2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7 7页

第2课时　三角函数的诱导公式(五～六)‎ 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)‎ ‎2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．‎ 利用诱导公式一～四，将任意范围内的角的三角函数值转化到[0,2π)后，又如何将角间的角转化到呢？‎ ‎1．诱导公式五 终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：‎ sin＝cos α；‎ cos＝sin α．‎ 思考1：角与角的三角函数值有什么关系？‎ ‎[提示]　sin ＝cos ＝，cos ＝sin ＝．‎ 思考2：角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？‎ ‎[提示]　关于直线y＝x对称．‎ ‎2．诱导公式六 ＋α型诱导公式(公式六)：‎ sin＝cos α；‎ cos＝－sin α．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ - 7 -‎ ‎(1)诱导公式中角α是任意角． (　　)‎ ‎(2)sin(90°＋α)＝－cos α． (　　)‎ ‎(3)cos＝－sin α． (　　)‎ ‎[提示]　(1)如tan(π＋α)＝tan α中，α＝不成立．‎ ‎(2)sin(90°＋α)＝cos α．‎ ‎(3)cos＝cos＝cos＝－sin α．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．(1)若sin α＝，则cos＝　　　　；‎ ‎(2)若cos α＝，则sin＝　　　　．‎ ‎(1)　(2)　[(1)cos＝sin α＝．‎ ‎(2)sin＝cos α＝．]‎ 给值求值 ‎【例1】　(1)已知sin＝，则cos的值是　　　　．‎ ‎(2)已知sin＝，则cos的值是　　　　．‎ ‎(3)已知sin(π＋A)＝－，则cos的值是　　　　．‎ ‎[思路点拨]　从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值．‎ ‎(1)　(2)－　(3)－　[(1)∵＋＝，‎ ‎∴＋α＝－，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝sin＝．‎ - 7 -‎ ‎(2)∵sin＝，∴sin＝－．‎ 又∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos＝sin＝－．‎ ‎(3)sin(π＋A)＝－sin A＝－，‎ cos＝cos ‎＝－cos＝－sin A＝－．]‎ ‎1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．‎ ‎2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．‎ ‎1．已知cos＝，求sin的值．‎ ‎[解]　∵α＋＝＋，‎ ‎∴sin＝sin ‎＝cos ‎＝．‎ 利用诱导公式化简求值 ‎【例2】　已知f(α)＝．‎ ‎(1)化简f(α)；‎ ‎(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值；‎ - 7 -‎ ‎(3)若α＝－，求f(α)的值．‎ ‎[思路点拨]　利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)．‎ ‎[解]　(1)f(α)＝＝－cos α．‎ ‎(2)∵cos＝－sin α，∴sin α＝－，‎ 又α是第三象限的角，‎ ‎∴cos α＝－＝－，‎ ‎∴f(α)＝．‎ ‎(3)f＝－cos ‎＝－cos ‎＝－cos＝－cos ＝－．‎ 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.‎ (2)对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.‎ ‎2．已知cos＝，求＋的值．‎ ‎[解]　原式＝＋＝－sin α－sin α ‎＝－2sin α．‎ 又cos＝，所以－sin α＝．‎ 所以原式＝－2sin α＝．‎ - 7 -‎ 诱导公式在三角形中的应用 ‎【例3】　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．‎ ‎[思路点拨]　 ‎ ‎[解]　∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴A＋B－C＝π－‎2C，A－B＋C＝π－2B．‎ 又∵sin＝sin，‎ ‎∴sin＝sin，‎ ‎∴sin＝sin，‎ ‎∴cos C＝cos B．‎ 又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．‎ ‎2．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos；cos＝sin．‎ ‎3．已知f(α)＝．‎ ‎(1)化简f(α)；‎ ‎(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．‎ ‎[解]　(1)f(α)＝＝cos α．‎ - 7 -‎ ‎(2)因为f(A)＝cos A＝，‎ 又A为△ABC的内角，‎ 所以由平方关系，得sin A＝＝，‎ 所以tan A＝＝，‎ 所以tan A－sin A＝－＝．‎ ‎1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．‎ ‎2．要掌握诱导公式的三个应用 ‎(1)利用诱导公式解决化简求值问题．‎ ‎(2)利用诱导公式解决条件求值问题．‎ ‎(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．‎ ‎3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 ＋α＝－⇔＋＝；＋α＝－⇔＋＝；－＝等．‎ ‎1．若cos 40°＝a，则sin 50°＝(　　)‎ A．－a　　　B．a　　　C．　　　D．－ B　[∵sin 50°＝cos 40°，∴sin 50°＝a．]‎ ‎2．若cos(π＋α)＝，则sin＝________．‎ ‎－　[∵cos(π＋α)＝－cos α＝，‎ ‎∴cos α＝－，‎ ‎∴sin＝cos α＝－．]‎ ‎3．已知sin α＝，则cos＝________．‎ - 7 -‎ 　[cos＝sin α＝．]‎ ‎4．若sin α＝，求＋的值．‎ ‎[解]　＋‎ ‎＝＋‎ ‎＝＋ ‎＝＋＝．‎ ‎∵sin α＝，‎ ‎∴＝10．‎ 即原式＝10．‎ - 7 -‎