高中数学人教a版选修1-2课时跟踪检测（六）反证法word版含解析 3页

课时跟踪检测(六) 反证法 一、选择题 1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，假设正确的是( ) A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至少有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60° 解析：选 B “至少有一个”即“全部中最少有一个”． 2．用反证法证明“自然数 a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 解析：选 D 自然数 a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数 2 个奇数， 2个偶数 1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的 反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”． 3．用反证法证明命题“如果 a＞b，那么 3 a＞ 3 b”时，假设的内容应是( ) A. 3 a＝ 3 b成立 B. 3 a＜ 3 b成立 C. 3 a＝ 3 b或 3 a＜ 3 b成立 D. 3 a＝ 3 b且 3 a＜ 3 b成立 解析：选 C “大于”的否定为“小于或等于”． 4.“已知：△ABC 中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题 过程中的四个推理步骤： (1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； (2)所以∠B<90°； (3)假设∠B≥90°； (4)那么，由 AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( ) A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1) C．(3)(4)(1)(2) D．(3)(4)(2)(1) 解析：选 C 根据反证法证题的步骤可知选 C. 5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为 an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且 a＞b， 那么两个数列中序号与数值均相同的项有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 解析：选 A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在 n 使得 an＝bn，由题意 a＞b，n ∈N*，则恒有 an＞bn，从而 an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在 n使 an＝bn. 二、填空题 6．△ABC中，若 AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠ CAP，用反证法证明时的假设为________________． 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP 的对立面是∠BAP＝∠CAP或 ∠BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP 7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，故假 设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②. 答案：③①② 8．和两条异面直线 AB，CD都相交的两条直线 AC，BD的位置关系是________． 解析：假设 AC，BD共面，均在平面α内， 即 AC⊂α，BD⊂α，则 A∈α，B∈α，C∈α，D∈α， ∴AB⊂α，CD⊂α，这与 AB，CD异面矛盾， ∴AC，BD异面． 答案：异面 三、解答题 9．已知 x，y>0，且 x＋y>2.求证： 1＋x y ， 1＋y x 中至少有一个小于 2. 证明：假设 1＋x y ， 1＋y x 都不小于 2， 即 1＋x y ≥2，1＋y x ≥2. ∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x， ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2，与已知 x＋y>2矛盾， ∴ 1＋x y ， 1＋y x 中至少有一个小于 2. 10．已知 f(x)＝ax＋x－2 x＋1 (a＞1)，证明方程 f(x)＝0没有负数根． 证明：假设 x0是 f(x)＝0的负数根， 则 x0＜0且 x0≠－1且 ax0＝－ x0－2 x0＋1 ， 由 0＜ax0＜1⇒0＜－ x0－2 x0＋1 ＜1， 解得 1 2 ＜x0＜2，这与 x0＜0矛盾， 所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0没有负数根．