x＝－p 2 ，由题意知 3＋p 2 ＝4，∴p ＝2. 【答案】 2 7．动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x＋2＝0 的距离相等， 则 P 的轨迹方程是________． 【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点 F(2,0)为焦点，直线 x＋2 ＝0 为准线的抛物线，所以 p＝4，故抛物线的方程为 y2＝8x. 【答案】 y2＝8x 8．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点 到焦点的距离等于 6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标 为(2,1)． 其中满足抛物线方程为 y2＝10x 的是________．(要求填写适合条 件的序号 ) 【解析】 抛物线 y2＝10x 的焦点在 x 轴上，②满足，①不满足； 设 M(1，y0)是 y2＝10x 上一点，则|MF|＝1＋p 2 ＝1＋5 2 ＝7 2 ≠6，所以③ 不满足；由于抛物线 y2＝10x 的焦点为 5 2 ，0 ，过该焦点的直线方程 为 y＝k x－5 2 .若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则 k＝－2， 此时存在，所以④满足． 【答案】 ②④ 三、解答题 9．若抛物线 y2＝－2px(p>0)上有一点 M，其横坐标为－9，它到 焦点的距离为 10，求抛物线方程和点 M 的坐标． 【解】 由抛物线定义，焦点为 F －p 2 ，0 ，则准线为 x＝p 2.由题 意，设 M 到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10， 即p 2 －(－9)＝10.∴p＝2. 故抛物线方程为 y2＝－4x，将 M(－9，y)代入 y2＝－4x，解得 y ＝±6， ∴M(－9,6)或 M(－9，－6)． 10．若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】 【解】 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆 心为 C(2,0)，半径 r＝1. ∵两圆外切，∴|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直线 x＋1＝0 相切． ∴圆心 M 到直线 x＋1＝0 的距离 d＝R. ∴|MC|＝d＋1，即动点 M 到定点 C(2,0)的距离等于它到定直线 x ＋2＝0 的距离． 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＋2＝0 为 准线的抛物线，且p 2 ＝2，p＝4， 故其方程为 y2＝8x. [能力提升] 1．抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－y2 3 ＝1 的渐近线的距离是 ( ) A.1 2 B. 3 2 C．1 D. 3 【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为 3x－y＝0 或 3x＋y＝0， 则 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 d1 ＝ | 3×1－0|  32＋－12 ＝ 3 2 或 d2 ＝ | 3×1＋0|  32＋12 ＝ 3 2 . 【答案】 B 2．已知 P 是抛物线 y2＝4x 上一动点，则点 P 到直线 l：2x－y＋ 3＝0 和到 y 轴的距离之和的最小值是( ) A. 3 B. 5 C．2 D. 5－1 【解析】 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)．设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|－1，所 以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d＋|PF|－1.易知 d＋|PF| 的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d＋|PF|的最小值为 |2＋3| 22＋－12 ＝ 5，所以 d＋|PF|－1 的最小值为 5－1. 【答案】 D 3．如图 2－3－2 所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离 水面 2 m，水面宽 4 m．水位下降 1 m 后，水面宽________m. 图 2－3－2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，则 A(2，－2)，将其坐标代入 x2＝－2py 得 p＝1. ∴x2＝－2y. 当水面下降 1 m，得 D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入 x2＝－2y 得 x20＝6， ∴x0＝ 6. ∴水面宽|CD|＝2 6 m. 【答案】 2 6 4．若长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2＝2x 上移动，M 为 AB 的中点，求 M 点到 y 轴的最短距离． 【导学号：26160057】 【解】 设抛物线焦点为 F，连结 AF，BF，如图，抛物线 y2＝ 2x 的准线为 l：x＝－1 2 ，过 A，B，M 分别作 AA′，BB′，MM′垂 直于 l，垂足分别为 A′，B′，M′. 由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|. 又 M 为 AB 中点，由梯形中位线定理，得 |MM′|＝1 2(|AA′|＋|BB′|)＝1 2(|FA|＋|FB|)≥1 2|AB|＝1 2 ×3＝3 2 ， 则 x≥3 2 －1 2 ＝1(x 为 M 点的横坐标，当且仅当 AB 过抛物线的焦 点时取得等号)，所以 xmin＝1，即 M 点到 y 轴的最短距离为 1.