山东省昌邑市第一中学人教版高中数学必修二课件：1.1.7柱、锥、台和球 体的体积 38页

1.1.7 柱、锥、台和球体的体积 学习目标 1. 了解祖 暅原理及等体积变换的意义 ． 2 ． 掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们的体积 ． 复习回顾 1. 正方体的体积公式 V 正方体 =a 3 ( 这里 a 为棱长 ) 2. 长方体的体积公式 V 长方体 =abc( 这里 a,b,c 分别为长方体长、宽、高 ) 或 V 长方体 =sh(s,h 分别表示长方体的底面积和高 ) 等底等高的三角形面积相等 等面积法： 取一摞作业本放在桌面上 ( 如图所示 ) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？ 从以上事实中你得到什么启发？ 一 . 祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 . 也就是说，夹在 两个平行平面 间的两个几何体，被平行于这两个平面的 任意平面 所截，如果截得的两个截面的 面积总相等 ，那么这两个几何体的 体积相等 . 祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的 基础和纽带 ，原理中含有三个条件， 条件一是两个几何体夹在 两个平行平面 之间； 条件二是用 平行于两个平行平面 的任何一平面可截得两个平面； 条件三是两个 截面的面积总相等 ，这三个条件缺一不可，否则结论不成立 . 祖冲之（ 公元 429 年─公元 500 年）是我国杰出的 数学家 ，科学家。南北朝时期人，汉族人，字 文远 。生于宋文帝 元嘉 六年，卒于齐昏侯永元二年。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。 祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的“祖暅原理” （或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。 等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？ 体积相等 等高、等截面面积（不受截面形状影响） 二 . 棱柱和圆柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的 底面积 S 和高 h 的积 . 即 V 柱体 = S · h . h h 底面半径是 R ，高为的圆柱体的体积的计算公式是 V 圆柱 =π R 2 h . 将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？ 1 2 3 1 2 3 三 . 棱锥和圆锥的体积 1. 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是 S ，高是 h ，那么它的体积是 V 锥体 = Sh . 2. 如果圆锥的底面半径是 R ，高是 h ，则它的体积是 V 圆锥 = π R 2 h . 四 . 棱台和圆台的体积 1. V 台体 = ；其中 S 、 S ’ 分别为台体上、下底面面积， h 为台体的高 . 2 ． V 圆台 =π( r 2 + Rr + R 2 ) h , 其中 r 、 R 分别为圆台的上、下底面的半径，高为 h . 台体 V 柱体 =sh S=S / S / =0 S S’ S S 数 形 五 . 球的体积 V 球 = ，其中 R 为球的半径 . 实验 : 给出如下几何模型 R R 球的体积证明： 步骤 １．拿出圆锥 和圆柱 ２．将圆锥倒立放入圆柱 结论 : 截面面积相等 R 则两个几何体的体积相等 ３．取出半球和新的几何体做它们的截面 R R R ＝ ５．球的体积计算公式： R S 1 探究 球的表面积： 例 1. 如图所示，在长方体 ABCD － A ’ B ’ C ’ D ’ 中，用截面截下一个棱锥 C － A ’ DD ’ ，求棱锥 C － A ’ DD ’ 的体积与剩余部分的体积之比。 A D C B C / D / B / A / C A / D / D S h 例 1. 如图所示，在长方体 ABCD － A ’ B ’ C ’ D ’ 中，用截面截下一个棱锥 C － A ’ DD ’ ，求棱锥 C － A ’ DD ’ 的体积与剩余部分的体积之比。 解：已知长方体可以看作是直四棱柱 ADD’A’ － BCC ’ B ’ 。 设底面 ADD ’ A ’ 的面积是 S ，高为 h ， 则它的体积为 V = Sh . 因为棱锥 C － A ’ DD ’ 的底面面积是 S ，高是 h ， 所以棱锥 C － A ’ DD ’ 的体积是 V C － A’DD’ = 所以 棱锥 C － A ’ DD ’ 的体积与剩余部分的体积之比是 1 ： 5. 例 2 ．有一堆规格相同的铁制 ( 铁的密度是 7.8g/cm 3 ) 六角螺帽共重 5.8kg ，已知螺帽底面是正六边形，边长为 12mm, 内孔直径为 10mm ，高为 10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（ 取 3.14 ，可用计算器）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差， 因此约有 5.8×10 3 ÷(7.8×2.956) ≈252( 个 ) 答：螺帽的个数约为 252 个 . 练习题： 1 ．设六正棱锥的底面边长为 1 ，侧棱长为 ，那么它的体积为（ ） （ A ） 6 （ B ） （ C ） 2 （ D ） 2 B 2 ．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 ，则它的体积是原来的（ ） （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） B 3 ．直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的体积为 V ，已知点 P 、 Q 分别为 AA 1 、 CC 1 上的点，而且满足 AP = C 1 Q ，则四棱锥 B － APQC 的体积是（ ） （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） B 4 ．把一个大金属球表面涂漆，需油漆 2.4 kg ，若把这个金属球熔化，制成 64 个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆 kg . 9.6 5 ．已知圆锥的母线长为 8 ，底面周长为 6π ，则它的体积是 . 6 ．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是 V ，则这个正方体的体积是 . 7. 若球的大圆面积扩大为原来的 3 倍，则它的 体积扩大为原来的（ ） （ A ） 3 倍 （ B ） 9 倍 （ C ） 27 倍 （ D ） 3 倍 D 8. 圆台的上、下底面半径和高的比为 1 ： 4 ： 4 ，母线长 10 ，则圆台的体积为（ ） （ A ） 672π （ B ） 224π （ C ） 100π （ D ） B 祖暅原理 柱、锥、台的体积 小结 1. 本节主要在学习了柱 , 锥 , 台及球体的体积和球的表面积 . 2. 应用上述结论解决实际问题 . 作业： P32 习题 A6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10