人教版高中数学选修4-5练习：第三讲3-3排序不等式word版含解析 6页

第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式 A级 基础巩固 一、选择题 1．设正实数 a1，a2，a3的任一排列为 a1′，a2′，a3′，则 a1 a1′ ＋ a2 a2′ ＋ a3 a3′ 的最小值为( ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：a1≥a2≥a3＞0，则 1 a3 ≥ 1 a2 ≥ 1 a1 ＞0， 由乱序和不小于反序和知， 所以 a1 a1′ ＋ a2 a2′ ＋ a3 a3′ ≥ a1 a1 ＋ a2 a2 ＋ a3 a3 ＝3， 所以 a1 a1′ ＋ a2 a2′ ＋ a3 a3′ 的最小值为 3，故选 A. 答案：A 2．车间里有 5 台机床同时出了故障，从第 1 台到第 5 台的修复 时间依次为 4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产 1 min 损失 5 元，经合理安排损失最少为( ) A．420 元 B．400 元 C．450 元 D．570 元 解析：损失最少为 5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)， 反序和最小． 答案：A 3．设 a，b，c∈R＋ ，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则 M 与 N 的大小关系是( ) A．M≥N B．M＝N C．M＜N D．M＞N 解析：不妨设 a≥b≥c＞0， 则 a4≥b4≥c4， 运用排序不等式有： a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4， 又 a3≥b3≥c3＞0，且 ab≥ac≥bc＞0， 所以 a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab， 即 a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即 M≥N. 答案：A 4．已知 a，b，c≥0，且 a3＋b3＋c3＝3，则 a b＋b c＋c a的最 大值是( ) A．1 B．2 C．3 D. 3 3 解析：设 a≥b≥c≥0，所以 a ≥ b ≥ c. 由排序不等式可得 a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c. 而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即 a a＋b b＋c c≤3. 所以 a b＋b c＋c a≤3. 答案：C 5．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ ab)的正负情况是( ) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 解析：设 a≥b≥c＞0，所以 a3≥b3≥c3， 根据排序原理，得 a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以 a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题 6．设 a1，a2，…，an 为实数，b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的任一排列，则乘积 a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________． 答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1 7．已知 a，b，c 都是正数，则 a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b ≥________． 解析：设 a≥b≥c＞0，所以 1 b＋c ≥ 1 c＋a ≥ 1 a＋b ， 由排序原理，知 a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b ≥ b b＋c ＋ c c＋a ＋ a b＋a ，① a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b ≥ c b＋c ＋ a c＋a ＋ c a＋b ，② ①＋②得 a b＋c ＋ b c＋a ＋ c a＋b ≥ 3 2 . 答案： 3 2 8．设 a，b，c＞0，则 bc a ＋ ca b ＋ ab c ________a＋b＋c. 解析：不妨设 a≥b≥c＞0， 则 1 a ≤ 1 b ≤ 1 c ，bc≤ac≤ab. 由顺序和≥乱序和，得 ab c ＋ ac b ＋ bc a ≥ 1 b ·bc＋1 c ·ac＋1 a ·ab＝c＋a＋b， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 答案：≥ 三、解答题 9．对 a，b，c∈(0，＋∞)，比较 a3＋b3＋c3与 a2b＋b2c＋c2a 的大 小． 解：取两组数 a，b，c 和 a2，b2，c2. 不管 a，b，c 的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和； a2b＋b2c＋c2a 都是乱序和， 故有 a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a. 10．设 a，b，c 大于 0，求证： (1)a3＋b3≥ab(a＋b)； (2) 1 a3＋b3＋abc ＋ 1 b3＋c3＋abc ＋ 1 c3＋a3＋abc ≤ 1 abc . 证明：(1)不妨设 a≥b＞0， 则 a2≥b2＞0. 所以 a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a， 所以 a3＋b3≥ab(a＋b)． (2)由(1)知，同理 b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)． 所以 1 a3＋b3＋abc ＋ 1 b3＋c3＋abc ＋ 1 c3＋a3＋abc ≤ 1 ab（a＋b）＋abc ＋ 1 bc（b＋c）＋abc ＋ 1 ac（a＋c）＋abc ＝ 1 a＋b＋c 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ca ＝ 1 a＋b＋c · c＋a＋b abc ＝ 1 abc . 故原不等式得证． B级 能力提升 1．若 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数 式中值最大的是( ) A．a1b1＋a2b2 B．a1b2＋a2b1 C．a1a2＋b1b2 D.1 2 解析：因为 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2， 且 a1＋a2＝b1＋b2＝1， 所以 a1a2＋b1b2≤ a1＋a2 2 2 ＋ b1＋b2 2 2 ＝ 1 2 . 由 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2及排序不等式知 a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1， 1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＜2(a1b1＋a2b2)， 所以 a1b1＋a2b2＞1 2 . 答案：A 2．若 a＞0，b＞0且 a＋b＝1，则 b2 a ＋ a2 b 的最小值是________． 解析：不妨设 a≥b＞0， 则有 a2≥b2，且 1 b ≥ 1 a . 由排序不等式 b2 a ＋ a2 b ≥ 1 a ·a2＋1 b ·b2＝a＋b＝1， 当且仅当 a＝b＝1 2 时，等号成立． 所以 b2 a ＋ a2 b 的最小值为 1. 答案：1 3．设 a1，a2，…，an是 n 个互不相同的正整数．求证 1＋1 2 ＋ 1 3 ＋… ＋ 1 n ≤a1＋a2 22 ＋ a3 32 ＋…＋ an n2. 证明：设 b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的一个排列，且满足 b1＜b2＜…＜bn， 因为 b1，b2，…，bn是互不相同的正整数， 所以 b1≥1，b2≥2，…，bn≥n， 又因为 1＞ 1 22 ＞ 1 32 ＞…＞ 1 n2， 所以由排序不等式，得 a1＋a2 22 ＋ a3 32 ＋…＋ an n2≥b1＋b2 22 ＋ b3 32 ＋…＋ bn n2 ≥1×1＋2× 1 22 ＋3× 1 32 ＋…＋n· 1 n2＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 n ， 所以原不等式得证．