2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2 10页

2.2.3 直线的一般式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线的一般式方程．(重点) 2.理解关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C ＝0(A，B 不同时为 0)都表示直线．(重点、 难点) 3.会进行直线方程的五种形式之间的转 化．(难点、易混点) 通过学习直线五种形式的方 程相互转化，提升逻辑推理、 直观想象和数学运算的核心 素养. 初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是 Ax＋By＋C＝0，前面我们又 学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，斜截式：y＝kx＋b，两点式 y－y1 y2－y1 ＝ x－x1 x2－x1 和截距式：x a ＋y b ＝1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件 下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时 为零)叫做直线的一般式，下面进入今天的学习． 直线的一般式方程 (1)定义：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不同时为 0)叫 做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当 B≠0 时，则－A B ＝k(斜率)，－C B ＝b(y 轴上的截距)； ②当 B＝0，A≠0 时，则－C A ＝a(x 轴上的截距)，此时不存在斜率． 思考：当 A＝0 或 B＝0 或 C＝0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 分别表示什么样的直 线？ [提示] (1)若 A＝0，则 y＝－C B ，表示与 y 轴垂直的一条直线． (2)若 B＝0，则 x＝－C A ，表示与 x 轴垂直的一条直线． (3)若 C＝0，则 Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线． ( ) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． ( ) (3)关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)一定表示直 线． ( ) [提示] (1)√ (2)√ (3)√ 2．若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则 A，B 应满足的条件为( ) A． A≠0 B． B≠0 C． A·B≠0 D． A2＋B2≠0 D [方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线的条件为 A，B 不能同时为 0，即 A2＋B2≠0. 故选 D. ] 3．已知直线 2x＋ay＋b＝0 在 x 轴、y 轴上的截距分别为－1，2，则 a，b 的 值分别为( ) A．－1,2 B．－2,2 C．2，－2 D．－2，－2 A [y＝0 时，x＝－b 2 ＝－1，解得 b＝2，当 x＝0 时，y＝－b a ＝－2 a ＝2，解得 a＝－1.] 4．直线 3x－ 3y＋1＝0 的倾斜角为________． 60° [把 3x－ 3y＋1＝0 化成斜截式得 y＝ 3x＋ 3 3 ， ∴k＝ 3，倾斜角为 60°.] 5．直线x 2 －y 3 ＝1 的一般式方程是________． 3x－2y－6＝0 [由x 2 －y 3 ＝1 得 3x－2y－6＝0.] 直线的一般式方程与其他形式 的互化 【例 1】 (1)已知直线 l 的一般式方程为 2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成 为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． ①斜率是－1 2 ，经过点 A(8，－2)； ②经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； ③在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3 2 ，－3； ④经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)． [解] (1)由 l 的一般式方程 2x－3y＋6＝0 得斜截式方程为：y＝2 3x＋2. 截距式方程为： x －3 ＋y 2 ＝1. 由此可知，直线的斜率为2 3 ，在 x 轴、y 轴上的截距分别为－3,2. (2)①由点斜式得 y－(－2)＝－1 2(x－8)，即 x＋2y－4＝0. ②由斜截式得 y＝2，即 y－2＝0. ③由截距式得x 3 2 ＋ y －3 ＝1，即 2x－y－3＝0. ④由两点式得 y－－2 －4－－2 ＝x－3 5－3 ，即 x＋y－1＝0. 1．求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条 件． [跟进训练] 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是 3且经过点 A(5,3)； (2)经过 A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1. [解] (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为 y－3＝ 3(x－5)，化为一般式方 程为 3x－y＋3－5 3＝0. (2)由两点式方程可知，所求直线方程为 y－5 －1－5 ＝x－－1 2－－1 ，化为一般式方程为 2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程可得，所求直线方程 x －3 ＋ y －1 ＝1，化为一般式方程为 x＋3y ＋3＝0. 直线的平行与垂直 【例 2】 (1)已知直线 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 l2：mx＋3y－2＝0 平行， 求 m 的值； (2)当 a 为何值时，直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 互相垂直． [思路探究] 利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存在与否． [解] 法一：(1)由 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0， l2：mx＋3y－2＝0 知： ①当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 不平行． ②当 m≠0 时，要使 l1∥l2，需2 m ＝m＋1 3 ≠ 4 －2. 解得 m＝2 或 m＝－3，∴m 的值为 2 或－3. (2)由题意知，直线 l1⊥l2. ①若 1－a＝0，即 a＝1 时，直线 l1：3x－1＝0 与直线 l2：5y＋2＝0 显然垂直． ②若 2a＋3＝0，即 a＝－3 2 时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2：5x－4＝0 不 垂直． ③若 1－a≠0 且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1＝－a＋2 1－a ， k2＝－ a－1 2a＋3 . 当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1， 即 －a＋2 1－a · － a－1 2a＋3 ＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2. 法二：(1)令 2×3＝m(m＋1)， 解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2，∴m 的值为 2 或－3. (2)由题意知直线 l1⊥l2， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得 a＝±1， 将 a＝±1 代入方程，均满足题意． 故当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2. 1．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)． (2)若 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直 线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝0. [跟进训练] 2．已知直线 l1：x＋my＋6＝0，直线 l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.求 m 的值，使 得 l1 和 l2： (1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. [解] (1)由 1×3－m(m－2)＝0 得，m＝－1 或 m＝3. 当 m＝－1 时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0. 两直线显然不重合，即 l1∥l2. 当 m＝3 时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0. 两直线重合．故 l1∥l2 时，m 的值为－1. (2)由 1×(m－2)＋m×3＝0 得 m＝1 2 ，故 l1⊥l2 时 m 的值为1 2. 含参数的直线一般式方程问题 [探究问题] 1．直线 kx－y＋1－3k＝0 是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标． [提示] kx－y＋1－3k＝0 可化为 y－1＝k(x－3)，由点斜式方程可知该直线过 定点(3,1)． 2．若直线 y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b 应满足什么条件？ [提示] 若直线 y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，则应满足 k>0 且 b≥0. 【例 3】 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线 l 不经过第二象限，求 a 的取值范围． [思路探究] (1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第 一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于 0 且与 y 轴的截距不大于 0. [解] (1)证明：法一：将直线 l 的方程整理为 y－3 5 ＝a x－1 5 ， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A 1 5 ，3 5 ，而点 A 1 5 ，3 5 在第一象限内，故不 论 a 为何值，l 恒过第一象限． 法二：直线 l 的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的 a 总成立， 必有 5x－1＝0， 5y－3＝0， 即 x＝1 5 ， y＝3 5. 即 l 过定点 A 1 5 ，3 5 . 以下同法一． (2)直线 OA 的斜率为 k＝ 3 5 －0 1 5 －0 ＝3. 如图所示，要使 l 不经过第二象限，需斜率 a≥kOA＝3，∴a≥3. 1．本例中若直线在 y 轴的截距为 2，求字母 a 的值，这时直线的一般式方程 是什么？ [解] 把方程 5ax－5y－a＋3＝0 化成斜截式方程为 y＝ax＋3－a 5 . 由条件可知3－a 5 ＝2 解得 a＝－7， 这时直线方程的一般式为：7x＋y－2＝0. 2．本例中，a 为何值时，已知直线与 2x－y＋3＝0 平行？垂直？ [解] 若两直线平行时，则5a 2 ＝－5 －1 ≠－a＋3 3 解得 a＝2， 若两直线垂直时，则 5a×2＋(－5)×(－1)＝0， 解得 a＝－1 2 ， 故 a＝2 时，两直线平行；a＝－1 2 时两直线垂直． 3．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则 a 的取值范围又是什么？ [解] (1)当 a－1＝0，即 a＝1 时，直线为 x＝3，该直线不经过第二象限，满 足要求． (2)当 a－1≠0，即 a≠1 时，直线化为斜截式方程为 y＝ 1 a－1x－a＋2 a－1 ，因为直 线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在 y 轴的截距小于等于零，即 1 a－1 ≥0， a＋2 a－1 ≥0， 解得 a＞1 a≤－2 或 a＞1 ，所以 a>1. 综上可知 a≥1. 直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把 x, y 看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都 成立，故需系数为零，解方程组可得 x, y 的值，即为直线过的定点． 1．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 Ax＋By＋C＝0 (A，B 不同时为 0) y＝－A Bx－C B(B≠0) x －C A ＋ y －C B ＝1(A、B、C≠0) 2.两个重要结论 结论 1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为零)来表示． 结论 2：任何关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为零)都可 以表示平面直角坐标系中的一条直线． 3．根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法 一般地，设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2⇔ A1B2－A2B1＝0 A1C2－A2C1≠0 或 B1C2－B2C1≠0 (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 1．如果 ax＋by＋c＝0 表示的直线是 y 轴，则系数 a，b，c 满足条件( ) A．bc＝0 B．a≠0 C．bc＝0 且 a≠0 D．a≠0 且 b＝c＝0 D [y 轴方程表示为 x＝0，所以 a，b，c 满足条件为 b＝c＝0，a≠0.] 2．直线 x－y－1＝0 与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A．1 4 B．2 C．1 D．1 2 D [由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为1 2.] 3．斜率为 2，且经过点 P(1,3)的直线的一般式方程为________． 2x－y＋1＝0 [由点斜式的 y－3＝2(x－1)，整理得 2x－y＋1＝0] 4．直线 x－3y＋4＝0 与直线 mx＋4y－1＝0 互相垂直，则实数 m 的值为 ________． 12 [因为两条直线垂直，∴1×m－3×4＝0，解得 m＝12.] 5．已知直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0，求直线 l′的一般式方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直． [解] 法一：(1)由题设 l 的方程可化为 y＝－3 4x＋3， ∴l 的斜率为－3 4. 由 l′与 l 平行，∴l′的斜率为－3 4. 又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为 y－3＝－3 4(x＋1)，即 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，∴l′的斜率为4 3 ， 又∵l′过(－1,3)，由点斜式可得方程为 y－3＝4 3(x＋1)， 即 4x－3y＋13＝0. 法二：(1)由 l′与 l 平行，可设 l′方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得 m＝－9. ∴所求直线方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设其方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线方程为 4x－3y＋13＝0.