高中数学（人教版必修2）配套练习 第二章2.3.2 平面与平面垂直的判定 4页

2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、基础过关 1．过两点与一个已知平面垂直的平面 ( ) A．有且只有一个 B．有无数个 C．一个或无数个 D．可能不存在 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是 ( ) A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面经过另一个平面的一条垂线 C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D．平面α内的直线 a 与平面β内的直线 b 是垂直的 3．设有直线 m、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是 ( ) ①若 m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β； ②若 m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β； ③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．设 l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是 ( ) A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 5．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD，且 AP＝AB，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的度数是________． 6．如图所示，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对． 7．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA⊥平面 ABCD，PD∥MA，E、G、 F 分别为 MB、PB、PC 的中点，且 AD＝PD＝2MA.求证：平面 EFG⊥平面 PDC. 8. 如图所示，四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝ 3. (1)证明：平面 PBE⊥平面 PAB； (2)求二面角 A—BE—P 的大小． 二、能力提升 9．在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD＝ 3 2 ， 则二面角 B－AC－D 的余弦值为 ( ) A.1 3 B.1 2 C.2 2 3 D. 3 2 10．在正四面体 P－ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立 的是 ( ) A．BC∥面 PDF B．DF⊥面 PAE C．面 PDF⊥面 ABC D．面 PAE⊥面 ABC 11．如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E、F 分别是 A1B、A1C 的中点， 点 D 在 B1C1 上，A1D⊥B1C. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 12．如图，在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点 D、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DE∥BC. (1)求证：BC⊥平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展 13．如图所示，三棱锥 P—ABC 中，D 是 AC 的中点，PA＝PB＝PC＝ 5，AC＝2 2，AB＝ 2，BC＝ 6. (1)求证：PD⊥平面 ABC； (2)求二面角 P—AB—C 的正切值． 答案 1．C 2.D 3.B 4.B 5．45° 6．5 7．证明 因为 MA⊥平面 ABCD，PD∥MA，所以 PD⊥平面 ABCD. 又 BC⊂平面 ABCD，所以 PD⊥BC. 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 BC⊥DC. 又 PD∩DC＝D，所以 BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中，因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点， 所以 GF∥BC，所以 GF⊥平面 PDC. 又 GF⊂平面 EFG， 所以平面 EFG⊥平面 PDC. 8．(1)证明 如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且∠BCD＝60°知， △BCD 是等边三角形． 因为 E 是 CD 的中点，所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD，所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD， BE⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB＝A， 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE⊂平面 PBE， 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知，BE⊥平面 PAB，PB⊂平面 PAB， 所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE，所以∠PBA 是二面角 A—BE—P 的平面角． 在 Rt△PAB 中，tan∠PBA＝PA AB ＝ 3，则∠PBA＝60°. 故二面角 A—BE—P 的大小是 60°. 9．B 10．C 11．证明 (1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC. 因为 EF⊄平面 ABC，BC⊂平面 ABC. 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1.又 A1D⊂平面 A1B1C1，故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故 A1D⊥平面 BB1C1C，又 A1D⊂平面 A1FD，所以平 面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 12．(1)证明 ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC. 又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面 PAC. (2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC. 又∵AE⊂平面 PAC，PE⊂平面 PAC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE. ∴∠AEP 为二面角 A—DE—P 的平面角． ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AC， ∴∠PAC＝90°. ∴在棱 PC 上存在一点 E， 使得 AE⊥PC.这时∠AEP＝90°， 故存在点 E，使得二面角 A—DE—P 为直二面角． 13．(1)证明 连接 BD， ∵D 是 AC 的中点，PA＝PC＝ 5， ∴PD⊥AC. ∵AC＝2 2，AB＝ 2，BC＝ 6， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∴∠ABC＝90°，即 AB⊥BC. ∴BD＝1 2AC＝ 2＝AD. ∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝ 5， ∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD. ∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面 ABC. (2)解 取 AB 的中点 E，连接 DE、PE，由 E 为 AB 的中点知 DE∥BC， ∵AB⊥BC，∴AB⊥DE. ∵PD⊥平面 ABC，∴PD⊥AB. 又 AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面 PDE，∴PE⊥AB. ∴∠PED 是二面角 P—AB—C 的平面角． 在△PED 中，DE＝1 2BC＝ 6 2 ，PD＝ 3，∠PDE＝90°， ∴tan∠PED＝PD DE ＝ 2. ∴二面角 P—AB—C 的正切值为 2.