- 329.08 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
- 1 -
2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学(六)(22)
本试题卷共 8 页,23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域
均无效。
5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.在复平面内,复数 1z 和 2z 对应的点分别是 2,1A 和 0,1B ,则 1
2
z
z
( )
A. 1 2i B. 1 2i C.1 2i D.1 2i
2.已知集合 | 1M x x , 2 1xN x ,则 M N ( )
A. | 0 1x x B. | 0x x C. | 1x x D.
3.已知函数 lnf x x ,若 1 1f x ,则实数 x 的取值范围是( )
A. ,e 1 B. 0, C. 1,e 1 D. e 1,
4.若 π 1tan 4 3
,则cos2 等于( )
- 2 -
A. 3
5
B. 1
2
C. 1
3
D. 3
5.已知向量 2, 1 a , 1,A x , 1, 1B ,若 AB a ,则实数 x 的值为( )
A. 5 B. 0 C. 1 D. 5
6.《九章算术》卷 5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一
尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而
一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而
一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为 1
12V (底面圆的周长的平方 高),
则由此可推得圆周率 π 的取值为( )
A. 3 B. 3 .1 C. 3 .1 4 D. 3 .2
7.已知三角形 A B C 中, 2 2AB AC , 3DB AD ,连接 C D 并取线段 C D 的中
点 F ,则 AF CD 的值为( )
A. 5 B. 15
4
C. 5
2
D. 2
8.已知正项数列 na 满足 2 2
1 12 0n n n na a a a ,设 1
2
1
log n
n
ab a
,则数列 nb 的
前 n 项和为( )
A. n B. 1
2
n n C. 1
2
n n D. 1 2
2
n n
9.设不等式组
3 3
2 4
0, 0
x y
x y
x y
所表示的平面区域为 M ,在 M 内任取一点 ,P x y ,
1x y 的概率是( )
A. 1
7
B. 2
7
C. 3
7
D. 4
7
10.如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三
视图,则该四棱锥的外接球的表面积为( )
- 3 -
A. 51π
4 B. 41π
2 C.41π D.31π
11. e 为自然对数的底数,已知函数 1, 18
ln 1, 1
x xf x
x x
,则函数 y f x ax 有
唯一零点的充要条件是( )
A. 1a 或 2
1
ea 或 9
8a B. 1a 或 2
1 1
8 ea
C. 1a 或 2
1 9
e 8a D. 1a 或 9
8a
12.已知抛物线 2: 2 ( 0)E y px p 的焦点为 F , O 为坐标原点,点 ,92
pM
,
, 12
pN
,连结 O M ,O N 分别交抛物线 E 于点 A ,B ,且 A ,B ,F 三点共线,
则 p 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷
本
卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
13.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为___________.
- 4 -
14.如图,在平面直角坐标系 xO y 中,函数 siny x 0 ,
0 π 的图像与 x 轴的交点 A , B ,C 满足 2O A O C O B ,则 ________.
15.函数 2 1x xy x
与 π3sin 12
xy 的图象有 n 个交点,其坐标依次为 1 1,x y ,
2 2,x y ,…, ,n nx y ,则
1
n
i i
i
x y
__________.
16.已知圆C 的圆心在直线 2 4 0x y 上,半径为 5 ,若圆C 上存在点 M ,它到
定点 0, 4A 的距离与到原点O 的距离之比为 5 ,则圆心C 的纵坐标的取值范围是
__________.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在 ABC△ 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,已知
cos cos cos 3sin cosC A B A B .
(1)求cos B 的值;
(2)若 1a c ,求 b 的取值范围.
- 5 -
18.某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站
的数量实施分段优惠政策,不超过30站的地铁票价如下表:
乘坐站数 x 0 10x 1 0 2 0x 2 0 3 0x
票价(元) 3 6 9
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过30
站.甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为 1
4
, 1
3
;甲、乙乘坐超过 20 站的概率分别
为 1
2
, 1
3
.
(1)求甲、乙两人付费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望.
19.如图,在三棱锥 P A B C D 中,平面 A B C 平面 A P C ,
2AB BC AP PC , 90A B C .
(1)求直线 P A 与平面 P B C 所成角的正弦值;
(2)若动点 M 在底面 ABC△ 边界及内部,二面角 M P A C 的余弦值为 3 11
11
,求
B M 的最小值.
20.给定椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
,称圆 2 2 2 2
1 :C x y a b 为椭圆C 的“伴随
圆”.已知点 2,1A 是椭圆 2 2: 4G x y m 上的点
(1)若过点 0, 10P 的直线l 与椭圆G有且只有一个公共点,求l 被椭圆G的伴随
圆 1G所截得的弦长:
- 6 -
(2)B ,C 是椭圆G上的两点,设 1k , 2k 是直线 AB ,AC 的斜率,且满足 1 24 1k k ,
试问:直线 BC 是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明
理由.
21.已知函数 ln 1af x x x a ax
R .
(1)求函数 f x 的单调区间;
(2)若存在 1x ,使 1 xf x x x
成立,求整数a 的最小值.
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. [选修 4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xO y 中,已知曲线 1 : 1C x y 与曲线 2
2 2cos: 2sin
xC y
( 为参
数, 0,2π ).以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线 1C , 2C 的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,已知点 A 是射线 : 0l 与 1C 的公共点,点 B 是 l 与 2C 的
公共点,当 在区间 π0, 2
上变化时,求 OB
OA
的最大值.
23.选修 4-5:不等式选讲
已知 0a , 0b , 0c ,函数 f x c a x x b .
(1)当 1a b c 时,求不等式 3f x 的解集;
(2)当 f x 的最小值为3 时,求 a b c 的值,并求 1 1 1
a b c
的最小值.
- 7 -
2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学(六)答案(22)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.A
7.B 8.C 9.A 10.C 11.A 12.C
第Ⅱ卷
本
卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
13.48 14. 3
4
15.4 16. 13, 5
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【答案】(1) 1cos 2B ;(2) 1 12 b .
【解析】(1)由已知得 cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B ,
即有sin sin 3sin cos 0A B A B ,·······3 分
因为sin 0A ,∴sin 3 cos 0B B .又cos 0B ,∴ tan 3B .
又0 πB ,∴ π
3B ,∴ 1cos 2B ,·······6 分
(2)由余弦定理,有 2 2 2 2 cosb a c ac B .
因为 1a c , 1cos 2B ,·······9 分
- 8 -
有
2
2 1 13 2 4b a
,又0 1a ,于是有 21 14 b ,即有 1 12 b .·······12 分
18.【答案】(1) 1
3
;(2) 51
4E X .
【解析】(1)由题意知甲乘坐超过10站且不超过 20 站的概率为 1 1 11 4 2 4
,
乙乘坐超过10站且不超过 20 站的概率为 1 1 11 3 3 3
,
设“甲、乙两人付费相同”为事件 A ,
则 1 1 1 1
4 3 4 3P A 1 1 1
2 3 3
,
所以甲、乙两人付费相同的概率是 1
3
.·······5 分
(2)由题意可知 X 的所有可能取值为: 6 , 9 ,12 ,15,18.·······6 分
1 1 16 4 3 12P X ,·······7 分
1 19 4 3P X 1 1 1
4 3 6
,·······8 分
1 1 112 4 3 2P X 1 1 1 1
3 4 3 3
,·······9 分
1 1 112 4 3 2P X 1 1
3 4
,·······10 分
1 1 118 2 3 6P X .·······11 分
因此 X 的分布列如下:
X 6 9 12 15 18
P 1
12
1
6
1
3
1
4
1
6
所以 X 的数学期望 1 1 1 1 1 516 9 12 15 1812 6 3 4 6 4E X .·······12 分
19.【答案】(1) 6
3
;(2) 10
5
.
【解析】(1)取 AC 中点O, AB BC , AP PC , OB OC ,OP OC .
平面 ABC 平面 APC ,平面 ABC 平面 APC AC , OB 平面 PAC ,
OB OP .
以O为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为 x 、 y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标
- 9 -
系,
2AB BC PA , 1OB OC OP ,
0,0,0O , 0, 1,0A , 1,0,0B , 0,1,0C , 0,0,1P ,
∴ 1,1,0BC , 1,0, 1PB , 0,1,1AP ,·······2 分
设平面 PBC 的法向量 , ,x y zm ,由 0BC m , 0PB m 得方程组 0
0
x y
x z
,
取 1,1,1m ,·······4 分
∴ os 3, 6c AP m .·······5 分
∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6
3
.·······6 分
(2)由题意平面 PAC 的法向量 1,0,0n ,
设平面 PAM 的法向量为 0 0 0, ,x y zk , , ,0M m n ,
∵ 0,1,1AP , , 1,0AM m n , 0AP k , 0AM k ,
∴
0 0
0 0
0
1 0
y z
mx n y
,取 1, 1,1n
m
k ,·······9 分
∴ 3 11cos , 11
n k .∴
21 9n
m
,∴ 1 3n m 或 1 3n m (舍去).
∴ B 点到 AM 的最小值为垂直距离 10
5d .·······12 分
- 10 -
20.【答案】(1) 2 5 ;(2)过原点.
【解析】(1)因为点 2,1A 是椭圆 2 2: 4G x y m 上的点.
2 22 4 1 m , 8m 即椭圆 2 2
: 18 2
x yG ,·······2 分
2 8a , 2 2b ,伴随圆 2 2
1 : 10G x y ,
当直线 l 的斜率不存在时:显然不满足l 与椭圆G有且只有一个公共点,·······3 分
当直接 l 的斜率存在时:将直线 : 10l y kx 与椭圆 2 2: 4 8G x y 联立,
得 2 21 4 8 10 32 0k x kx ,
由直线 l 与椭圆G有且只有一个公共点得 2 28 10 4 1 4 32 0k k ,
解得 1k ,由对称性取直线 : 10l y x 即 : 10 0l x y ,
圆心到直线 l 的距离为 0 0 10
5
1 1
d
,
直线 l 被椭圆G的伴随圆 1G所截得的弦长 2 10 5 2 5 ,·······6 分
(2)设直线 AB , AC 的方程分别为 11 2y k x , 21 2y k x ,
设点 1 1,B x y , 2 2,C x y ,
联立 2 2: 4 8G x y 得 2 2 2 2
1 1 1 1 11 4 16 8 16 16 4 0k x k k x k k ,
则
2
1 1
1 2
1
16 16 42 1 4
k kx k
得
2
1 1
1 2
1
8 8 2
1 4
k kx k
同理
2
2 2
2 2
2
8 8 2
1 4
k kx k
,·······8 分
斜率 2
1 11 1 1
2
1 1 1 1
2 1 4 4 1
8 8 2OB
k xy k kk x x k k
,·······9 分
同理
2
2 2
2
2 2
4 4 1
8 8 2OC
k kk k k
,因为 1 24 1k k ,·······10 分
所以
2
2
1 1 1 1
2 2
1 1
1 1
1 14 4 14 4 1 4 4
2 8 81 18 8 24 4
OC OB
k k k kk kk k
k k
,
B ,O,C 三点共线,即直线 BC 过定点 0,0O .·······12 分
- 11 -
21.【答案】(1)答案见解析;(2)5.
【解析】(1)由题意可知, 0x ,
2
2 2
1 1a x x af x x x x
,·······1 分
方程 2 0x x a 对应的 1 4a ,
当 1 4 0a ,即 1
4a 时,当 0,x 时, 0f x ,
∴ f x 在 0, 上单调递减;·······2 分
当 10 4a 时,方程 2 0x x a 的两根为1 1 4
2
a ,
且 1 1 4 1 1 40 2 2
a a ,
此时, f x 在 1 1 4 1 1 4,2 2
a a
上 0f x ,函数 f x 单调递增,
在 1 1 40, 2
a
, 1 1 4 ,2
a
上 0f x ,函数 f x 单调递减;·······4 分
当 0a 时,1 1 4 02
a ,1 1 4 02
a ,
此时当 1 1 40, 2
ax
, 0f x , f x 单调递增,
当 1 1 4 ,2
ax
时, 0f x , f x 单调递减;
综上:当 0a 时, 1 1 40, 2
ax
, f x 单调递增,
当 1 1 4 ,2
ax
时, f x 单调递减;
当 10 4a 时, f x 在 1 1 4 1 1 4,2 2
a a
上单调递增,
在 1 1 40, 2
a
, 1 1 4 ,2
a
上单调递减;
- 12 -
当 1
4a 时, f x 在 0, 上单调递减;·······6 分
(2)原式等价于 1 ln 2 1x a x x x ,
即存在 1x ,使
ln 2 1
1
x x xa x
成立.
设
ln 2 1
1
x x xg x x
, 1x ,则 2
ln 2
1
x xg x
x
,·······7 分
设 ln 2h x x x ,
则 1 11 0xh x x x
,∴ h x 在 1, 上单调递增.
又 3 3 ln3 2 1 ln3 0h , 4 4 ln4 2 2 2ln2 0h ,
根据零点存在性定理,可知 h x 在 1, 上有唯一零点,设该零点为 0x ,·······9
分
则 0 3,4x ,且 0 0 0ln 2 0h x x x ,即 0 02 lnx x ,
∴ 0 0 0
0min
0
ln 2 1 11
x x xg x xx
,
由题意可知 0 1a x ,又 0 3,4x , a Z ,∴a 的最小值为 5.······12 分
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.【答案】(1) π 2sin 4 2
, 4cos ;(2) 2 2 2 .
【解析】(1)曲线 1C的极坐标方程为 cos sin 1 ,即 π 2sin 4 2
.
曲线 2C 的普通方程为 2 22 4x y ,即 2 2 4 0x y x ,所以曲线 2C 的极坐标方
程为 4cos .·······5 分
(2)由(1)知 1
cos sinAOA
, 4cosBOB ,
- 13 -
π4cos cos sin 2 1 cos2 sin 2 2 2 2 sin 2 4
OB
OA
,
由 π0 2
知 π π 5π2 +4 4 4
,当 π π2 4 2
,
即 π
8
时, OB
OA
有最大值2 2 2 .·······10 分
23.【答案】(1) | 1x x 或 1x ;(2)3.
【解析】(1) 1 1 1f x x x ,
1
1 2 3
x
x
或 1 1
3 3
x
或 1
2 1 3
x
x
,解得{ | 1x x 或 1}x .·······5 分
(2) 3f x c a x x b a x x b c a b c a b c ,
1 1 1 1 1 1 1 1 33 3
b a c a c ba b ca b c a b c a b a c b c
1 3 2 2 2 33
.
当且仅当 1a b c 时取得最小值3 .·······10 分
相关文档
- 上海市进才中学2020届高三下学期数2021-06-165页
- 高考卷 精品解析:18届 全国普通高等2021-06-165页
- 高中数学(人教版必修5)配套练习:1-1正2021-06-166页
- 山东省滨州市2020届高三数学二模试2021-06-1630页
- 【数学】2020届江苏一轮复习通用版2021-06-165页
- 湖北省黄冈市浠水县实验高级中学202021-06-1622页
- 【数学】2021届一轮复习人教版(文理2021-06-166页
- 四川省遂宁市射洪中学2020届高三下2021-06-1611页
- 【数学】2020届一轮复习(理)通用版考2021-06-1617页
- 人教版高中数学选修4-5练习:第三讲32021-06-166页