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- 2021-06-16 发布
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高二下学期期末联考数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.已知全集U R ,集合 2{ | 10 9}A x y x x ,集合 3{ | log , },B y y x x A 则 ( )UA C B =
( )
A. 1,2 B. 1,3 C. (2,9] D. (3,9]
2.设i 为虚数单位,若复数1
2
ai
i
为纯虚数,则实数 a 的值为( )
A. 1
2
B. 2 C. 1
2
D. 2
3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. 9
2
B.5 C.11
2
D. 6
4.设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,已知首项 1a 1
3
,且对任意正整数 ,m n
都有 m n m na a a ,若 nS k 恒成立,则实数 k 的最小值为( )
A. 1
3
B. 1
2
C. 3
2
D. 3
5.已知 ABC 为锐角三角形,若角 终边上一点 P 的坐标为(sin cos ,cos sinA B A C ),则 ( )f =
sin( ) cos( )2 2
| cos | | sin |
的值为 ( )
A. 2 B. 0 C. 2 D.与 的大小有关
6. 给出下列四个命题:
①已知函数 ( ) 2 2 ,x xf x 则 ( 2)y f x 的图像关于直线 2x 对称;
②平面内的动点 P 到点 ( 2,3)F 和到直线 : 2 1 0l x y 的距离相等,则点 P 的轨迹是抛物线;
③若向量 ,a b
满足 0,a b 则 a
与b
的夹角为钝角;
○4 存在 0 (1,2),x 使得 02
0 0 0( 3 2) 3 4 0xx x e x 成立,其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.已知点 P 是曲线
2
2: 14
xC y 上的任意一点,直线 : 2l x 与双曲线C 的渐近线交于 ,A B 两点,
若 ,( , ,OP OA OB R
O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )
A. 2 2 1
2
B. 2 2 2 C. 2 2 1
2
D. 2 2 2
8. 若平面直角坐标系中两点 P 与Q 满足:○1 P 、Q 分别在函数 ( ), ( )f x g x 的图像上;○2 P 与Q 关于点
2
1
3
俯视图
1
1
主视图 左视图
(1,1)对称,则称点对( ,P Q )是一个“相望点对”(规定:( ,P Q )与( ,Q P )是同一个“相望点
对”),函数 2
1
xy x
与 2sin 1( 2 4)y x x 的图像中“相望点对”的个数是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
9. 已知函数
2 3 4 99 2 3 4 99
( ) 1 , ( ) 12 3 4 99 2 3 4 99
x x x x x x x xf x x g x x ,
设 F x ( 1) ( 1)f x g x 且函数 ( )F x 的零点在区间[ , 1]a a 或[ , 1]( , , )b b a b a b Z 内,则
a b 的值为( )
A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
10. 在 函 数 cos ( [ , ])2 2y x x 的 图 像 与 x 轴 所 围 成 的 图 形 中 , 直 线
: ( , )2 2l x t t
从点 A 向右平行移动至 B ,l 在移动过程中扫过平面图
形(图中阴影部分)的面积为 S ,则 S 关于t 的函数 ( )S f t 的图像可表示为
( )
x
2
A
x t
B
y
2
第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
11.“求方程 5 12( ) ( ) 113 13
x x 的解”有如下解题思路:设 5 12( ) ( ) ( )13 13
x xf x ,因为 ( )f x 在 R 上单调
递减,且 (2) 1,f 所以原方程有唯一解为 2.x 类比上述解题思路,不
等式 6 3 2(2 3) 3 2x x x x 的解集为 .
12.随机输入整数 [1,12],x 执行如右图所示的程序框图, 则输出的 x 不小
于 39 的概率为 .
13.已知点 P 是面积为 1 的 ABC 内一点(不含边界),若 ,PAB ,PBC
PCA 的面积分别为 , , ,x y z 则 1y z
x y z
的最小值为 .
14. 若数列{ }na 满足: 1 2 3 4 2 1 2n na a a a a a ,
则称数列{ }na 为“正弦数列”,现将1,2,3,4,5 这五个数排成一个“正弦
数列”,所有排列种数记为 a ,则二项式 6( )ax
x
的展开式中含 2x 项的系数为 .
三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,按第一题评阅计分,本题共 5 分.
15.(1)(坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并取相等
的长度单位建立极坐标系,若直线 : cos( ) 24l 与曲线 1
4cos: 4sin 3
xC y
( 为参数)相交
于 ,A B 两点,则线段 AB 长度为_________.
(2)(不等式选做题)若存在实数 x ,使不等式 2| 2 3| | 2 1| 3x x a a 成立,则实数 a 的取值范围为
_________.
四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)
在 ABC 中,三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,满足 2 22 ( )CA CB c a b .
(1)求角C 的大小;
(2)求 2 42 3 cos sin( )2 3
A B 的最大值,并求取得最大值时角 ,A B 的大小.
17.(本小题满分 12 分)
某中学为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防知识竞赛,其中一道题是连线题,要求
将 4 种不同的消防工具与它们的 4 种不同的用途一对一连线,规定:每连对一条得 10 分,连错一条得
-5 分,某参赛者随机用 4 条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.
(1)求该参赛者恰好连对一条的概率;
(2)设 X 为该参赛者此题的得分,求 X 的分布列与数学期望.
开始
结束
输入 x
输出 x
1n
3n 2 1x x
1n n
是否
18.(本小题满分 12 分)
如图所示,在边长为 3 的等边 ABC 中,点 ,D E 分别是边 ,AB AC 上的点,且满足 1 ,2
AD CE
DB EA
现
将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置,使二面角 1A DE B 成直二面角,连结 1 1,A B AC .
(1)求证: 1A D BCED 平面 ;
(2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60 ?
若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分 12 分)
已知数列{ }na 具有性质:○1 1a 为整数;○2 对于任意的正整数 ,n 当 na 为偶数时, 1 ;2
n
n
aa 当 na 为奇数
时, 1
1
2
n
n
aa
.
(1)若 1a 为偶数,且 1 2 3, ,a a a 成等差数列,求 1a 的值;
(2)若 1a 为正整数,求证:当 2 11 log ( )n a n N 时,都有 0na .
20.(本小题满分 13 分)
定 义 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 圆 心 , 以 2 2a b 为 半 径 的 圆 O 为 椭 圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的“准圆”.已知椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
的离心率为 3
3
,直线 : 2 5 0l x y
与椭圆C 的“准圆”相切.
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 设点 P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点,过动点 P 作斜率存在且不为 0 的两条不同的直线 1 2,l l ,
使得 1l , 2l 与椭圆都相切,试判断 1l 与 2l 是否垂直?并说明理由.
21.(本小题满分 14 分)
已知函数 lnf x x , ag x a Rx
,设 ,F x f x g x G x f x g x
(1) 求函数 F x 的单调区间;
(2) 若以函数 ( ) (0,2)y F x x 图像上任一点 0 0,P x y 为切点的切线斜率为 1
2k 恒成立,求实
数 a 的取值范围;
D
B
C
E
A1A
B C
D
E
(3) 当 1a 时 , 对 任 意 的 1 2, 0,2x x , 且 1 2x x , 已 知 存 在 0 1 2,x x x 使 得
2 1/
0
2 1
G x G xG x x x
,求证: 0 1 2x x x
参考答案
1-5 CDBBC 6-10 CACBD
3 2sin 3A
(9 分)
20 ,3 3 3 3A A
当
3 2A 即
6A 时, 2 42 3 cos sin( )2 3
A B 的最大值为 2 3 ,此时
6B
2 42 3 cos sin( )2 3
A B 的最大值为 2 3 ,取得最大值时,
6A B (12 分)
17、解:(1)
1
4
4
4
2 4 2 1
24 3
CP A
(4 分)
X 的分布列为
X 20 5 10 20
P 3
8
1
3
1
4
1
24
(10 分)
3 1 1 1 3520 5 10 208 3 4 24 6EX (12 分)
18、解:(1)等边三角形 ABC 的边长为 3,且 AD 1=DB 2
CE
EA
, 1, 2AD AE
在 ADE 中, 60DAE ,由余弦定理得 3DE , 2 2 2AD DE AE
AD DE ,折叠后有 1A D DE (3 分)
二面角 1A DE B 为直二面角,平面 1A DE 平面 BCED
又平面 1A DE 平面 BCED DE , 1A D 平面 1A DE , 1A D DE
1A D 平面 BCED (5 分)
(2)假设在线段 BC 上存在点 P ,使得直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60 由(1)证明,
可知 DE DB , 1A D BCED 平面 ,以 D 为坐标原 点,以射线 1, ,DB DE DA 分别为 x 轴, y 轴, z
轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D xyz ,如图过点 P 作 PH BD ,垂足为 H ,连接 1 ,A H PH
设 2 0 2 3PB a a ,则 , 3 , 2BH a PH a DH a
1 0,0,1 , 2 , 3 ,0 , 0, 3,0A P a a E (7 分)
1 2, 3 ,1PA a a
1ED A BD 平面 , 1A BD平面 的一个法向量为 0, 3,0DE (9 分)
1PA 与 1A BD平面 所成的角为 60
1
2
1
3 3sin 60 24 4 5 3
PA DE a
PA DE a a
,解得 5
4a (11 分)
52 2PB a ,满足 0 2 3a ,符合题意
在线段 BC 上存在点 P ,使得直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60 ,此时 5
2PB (12 分)
19、解:(1)设 1 22 ,a k a k , 1 2 3, ,a a a 成等差数列, 3 32 2 , 0k a k a (2 分)
○1 当 k 为偶数时, 2
3 0, 0,2 2
a ka k 此时 1 0a (4 分)
x
P
B
C
E
D
A1
y
z
H
○1 当 k 为奇数时, 2
3
1 1 0, 1,2 2
a ka k 此时 1 2a
综合上述,可得 1a 的值为 2 或 0 (6 分)
(2) 2 11 logn a , 2 11 logn a , 1
1 2na (7 分)
又由定义可知, 1
2
1
2
n
n
n
n
n
a a
a a a
为偶数
为奇数
1 2
n
n
aa , 1 1
2
n
n
a
a
(9 分)
11 2
1 11 1
1 2 1
1 1 2 12 2
nn n
n n n
n n
a a aa a aa a a
, 0n na N a
综上可知,当 2 11 log ( )n a n N 时,都有 0na (12 分)
(2)由(1)知椭圆 C 的“准圆”方程为 2 2 5x y
设点 0 0,P x y ,则 2 2
0 0 5x y (7 分)
设经过点 0 0,P x y 与椭圆C 相切的直线为 0 0y k x x y
联立
0 0
2 2
13 2
y k x x y
x y
消去 y ,得 22 2
0 0 0 02 3 6 3 6 0k x k kx y x kx y
由 0 ,化简得 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k x y k x (10 分)
设直线 1 2,l l 的斜率分别为 1 2,k k .
直线 1l , 2l 与椭圆C 相切
1 2,k k 满足方程 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k x y k x
1 2 1k k ,故直线 1l 与 2l 垂直 (13 分)
21、解:(1)由题意可知 ( ) ln 0aF x f x g x x xx
'
2 2
1 a x aF x x x x
(1 分)
○1 当 0a 时, ' 0F x 在 0, 上恒成立 F x 的增区间为 0,
○2 当 0a 时,令 ' 0F x 得 x a ;令 ' 0F x 得 0 x a
F x 的增区间为 , ,a 减区间为 0,a
综合上述可得:当 0a ,增区间为 0, ;
当 0a 时,增区间为 , ,a 减区间为 0,a (4 分)
' 0h x h x 在 0,2 上是减函数,即 'G x 在 0,2 上是减函数
要证 0 1 2x x x ,只需证 ' '
0 1 2G x G x x ,即证 ' '
0 1 2 0G x G x x
对任意 1 2, 0,2x x ,存在 0 1 2,x x x 使得 2 1'
2 1
G x G xG x x x
2 1
1 2' ' 2 1
0 1 2
2 1 1 2
ln ln
1 ln
x x
x xx xG x G x x x x x x
2 2 22
1 2 2 1
1 1 11
1 2 2 1 2
1 2
1
11 1 ln 1ln 22
1
x x xxx x x x x x xx
x x x x xx x x
1 20 2x x 2
1 2
1
0, 1xx x x
2
1
1 0x
x
只需要证 2 2 2
1 1 1
1 1 ln 1 02
x x x
x x x
,即要证:
2
12
21
1
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
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