【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第八章　第2讲　空间图形的基本关系与公理作业 9页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有(　　)‎ A．4个　　　　　　　　　 B．3个 C．2个 D．1个 解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．‎ ‎2．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．‎ ‎3．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，‎ 所以A1，C1，C，A四点共面，‎ 所以A1C平面ACC1A1，‎ 因为M∈A1C，‎ 所以M∈平面ACC1A1.‎ 又M∈平面AB1D1，‎ 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，‎ 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．‎ 所以A，M，O三点共线．‎ ‎4.‎ ‎(2020·广东东莞模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1‎ C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1‎ D．A1C1∥平面AB1E 解析：选C.因为CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，所以选项A错误．假设AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB，即∠CAB＝90°，从而可得∠C1A1B1＝90°，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，故假设错误，即选项B错误．因为点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，所以AE，B1C1为异面直线；由题意可知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，所以AE⊥BC，结合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1，故选项C正确．因为直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，所以直线A1C1与平面AB1E相交，故选项D错误．综上，选C.‎ ‎5．在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D． 解析：选C.法一：如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB，则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN＝，PB＝，BN＝，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，‎ tan∠PBN＝＝＝，故选C.‎ 法二：以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则N(0，0，0)，A1(0，－1，2)，B(，0，0)，M(，0，1)，所以＝(，0，0)，＝(，1，－1)，设直线A1M与BN所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，则sin θ＝，‎ tan θ＝.‎ ‎6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是________．‎ ‎①EF与GH平行；‎ ‎②EF与GH异面；‎ ‎③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；‎ ‎④EF与GH的交点M一定在直线AC上．‎ 解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H四点共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．‎ 答案：④‎ ‎7．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：‎ ‎①AF⊥GC；‎ ‎②BD与GC成异面直线且夹角为60°；‎ ‎③BD∥MN；‎ ‎④BG与平面ABCD所成的角为45°.‎ 其中正确的是________(填序号)．‎ 解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)．‎ 对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；‎ 对于②，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BE∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；‎ 对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；‎ 对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．‎ 答案：①②‎ ‎8．(2020·河南安阳调研四)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E∈平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1E⊥CF，则当△EBC的面积取得最小值时，＝________．‎ 解析：‎ 如图所示，连接B1D1，取AB的中点G，连接D1G，B1G.由题意得CF⊥平面B1D1G，‎ 所以当点E在直线B1G上时，D1E⊥CF，‎ 设BC＝a，则S△EBC＝EB·BC＝EB·a，‎ 当△EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，‎ 所以线段EB长度的最小值为，所以＝＝.‎ 答案： ‎9．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点．‎ 证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ 因为E，F分别是AB，AA1的中点，‎ 所以EF∥BA1.‎ 又A1B∥D1C，所以EF∥CD1，‎ 所以E，C，D1，F四点共面．‎ ‎(2)因为EF∥CD1，EF