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  • 2021-06-16 发布

高二数学下学期期末联考试题理新人教A版

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高二下学期期末联考数学(理)试题 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集U R ,集合 2{ | 10 9}A x y x x     ,集合 3{ | log , },B y y x x A   则 ( )UA C B = ( ) A. 1,2 B. 1,3 C. (2,9] D. (3,9] 2.设i 为虚数单位,若复数1 2 ai i   为纯虚数,则实数 a 的值为( ) A. 1 2  B. 2 C. 1 2 D. 2 3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 9 2 B.5 C.11 2 D. 6 4.设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,已知首项 1a  1 3 ,且对任意正整数 ,m n 都有 m n m na a a   ,若 nS k 恒成立,则实数 k 的最小值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 5.已知 ABC 为锐角三角形,若角 终边上一点 P 的坐标为(sin cos ,cos sinA B A C  ),则 ( )f  = sin( ) cos( )2 2 | cos | | sin |         的值为 ( ) A. 2 B. 0 C. 2 D.与 的大小有关 6. 给出下列四个命题: ①已知函数 ( ) 2 2 ,x xf x   则 ( 2)y f x  的图像关于直线 2x  对称; ②平面内的动点 P 到点 ( 2,3)F  和到直线 : 2 1 0l x y   的距离相等,则点 P 的轨迹是抛物线; ③若向量 ,a b   满足 0,a b   则 a  与b  的夹角为钝角; ○4 存在 0 (1,2),x  使得 02 0 0 0( 3 2) 3 4 0xx x e x     成立,其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知点 P 是曲线 2 2: 14 xC y  上的任意一点,直线 : 2l x  与双曲线C 的渐近线交于 ,A B 两点, 若 ,( , ,OP OA OB R        O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( ) A. 2 2 1 2    B. 2 2 2   C. 2 2 1 2    D. 2 2 2   8. 若平面直角坐标系中两点 P 与Q 满足:○1 P 、Q 分别在函数 ( ), ( )f x g x 的图像上;○2 P 与Q 关于点 2 1 3 俯视图 1 1 主视图 左视图 (1,1)对称,则称点对( ,P Q )是一个“相望点对”(规定:( ,P Q )与( ,Q P )是同一个“相望点 对”),函数 2 1 xy x   与 2sin 1( 2 4)y x x     的图像中“相望点对”的个数是( ) A.8 B.6 C.4 D.2 9. 已知函数 2 3 4 99 2 3 4 99 ( ) 1 , ( ) 12 3 4 99 2 3 4 99 x x x x x x x xf x x g x x               , 设  F x  ( 1) ( 1)f x g x   且函数 ( )F x 的零点在区间[ , 1]a a  或[ , 1]( , , )b b a b a b Z   内,则 a b 的值为( ) A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 10. 在 函 数 cos ( [ , ])2 2y x x     的 图 像 与 x 轴 所 围 成 的 图 形 中 , 直 线 : ( , )2 2l x t t        从点 A 向右平行移动至 B ,l 在移动过程中扫过平面图 形(图中阴影部分)的面积为 S ,则 S 关于t 的函数 ( )S f t 的图像可表示为 ( ) x 2  A x t B y 2  第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.“求方程 5 12( ) ( ) 113 13 x x  的解”有如下解题思路:设 5 12( ) ( ) ( )13 13 x xf x   ,因为 ( )f x 在 R 上单调 递减,且 (2) 1,f  所以原方程有唯一解为 2.x  类比上述解题思路,不 等式 6 3 2(2 3) 3 2x x x x     的解集为 . 12.随机输入整数 [1,12],x 执行如右图所示的程序框图, 则输出的 x 不小 于 39 的概率为 . 13.已知点 P 是面积为 1 的 ABC 内一点(不含边界),若 ,PAB ,PBC PCA 的面积分别为 , , ,x y z 则 1y z x y z    的最小值为 . 14. 若数列{ }na 满足: 1 2 3 4 2 1 2n na a a a a a        , 则称数列{ }na 为“正弦数列”,现将1,2,3,4,5 这五个数排成一个“正弦 数列”,所有排列种数记为 a ,则二项式 6( )ax x  的展开式中含 2x 项的系数为 . 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,按第一题评阅计分,本题共 5 分. 15.(1)(坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并取相等 的长度单位建立极坐标系,若直线 : cos( ) 24l     与曲线 1 4cos: 4sin 3 xC y       ( 为参数)相交 于 ,A B 两点,则线段 AB 长度为_________. (2)(不等式选做题)若存在实数 x ,使不等式 2| 2 3| | 2 1| 3x x a a     成立,则实数 a 的取值范围为 _________. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,三个内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,满足 2 22 ( )CA CB c a b     . (1)求角C 的大小; (2)求 2 42 3 cos sin( )2 3 A B  的最大值,并求取得最大值时角 ,A B 的大小. 17.(本小题满分 12 分) 某中学为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防知识竞赛,其中一道题是连线题,要求 将 4 种不同的消防工具与它们的 4 种不同的用途一对一连线,规定:每连对一条得 10 分,连错一条得 -5 分,某参赛者随机用 4 条线把消防工具与用途一对一全部连接起来. (1)求该参赛者恰好连对一条的概率; (2)设 X 为该参赛者此题的得分,求 X 的分布列与数学期望. 开始 结束 输入 x 输出 x 1n  3n  2 1x x  1n n  是否 18.(本小题满分 12 分) 如图所示,在边长为 3 的等边 ABC 中,点 ,D E 分别是边 ,AB AC 上的点,且满足 1 ,2 AD CE DB EA   现 将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置,使二面角 1A DE B  成直二面角,连结 1 1,A B AC . (1)求证: 1A D BCED 平面 ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60 ? 若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 具有性质:○1 1a 为整数;○2 对于任意的正整数 ,n 当 na 为偶数时, 1 ;2 n n aa   当 na 为奇数 时, 1 1 2 n n aa   . (1)若 1a 为偶数,且 1 2 3, ,a a a 成等差数列,求 1a 的值; (2)若 1a 为正整数,求证:当 2 11 log ( )n a n N    时,都有 0na  . 20.(本小题满分 13 分) 定 义 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 圆 心 , 以 2 2a b 为 半 径 的 圆 O 为 椭 圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的“准圆”.已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   的离心率为 3 3 ,直线 : 2 5 0l x y   与椭圆C 的“准圆”相切. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设点 P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点,过动点 P 作斜率存在且不为 0 的两条不同的直线 1 2,l l , 使得 1l , 2l 与椭圆都相切,试判断 1l 与 2l 是否垂直?并说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数   lnf x x ,    ag x a Rx   ,设            ,F x f x g x G x f x g x    (1) 求函数  F x 的单调区间; (2) 若以函数  ( ) (0,2)y F x x  图像上任一点  0 0,P x y 为切点的切线斜率为 1 2k  恒成立,求实 数 a 的取值范围; D B C E A1A B C D E (3) 当 1a  时 , 对 任 意 的  1 2, 0,2x x  , 且 1 2x x , 已 知 存 在  0 1 2,x x x 使 得      2 1/ 0 2 1 G x G xG x x x   ,求证: 0 1 2x x x 参考答案 1-5 CDBBC 6-10 CACBD 3 2sin 3A       (9 分) 20 ,3 3 3 3A A         当 3 2A    即 6A  时, 2 42 3 cos sin( )2 3 A B  的最大值为 2 3 ,此时 6B  2 42 3 cos sin( )2 3 A B   的最大值为 2 3 ,取得最大值时, 6A B   (12 分) 17、解:(1) 1 4 4 4 2 4 2 1 24 3 CP A     (4 分) X 的分布列为 X 20 5 10 20 P 3 8 1 3 1 4 1 24 (10 分)    3 1 1 1 3520 5 10 208 3 4 24 6EX             (12 分) 18、解:(1)等边三角形 ABC 的边长为 3,且 AD 1=DB 2 CE EA  , 1, 2AD AE   在 ADE 中, 60DAE   ,由余弦定理得 3DE  , 2 2 2AD DE AE   AD DE  ,折叠后有 1A D DE (3 分) 二面角 1A DE B  为直二面角,平面 1A DE  平面 BCED 又平面 1A DE  平面 BCED DE , 1A D  平面 1A DE , 1A D DE 1A D  平面 BCED (5 分) (2)假设在线段 BC 上存在点 P ,使得直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60 由(1)证明, 可知 DE DB , 1A D BCED 平面 ,以 D 为坐标原 点,以射线 1, ,DB DE DA 分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D xyz ,如图过点 P 作 PH BD ,垂足为 H ,连接 1 ,A H PH 设  2 0 2 3PB a a   ,则 , 3 , 2BH a PH a DH a         1 0,0,1 , 2 , 3 ,0 , 0, 3,0A P a a E  (7 分)  1 2, 3 ,1PA a a    1ED A BD 平面 , 1A BD平面 的一个法向量为  0, 3,0DE  (9 分) 1PA 与 1A BD平面 所成的角为 60 1 2 1 3 3sin 60 24 4 5 3 PA DE a PA DE a a             ,解得 5 4a  (11 分) 52 2PB a   ,满足 0 2 3a  ,符合题意 在线段 BC 上存在点 P ,使得直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 60 ,此时 5 2PB  (12 分) 19、解:(1)设 1 22 ,a k a k  , 1 2 3, ,a a a 成等差数列, 3 32 2 , 0k a k a     (2 分) ○1 当 k 为偶数时, 2 3 0, 0,2 2 a ka k     此时 1 0a  (4 分) x P B C E D A1 y z H ○1 当 k 为奇数时, 2 3 1 1 0, 1,2 2 a ka k      此时 1 2a  综合上述,可得 1a 的值为 2 或 0 (6 分) (2) 2 11 logn a  , 2 11 logn a   , 1 1 2na   (7 分) 又由定义可知, 1 2 1 2 n n n n n a a a a a       为偶数 为奇数 1 2 n n aa   , 1 1 2 n n a a   (9 分) 11 2 1 11 1 1 2 1 1 1 2 12 2 nn n n n n n n a a aa a aa a a              , 0n na N a   综上可知,当 2 11 log ( )n a n N    时,都有 0na  (12 分) (2)由(1)知椭圆 C 的“准圆”方程为 2 2 5x y  设点  0 0,P x y ,则 2 2 0 0 5x y  (7 分) 设经过点  0 0,P x y 与椭圆C 相切的直线为  0 0y k x x y   联立  0 0 2 2 13 2 y k x x y x y      消去 y ,得     22 2 0 0 0 02 3 6 3 6 0k x k kx y x kx y       由 0  ,化简得   2 2 2 0 0 0 03 2 3 0x k x y k x     (10 分) 设直线 1 2,l l 的斜率分别为 1 2,k k . 直线 1l , 2l 与椭圆C 相切 1 2,k k 满足方程   2 2 2 0 0 0 03 2 3 0x k x y k x     1 2 1k k    ,故直线 1l 与 2l 垂直 (13 分) 21、解:(1)由题意可知      ( ) ln 0aF x f x g x x xx       ' 2 2 1 a x aF x x x x     (1 分) ○1 当 0a  时,  ' 0F x  在 0, 上恒成立  F x 的增区间为  0, ○2 当 0a  时,令  ' 0F x  得 x a ;令  ' 0F x  得 0 x a   F x 的增区间为 , ,a  减区间为  0,a 综合上述可得:当 0a  ,增区间为 0, ; 当 0a  时,增区间为 , ,a  减区间为 0,a (4 分)  ' 0h x   h x 在  0,2 上是减函数,即  'G x 在 0,2 上是减函数 要证 0 1 2x x x ,只需证    ' ' 0 1 2G x G x x ,即证    ' ' 0 1 2 0G x G x x  对任意  1 2, 0,2x x  ,存在  0 1 2,x x x 使得      2 1' 2 1 G x G xG x x x       2 1 1 2' ' 2 1 0 1 2 2 1 1 2 ln ln 1 ln x x x xx xG x G x x x x x x            2 2 22 1 2 2 1 1 1 11 1 2 2 1 2 1 2 1 11 1 ln 1ln 22 1 x x xxx x x x x x xx x x x x xx x x                     1 20 2x x   2 1 2 1 0, 1xx x x     2 1 1 0x x    只需要证 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 1 02 x x x x x x               ,即要证: 2 12 21 1 2 1 ln 1 x xx xx x     