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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(十一) 分层抽样
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.某地区为了了解居民家庭生活状况,先把居民按所在行业分为
几类,然后每个行业抽 1
100
的居民家庭进行调查,这种抽样是( )
A.简单随机抽样 B.系统抽样
C.分层抽样 D.分类抽样
【解析】 由于居民按行业可分为不同的几类,符合分层抽样的
特点.
【答案】 C
2.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中
级职称的 320 人,具有初级职称的 200 人,其余人员 120 人,为了解
职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,
则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A.12,24,15,9 B.9,12,12,7
C.8,15,12,5 D.8,16,10,6
【解析】 抽样比例为 40
800
= 1
20
,故各层中依次抽取的人数为
160× 1
20
=8(人),320× 1
20
=16(人),200× 1
20
=10(人),120× 1
20
=
6(人).故选 D.
【答案】 D
3.在 1 000 个球中有红球 50 个,从中抽取 100 个进行分析,如果
用分层抽样的方法对球进行抽样,则应抽红球( )
A.33 个 B.20 个
C.5 个 D.10 个
【解析】 设应抽红球 x 个,则 100
1 000
= x
50
,则 x=5.
【答案】 C
4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为
了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学
生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
图 211
A.200,20 B.100,20
C.200,10 D.100,10
【解析】 该地区中小学生总人数为
3 500+2 000+4 500=10 000,
则样本容量为 10 000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为 2
000×2%×50%=20.
【答案】 A
5.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 000 家,其中农民
家庭 1 800 户,工人家庭 100 户.现要从中抽取容量为 40 的样本,调
查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样.
A.②③ B.①③
C.③ D.①②③
【解析】 由三种抽样方法的特点.
可知,选 D.
【答案】 D
二、填空题
6.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300
名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专
业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为________.
【解析】 应在丙专业抽取的学生人数是
400
150+150+400+300
×40=16.
【答案】 16
7.某校共有 2 000 名学生,各年级男、女生人数如表所示.现用
分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数
为_____________.
一年级 二年级 三年级
女生 373 380 y
男生 377 370 z
【解析】 依题意可知三年级学生人数为 500,即总体中各年级的
人数比例为 3∶3∶2,故用分层抽样抽取三年级学生人数为 64×2
8
=16.
【答案】 16
8.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3∶3∶4,现
用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样
本,则应从高二年级抽取________名学生.
【解析】 高二年级学生人数占总数的 3
10
,样本容量为 50,则
50× 3
10
=15.
【答案】 15
三、解答题
9.某单位有 2 000 名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术
开发、营销、生产各部门中,如下表所示:
人数 管理 技术开发 营销 生产 合计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
合计 160 320 480 1 040 2 000
(1)若要抽取 40 人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则
应怎样抽选出席人? 【导学号:28750034】
【解】 (1)按老年、中年、青年分层抽样,
抽取比例为 40
2 000
= 1
50.
故老年人,中年人,青年人各抽取 4 人,12 人,24 人,
(2)按管理、技术开发、营销、生产进行分层,用分层抽样,抽取
比例为 25
2 000
= 1
80
,
故管理,技术开发,营销,生产各抽取 2 人,4 人,6 人,13 人.
10.某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游,活动
分为两条线路:华东五市游和长白山之旅,且每位教师至多参加了其
中的一条线路.在参加活动的教师中,高一教师占 42.5%,高二教师占
47.5%,高三教师占 10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的1
4
,
且该组中,高一教师占 50%,高二教师占 40%,高三教师占 10%.为了
了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度,现用分层抽样
的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为 200 的样本.试确定:
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的
比例;
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取
的人数.
【解】 (1)设参加华东五市游的人数为 x,参加长白山之旅的高一
教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为 a,b,c,则有x·40%+3xb
4x
=47.5%,x·10%+3xc
4x
=10%,解得 b=50%,c=10%.故 a=100%-
50%-10%=40%,即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教
师所占的比例分别为 40%,50%,10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为 200×3
4
×40%=60;
抽取的高二教师人数为 200×3
4
×50%=75;
抽取的高三教师人数为 200×3
4
×10%=15.
[能力提升]
1.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人,其中高
三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多 300 人,
现在按 1
100
的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生数
为( )
A.8 B.11
C.16 D.10
【解析】 若设高三学生数为 x,则高一学生数为x
2
,高二学生数
为x
2
+300,所以有 x+x
2
+x
2
+300=3 500,解得 x=1 600.故高一学生数
为 800,因此应抽取高一学生数为 800
100
=8.
【答案】 A
2.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从 8~10 岁,11~
12 岁,13~14 岁,15~16 岁四个年龄段回收的问卷依次为:120 份,
180 份,240 份,x 份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽
取容量为 300 的样本,其中在 11~12 岁学生问卷中抽取 60 份,则在
15~16 岁学生中抽取的问卷份数为( )
A.60 B.80
C.120 D.180
【解析】 11~12 岁回收 180 份,其中在 11~12 岁学生问卷中抽
取 60 份,则抽样比为1
3.
∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为 300 的样本,
∴从 8~10 岁,11~12 岁,13~14 岁,15~16 岁四个年龄段回收
的问卷总数为300
1
3
=900(份),则 15~16 岁回收问卷份数为:x=900-
120-180-240=360(份).
∴在 15~16 岁学生中抽取的问卷份数为 360×1
3
=120(份),故选
C.
【答案】 C
3.某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人
中抽取一个容量为 n 的样本,如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,
不用剔除个体;如果样本容量增加 1 个,则在采用系统抽样时,需要
在总体中先剔除 1 个个体,求得样本容量为________.
【解析】 总体容量 N=36.
当样本容量为 n 时,系统抽样间隔为36
n
∈N*,所以 n 是 36 的约数;
分层抽样的抽样比为 n
36
,求得工程师、技术员、技工的抽样人数
分别为n
6
、n
3
、n
2
,所以 n 应是 6 的倍数,
所以 n=6 或 12 或 18 或 36.
当样本容量为 n+1 时,总体中先剔除 1 人时还有 35 人,系统抽
样间隔为 35
n+1
∈N*,所以 n 只能是 6.
【答案】 6
4.某中学举行了为期 3 天的新世纪体育运动会,同时进行全校精
神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全
校 500 名教职员工、3 000 名初中生、4 000 名高中生中作问卷调查,
如果要在所有答卷中抽出 120 份用于评估.
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论?
(2)要从 3 000 份初中生的答卷中抽取一个容量为 48 的样本,如果
采用简单随机抽样,应如何操作?
(3)为了从 4 000 份高中生的答卷中抽取一个容量为 64 的样本,如
何使用系统抽样抽取到所需的样本?
【解】 (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影
响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量=120,总体个数=500+3 000+4 000=7 500,则抽
样比: 120
7 500
= 2
125
,
所以有 500× 2
125
=8,3 000× 2
125
=48,
4 000× 2
125
=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体
数分别是 8、48、64.
分层抽样的步骤是:
①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层.
②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽
取的个体数分别是 8、48,64.
③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本.
④综合每层抽样,组成样本.
这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.
(2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数法.如果用抽
签法,要作 3 000 个号签,费时费力,因此采用随机数法抽取样本,步
骤是:
①编号:将 3 000 份答卷都编上号码:0001,0002,0003,…,3000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置.
③规定读数方向:向右连续取数字,以 4 个数为一组,如果读取
的 4 位数大于 3 000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一
直到取满 48 个号码为止.
(3)由于 4 000÷64=62.5 不是整数,则应先使用简单随机抽样从 4
000 名学生中随机剔除 32 个个体,再将剩余的 3 968 个个体进行编号:
1,2,…,3 968,然后将整体分为 64 个部分,其中每个部分中含有
62 个个体,如第 1 部分个体的编号为 1,2,…,62.从中随机抽取一个
号码,若抽取的是 23,则从第 23 号开始,每隔 62 个抽取一个,这样
得到容量为 64 的样本:23,85,147,209,217,333,395,457,…,
3 929.
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