2021届高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例课件 41页

第 8 讲　解三角形应用举例 课标要求 考情风向标 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和 方法解决一些与测 量和几何计算有关 的实际问题 1. 本节复习时，应联系生活实例，体会建 模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实 际问题的基本方法 2. 加强解三角形及解三角形的实际应用， 培养数学建模能力，这也是近几年高考的 热点之一 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 ( 如 a ， B ， C ) 正弦定理 由 A ＋ B ＋ C ＝ 180° ，求角 A ；由正 弦定理求 b 与 c . 在有解时只有一解 1. 解三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个 ( 除三个角外 ) 才能求解， 常见类型及其解法如下表所示： 已知条件 应用定理 一般解法 两边和夹角 ( 如 a ， b ， C ) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边 c ；由正弦定理 求出角 A 或 B ；再由 A ＋ B ＋ C ＝ 180° 求另一角 . 在有解时只有一解 三边 ( a ， b ， c ) 余弦定理 由余弦定理求角 A ， B ；再由 A ＋ B ＋ C ＝ 180° 求角 C . 在有解时只有一解 ( 续表 ) 已知条件 应用定理 一般解法 两边和其中一 边的对角 ( 如 a ， b ， A ) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求角 B ；再由 A ＋ B ＋ C ＝ 180° ，求角 C ；再利用正弦定理 或余弦定理求 c . 可有两解、一解或无解 ( 续表 ) 2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航 海问题等 . 3. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平 视线下方的角叫做俯角 [ 如图 3-8-1(1)]. (1) (2) 图 3-8-1 (2) 方向角： 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30° ，北偏西 45° 等 . (3) 方位角： 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的 方位角为 α [ 如图 3-8-1(2)]. (4) 坡角： 坡面与水平面所成的二面角的度数 . 1. 某船只在海面上向正东方向行驶了 x km 迅速将航向调整 为南偏西 60° ，然后沿着新的方向行驶了 km ，此时发现 离出发点恰好 3 km ，那么 x 的值为 __________. 3 或 6 2. 如图 3-8-2 ，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边 选取两点 A ， B ，观察对岸的点 C ，测得∠ CAB ＝ 75° ，∠ CBA ) ＝ 45° ，且 AB ＝ 200 m. 则 A ， C 两点的距离为 ( 图 3-8-2 A 3. 江岸边有一炮台高 30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测 得俯角分别为 45° 和 30° ，且两条船与炮台底部连线成 30° 角， 则两条船相距 ( ) 解析： 如图 D20 ，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为 B . 图 D20 答案： D D 考点 测量问题 考向 1 测量距离问题 例 1 ： (1) (2018 年宁夏银川一中月考 ) 如图 3-8-3 ，设 A ， B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量 者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测 出 AC 的距离是 m 米，∠ BAC ＝ α ，∠ ACB ＝ β ， 则 A ， B 两点间的距离为 ( 　　 ) 图 3-8-3 答案： C (2)(2014 年四川 ) 如图 3-8-4 ，从气球 A 上测得正前方的河流 的两岸 B ， C 的俯角分别为 75° ， 30° ，此时气球的高度是 60 m ， 则河流的宽度 BC ＝ ( ) 图 3-8-4 答案： C (3)(2017 年江西赣州模拟 ) 如图 3-8-5 ，为了测量 A ， B 处岛 屿的距离，小明在 D 处观测， A ， B 分别在 D 处的北偏西 15° 、 北偏东 45° 方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向， A 在 C 处的北偏西 60° 方向，则 A ， B 两处岛 屿间的距离为 ( ) 图 3-8-5 解析： 由题意，可知∠ BDC ＝ 90° － 45° ＝ 45° ， 又∠ BCD ＝ 90° ，∴ BC ＝ CD ＝ 40 海里 . 在 △ ADC 中， ∠ ADC ＝ 105° ， ∠ ACD ＝ 90° － 60° ＝ 30° ， 答案： A 【 规律方法 】 (1) 利用示意图把 已知量和待求量尽量集中在 有关的三角形中，建立一个解三角形的模型 . (2) 利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学 模型的解 . 考向 2 测量高度问题 例 2 ： (1) (2015 年湖北 ) 如图 3-8-6 ，一辆汽车在一条水平的 公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰角为 30° ，则此山的高度 CD ＝ ________m. 图 3-8-6 (2)(2014 年新课标 Ⅰ ) 如图 3-8-7 ，为测量山高 MN ，选择点 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点 . 从点 A 测得点 M 的仰角 为∠ MAN ＝ 60° ，点 C 的仰角为∠ CAB ＝ 45° ，以及∠ MAC ＝ 75° ；从点 C 测得∠ MCA ＝ 60°. 已知山高 BC ＝ 100 m ，则山高 MN ＝ ________m. 图 3-8-7 答案： 150 (3)(2017 年河南郑州模拟 ) 在地平面上有一旗杆 OP ( O 在地 面 ) ，为了测得它的高度 h ，在地平面上取一基线 AB ，测得其长 为 20 m ，在 A 处测得 P 点的仰角为 30° ，在 B 处测得 P 点的仰 角为 45° ，又测得∠ AOB ＝ 30° ，则旗杆的高 h 等于 ________. 解析： 如图 D21 及根据题意有∠ PAO ＝ 30° ， △ ABO 中，利用余弦定理求得 h ＝ 20(m). 答案： 20 m 图 D21 【 规律方法 】 (1) 测量高度时， 要准确理解仰角、俯角的 概念 . (2) 分清已知量和待求量，分析 ( 画出 ) 示意图，明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理 . 考向 3 测量角度问题 图 3-8-8 思维点拨： 根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定 理求 BC ，再使用正弦定理求角度 . ∴∠ BCD ＝ 30° ，∴缉私船沿北偏东 60° 的方向行驶 . 又在△ BCD 中，∠ CBD ＝ 120° ，∠ BCD ＝ 30° ， ∴ 缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶，才能最快截获走私 船，大约需要 15 分 . 【 规律方法 】 角度问题的解题方法 首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分 清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最 重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解 决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理 “ 联袂 ”使用的 优点 . 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时， 首先要弄清是哪一点的方向角 . 【 跟踪训练 】 1. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在 观察站北偏东 40° ，灯塔 B 在观察站南偏东 60° ，则灯塔 A 在 灯塔 B 的 ( ) B A. 北偏东 10° C. 南偏东 10° B. 北偏西 10° D. 南偏西 10° 难点突破 ⊙ 解三角形中的最值问题 思维点拨： (1)“ 化边 ” 用余弦定理求 A ； sin B ＋ sin C 的取值范围，也可用余弦定理及均值不等式构造关 于 b ＋ c 的不等关系求解 . 【 规律方法 】 三角函数中最值 ( 或范围 ) 问题： 在 △ ABC 中，若已知∠ C 及其对边 c . ① 可用 “ 化角” 的方法求形如 a ＋ b ＝ c sin C (sin A ＋ sin B ) 的 式子的取值范围； ② 可用余弦定理得含有 a ＋ b ， ab 及 a 2 ＋ b 2 的等式，再利用 均值定理化为以 a ＋ b 或 ab 为变量的不等式求得 a ＋ b 或 ab 的 最值，从而可得三角形周长或面积的最值 . 【 跟踪训练 】 答案： (1)D (2)C 1. 运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式可以求有关 三角形的边、角、外接圆半径、面积的值或范围等基本问题 . 2. 本节的难点是三角形形状的判断与三角形实际应用问题 的解决 . 主要是学生看不到问题的本质，受到许多非本质问题的 干扰 . 要加强将实际问题转化为数学问题的能力的训练 .