2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3 11页

‎3.1　不等式的基本性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)‎ ‎2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)‎ ‎3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点)‎ 通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．‎ 和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？‎ ‎1．不等式 ‎(1)不等式的定义 用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．‎ ‎(2)关于a≥b和a≤b的含义 ‎①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．‎ ‎②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a‎ ‎<‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎≥‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎2．两个实数的大小比较 ‎(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；‎ ‎(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；‎ ‎(3)如果a－b是负数，那么ab，则bb⇔bb，b>c，则a>c；(传递性)‎ - 11 -‎ 性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)‎ 性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)‎ 若a>b，c<0，则acb，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)‎ 性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)‎ 性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)‎ 提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．‎ ‎(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．‎ ‎(2)要注意每条性质是否具有可逆性．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若ac>bc，则a>b． (　　)‎ ‎(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d． (　　)‎ ‎(3)若a>b，则<． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．已知a1，a2∈，记M＝a‎1a2, N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)‎ A．MN C．M＝N D．不确定 B　[由题意得M－N＝a‎1a2－a1－a2＋1＝>0，故M>N．故选B．]‎ ‎3．若x＞y，且x＋y＝2，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．x2＜y2 B．＜ C．x2＞1 D．y2＜1‎ C　[因为x＞y，且x＋y＝2，所以2x＞x＋y＝2，即x＞1，则x2＞1，故选C．]‎ 利用不等式的性质判断和解不等式 ‎【例1】　(1)对于实数a，b，c，给出下列命题：‎ ‎①若a>b，则ac2>bc2；‎ ‎②若aab>b2；‎ ‎③若a>b，则a2>b2；‎ - 11 -‎ ‎④若a．‎ 其中正确命题的序号是 ．‎ ‎(2)求解关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)，并用不等式的性质说明理由．‎ ‎(1)②④　[对于①∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；‎ 对于②，aab；ab2，∴②正确；‎ 对于③，若0>a>b，则a2－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；‎ 对于④，∵a－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2．‎ 又∵ab>0，∴>0，∴a2·>b2·，∴>，④正确．‎ 所以正确答案的序号是②④．]‎ ‎(2)[解]　不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得 ax>－1　(不等式性质3)，‎ 当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R，‎ 当a>0时，不等式两边同时除以a得 x>－　(不等式性质4)，‎ 当a<0时，不等式两边同时除以a得 x<－　(不等式性质4)．‎ 综上：当a＝0时，不等式的解集为R，当a>0时，不等式的解集为，当a<0时，不等式的解集为．‎ ‎1．利用不等式判断正误的两种方法 ‎①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．‎ ‎②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．‎ ‎2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．‎ ‎1．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ - 11 -‎ A．a2＜b2＜c2 B．ab2＜cb2‎ C．ac＜bc D．ab＜ac C　[∵a＋b＋c＝0且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴ac＜bc，故选C．]‎ ‎2．若关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，2)，则不等式bx－a>0的解集为 ．‎ 　[因为关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，2)，所以a<0，且x＝2是方程ax＋b＝0的实数根，所以‎2a＋b＝0，即b＝－‎2a，由bx－a>0得－2ax－a>0，因为a<0，所以x>－，即不等式bx－a>0的解集为．]‎ 利用不等式的性质比较代数式的大小 ‎[探究问题]‎ ‎1．如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，ab，则a－b>0，反之也成立；‎ 若a＝b，则a－b＝0，反之也成立；‎ 若ab，则>1吗？反之呢？‎ ‎[提示]　若a>b，当b<0时，<1，‎ 即a>b>1；‎ 若>1，则－1>0，即>0，‎ ‎∴a－b>0，b>0或a－b<0，b<0，‎ 即>‎1a>b，反之也不成立．‎ ‎【例2】　已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．‎ ‎[思路点拨]　―→―→ ‎[解]　x3－1－(2x2－2x)‎ ‎＝x3－2x2＋2x－1‎ ‎＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)‎ ‎＝x2(x－1)－(x－1)2‎ ‎＝(x－1)(x2－x＋1)‎ - 11 -‎ ‎＝(x－1)，‎ ‎∵x<1，∴x－1<0，‎ 又∵＋>0，‎ ‎∴(x－1)<0，‎ ‎∴x3－1<2x2－2x．‎ ‎1．(变条件)本例条件“x<‎1”‎变为“x≥‎1”‎，比较x3－1与2x2－2x的大小．‎ ‎[解]　x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，‎ ‎∵x≥1，∴x－1≥0，又＋>0，‎ ‎∴(x－1)≥0，‎ ‎∴x3－1≥2x2－2x．‎ ‎2．(变题)已知：a >0, b >0, 比较＋与的大小．‎ ‎[解]　(作差法)－＝＝，‎ 因为a >0, b >0，所以>0，‎ 所以＋>．‎ ‎(作商法)因为a >0, b >0，所以＋与同为正数，‎ 所以＝，‎ 所以－1＝>0，‎ 即>1，‎ 因为>0，所以＋>．‎ ‎(综合法)因为a >0, b >0，所以a＋b>0，‎ - 11 -‎ 所以(a＋b)＝＋＝2＋＋>1，‎ 所以＋>．‎ ‎1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 ‎(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．‎ ‎(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．‎ ‎2．作商法比较大小的三个步骤 ‎(1)作商变形；‎ ‎(2)与1比较大小；‎ ‎(3)得出结论．‎ 提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．‎ ‎3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A>B>0⇔A·>1．‎ ‎3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－‎4a＋‎3a2，c－b＝4－‎4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b A　[∵c－b＝4－‎4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b．‎ 又b＋c＝6－‎4a＋‎3a2，∴2b＝2＋‎2a2，∴b＝a2＋1，‎ ‎∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，∴b>a，∴c≥b>a．故选A．]‎ ‎4．已知a，b∈R，试比较a2－ab与3ab－4b2的大小．‎ ‎[解]　因为a，b∈R，所以(a2－ab)－(3ab－4b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2，‎ 当a＝2b时，a2－ab＝ 3ab－4b2，‎ 当a≠2b时，a2－ab> 3ab－4b2．‎ 证明不等式 ‎【例3】　(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac b >0, m>0，求证：<．‎ - 11 -‎ ‎[证明]　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc．‎ ‎∴－ac<－bc，∵f b >0, m>0，所以b－a<0，a＋m>0，‎ 所以－＝＝<0，‎ 所以<；‎ ‎(不等式的性质)因为a> b >0, m>0，‎ 所以am> bm, a＋m>0，ab>0，‎ ‎ 所以am＋ab>ab＋bm，即a(b＋m)>b(a＋m)，‎ 所以<．‎ ‎1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的注意事项 ‎(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．‎ ‎(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．‎ ‎2．作差法也可以应用于证明不等式．‎ ‎3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b克的a克糖水中放入m克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．‎ ‎5．若bc－ad≥0，bd>0．求证：≤．‎ ‎[证明]　∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0，‎ ‎∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤．‎ ‎6．已知a>b>m>0，求证：<．‎ ‎[证明]　(作差法)因为a>b>m>0，‎ 所以b－a<0，b－m>0，‎ 所以－＝＝<0，‎ 所以<；‎ ‎(不等式的性质)因为a>b>m>0，所以am>bm，b－m>0，‎ - 11 -‎ 所以－bm>－am，‎ 所以ab－bm>ab－am，即b(a－m)>a(b－m)，‎ 所以<．‎ 不算式性质的应用 ‎【例4】　已知10，∴>，即乙的购买方式更优惠．]‎ ‎5．若a>b>0，c．‎ ‎[证明]　∵c－d>0，‎ 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，‎ 则(a－c)2>(b－d)2>0，即<．‎ 又e<0，∴>．‎ - 11 -‎