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- 2021-06-16 发布
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第9讲 函数模型及其应用
[基础题组练]
1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
解析:选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.故选C.
2.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )
解析:选D.依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;当40),则y1=.当x=10时,y1==2,所以m=20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,所以令正比例系数为n(n>0),则y2=nx.当x=10时,y2=10n=8,所以n=.所以两项费用之和为y=y1+y2=+≥2=8,当且仅当=,即x=5时取等号.所以要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站5千米处.故选A.
4.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈
0.30)( )
A.2020年 B.2021年
C.2022年 D.2023年
解析:选B.若2018年是第一年,则第n年科研费为1 300×1.12n,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n≥4,即4年后,到2021年科研经费超过2 000万元.故选B.
5.(2019·高考北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1 B. 10.1
C. lg 10.1 D. 10-10.1
解析:选A.根据题意,设太阳的星等与亮度分别为m1与E1,天狼星的星等与亮度分别为m2与E2,则由已知条件可知m1=-26.7,m2=-1.45,根据两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,把m1与m2的值分别代入上式得,-1.45-(-26.7)=lg,得lg =10.1,所以=1010.1,故选A.
6.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2019年5月1日
12
35 000
2019年5月15日
48
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 升.
解析:因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升).
答案:8
7.李冶(1192-1279),真定栾城(今河北省石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是 步、 步.(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)
解析:设圆池的半径为r步,则方田的边长为(2r+40)步,由题意,得(2r+40)2-3r2=13.75×240,解得r=10或r=-170(舍),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步.
答案:20 60
8.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N+)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资).
解析:当064时,要使y∈[4,10],则40≤x≤100,所以6480时,y>5,不满足条件②;故该函数模型不符合公司要求.
(b)对于函数模型(ⅱ)y=log2x-2,它在[10,100]上是增函数,满足条件①,
x=100时,ymax=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立.满足条件②,
设h(x)=log2x-2-x,则h′(x)=-,
又x∈[10,100],所以≤≤,
所以h′(x)≤-<-=0,
所以h(x)在[10,100]上是减少的,因此h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤恒成立,满足条件③,
故该函数模型符合公司要求.
综上所述,函数模型(ⅱ)y=log2x-2符合公司要求.
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