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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修1-1章末综合测评2word版含答案

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章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程 (时间 120分钟,满分 150分) 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y=- 1 8 x2的准线方程是( ) A.x= 1 32 B.y=2 C.y= 1 32 D.y=-2 【解析】 将 y=- 1 8 x2化为标准形式为 x2=-8y,故准线方程为 y =2. 【答案】 B 2.(2015·安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( ) A.x2-y2 4 =1 B.x 2 4 -y2=1 C.x2-y2 2 =1 D.x 2 2 -y2=1 【解析】 法一 由渐近线方程为 y=±2x,可得 y 2 =±x,所以双曲 线的标准方程可以为 x2-y2 4 =1 或 y2 4 -x2=1,舍去 . 法二 A中的渐近线方程为 y=±2x;B中的渐近线方程为 y=±1 2 x; C中的渐近线方程为 y=± 2x;D中的渐近线方程为 y=± 2 2 x.故选 A. 【答案】 A 3.(2015·湖南高考)若双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1的一条渐近线经过点(3,- 4),则此双曲线的离心率为( ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 【解析】 由双曲线的渐近线过点(3,-4)知b a = 4 3 , ∴ b2 a2 = 16 9 . 又 b2=c2-a2,∴ c2-a2 a2 = 16 9 , 即 e2-1=16 9 ,∴e2=25 9 ,∴e=5 3 . 【答案】 D 4.抛物线 y2=1 4 x关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 ( ) 【导学号:26160065】 A.(1,0) B. 0, 1 16 C.(0,1) D. 1 16 ,0 【解析】 ∵y2=1 4 x的焦点坐标为 1 16 ,0 , ∴关于直线 y=x对称后抛物线的焦点为 0, 1 16 . 【答案】 B 5.设 F1,F2是双曲线 x2 3 -y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当 △F1PF2的面积为 2时,PF1→ ·PF2→ 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】 设 P(x0,y0),又 F1(-2,0),F2(2,0), ∴PF1→ =(-2-x0,-y0),PF2→ =(2-x0,-y0).|F1F2|=4. S△PF1F2=1 2 |F1F2|·|y0|=2, ∴|y0|=1.又x20 3 -y20=1, ∴x20=3(y20+1)=6,∴PF1→ ·PF2→ =x20+y20-4=6+1-4=3. 【答案】 B 6.(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2= 2px(p>0)上,另一个顶点在原点,则该三角形的边长是( ) A.2 3p B.4 3p C.6 3p D.8 3p 【解析】 设 A、B在 y2=2px上,另一个顶点为 O,则 A、B关 于 x轴对称,则∠AOx=30°,则 OA的方程为 y= 3 3 x.由 y= 3 3 x, y2=2px, 得 y=2 3p,∴△AOB的边长为 4 3p. 【答案】 B 7.已知|A B→|=3,A,B分别在 y轴和 x轴上运动,O为原点,OP→ = 1 3 OA→+ 2 3 OB→,则动点 P的轨迹方程是( ) A.x 2 4 +y2=1 B.x2+y2 4 =1 C.x 2 9 +y2=1 D.x2+y2 9 =1 【解析】 设 P(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由已知得(x,y)=1 3 (0, y0)+2 3 (x0,0),即 x=2 3 x0,y=1 3 y0,所以 x0=3 2 x,y0=3y.因为|A B→|=3,所 以 x20+y20=9,即 3 2 x 2+(3y)2=9,化简整理得动点 P的轨迹方程是 x2 4 + y2=1. 【答案】 A 8.AB为过椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的中心的弦 F1为一个焦点,则 △ABF1的最大面积是(c为半焦距)( ) A.ac B.ab C.bc D.b2 【解析】 △ABF1的面积为 c·|yA|,因此当|yA|最大, 即|yA|=b时,面积最大.故选 C. 【答案】 C 9.若 F1,F2是椭圆 x2 9 + y2 7 =1 的两个焦点,A为椭圆上一点,且 ∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为( ) A.7 B.7 2 C.7 4 D.7 5 2 【解析】 |F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6, 则|AF2|=6-|AF1|, |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45° =|AF1|2-4|AF1|+8, 即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8, 解得|AF1|=7 2 , 所以 S=1 2 × 7 2 ×2 2× 2 2 = 7 2 . 【答案】 B 10.(2015·重庆高考)设双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点是 F, 左、右顶点分别是 A1,A2,过 F作 A1A2的垂线与双曲线交于 B,C两 点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±1 2 B.± 2 2 C.±1 D.± 2 【解析】 由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),B c,b2 a ,C c,- b2 a . ∵A1B⊥A2C, ∴ b2 a c+a · - b2 a c-a =-1,整理得 a=b. ∵渐近线方程为 y=±b a x,即 y=±x, ∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C 11.过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A,B两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积是( ) A.3 2 B.2 2 C. 2 D.3 2 2 【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F的坐标为(1,0), 又|AF|=3,由抛物线定义知:点 A到准线 x=-1的距离为 3, ∴点 A的横坐标为 2. 将 x=2代入 y2=4x得 y2=8,由图知点 A的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2), ∴直线 AF的方程为 y=2 2(x-1). 联立直线与抛物线的方程 y=2 2x-1, y2=4x, 解之得 x=1 2 , y=- 2 或 x=2, y=2 2. 由图知 B 1 2 ,- 2 , ∴S△AOB= 1 2 |OF|·|yA-yB|=1 2 ×1×|2 2+ 2|=3 2 2. 【答案】 D 12.已知椭圆 C1: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)与双曲线 C2:x2-y2 4 =1有 公共的焦点,C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1恰好将线段 AB三等分,则( ) A.a2=13 2 B.a2=13 C.b2=1 2 D.b2=2 【解析】 由题意,知 a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2 +5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为 y=2x,联立方程消去 y, 得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆的弦长 d= 5×2 a4-5a2 5a2-5 = 2 3 a,解得 a2=11 2 ,b2=1 2 ,故选 C. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分,将答案填在 题中的横线上) 13.(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线 x2-y2 b2 =1(b>0)的一个焦点, 则 b=________. 【解析】 由题意得,双曲线焦点在 x轴上,且 c=2.根据双曲线 的标准方程,可知 a2=1.又 c2=a2+b2,所以 b2=3.又 b>0,所以 b= 3. 【答案】 3 14.设 F1,F2为曲线 C1: x2 6 + y2 2 =1的焦点,P是曲线 C2: x2 3 -y2 =1与 C1的一个交点,则△PF1F2的面积为________. 【解析】 由题意知|F1F2|=2 6-2=4,设 P点坐标为(x,y). 由 x2 6 + y2 2 =1, x2 3 -y2=1, 得 x=±3 2 2 , y=± 2 2 . 则 S△PF1F2=1 2 |F1F2|·|y|=1 2 ×4× 2 2 = 2. 【答案】 2 15.如图 1,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1 的右焦点 F,且两条曲线的交点连线也经过焦点 F,则该椭圆的离心率 为________. 图 1 【解析】 由条件知,c=p 2 , ∴其中一个交点坐标为(c,2c), ∴ c2 a2 + 4c2 b2 =1,∴e4-6e2+1=0, 解得 e2=3±2 2,∴e=±( 2±1). 又 00). 点 P(3,4)在椭圆上,则 16 a2 + 9 a2-25 =1,得 a2=40, 双曲线过点 P(3,4)的渐近线方程为 y= b 25-b2 x,即 4= b 25-b2 ×3,得 b2=16. 所以椭圆方程为 y2 40 + x2 15 =1,双曲线方程为 y2 16 - x2 9 =1. 18.(本小题满分 12分)(2016·厦门高二检测)已知直线 l:y=x+m 与抛物线 y2=8x交于 A,B两点, (1)若|AB|=10,求 m的值; (2)若 OA⊥OB,求 m的值. 【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2), (1) y=x+m, y2=8x ⇒x2+(2m-8)x+m2=0 ⇒ Δ=2m-82-4m2>0, x1+x2=8-2m, x1x2=m2. |AB|= 2|x1-x2|= 2 x1+x22-4x1x2=10, 得 m= 7 16 ,∵m<2,∴m= 7 16 . (2)∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. x1x2+(x1+m)(x2+m)=0, 2x1x2+m(x1+x2)+m2=0, 2m2+m(8-2m)+m2=0, m2+8m=0,m=0或 m=-8. 经检验 m=-8. 19.(本小题满分 12分)已知双曲线过点 P(-3 2,4),它的渐近线 方程为 y=±4 3 x. (1)求双曲线的标准方程; (2)设 F1和 F2为该双曲线的左、右焦点,点 P在此双曲线上,且 |PF1|·|PF2|=41,求∠F1PF2的余弦值. 【解】 (1)由渐近线方程知,双曲线中心在原点,且渐近线上横 坐标为-3 2的点 P′的纵坐标的绝对值为 4 2. ∵4 2>4,∴双曲线的焦点在 x轴上,设方程为 x2 a2 - y2 b2 =1. ∵双曲线过点 P(-3 2,4), ∴ 18 a2 - 16 b2 =1.① 又 b a = 4 3 ,② 由①②,得 a2=9,b2=16, ∴所求的双曲线方程为 x2 9 - y2 16 =1. (2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2, 则 d1·d2=41.又由双曲线的几何性质知,|d1-d2|=2a=6. 由余弦定理,得 cos∠F1PF2= d21+d22-|F1F2|2 2d1d2 = d1-d22+2d1d2-|F1F2|2 2d1d2 = 9 41 . 20.(本小题满分 12分)(2015·安徽高考)设椭圆 E的方程为 x2 a2 + y2 b2 = 1(a>b>0),点 O为坐标原点,点 A的坐标为(a,0),点 B的坐标为(0, b),点M在线段 AB上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM的斜率为 5 10 . (1)求 E的离心率 e; (2)设点 C的坐标为(0,-b),N为线段 AC的中点,证明:MN⊥ AB. 【导学号:26160066】 【解】 (1)由题设条件知,点M的坐标为 2 3 a,1 3 b , 又 kOM= 5 10 ,从而 b 2a = 5 10 . 进而 a= 5b,c= a2-b2=2b,故 e=c a = 2 5 5 . (2)证明:由 N是 AC的中点知,点 N的坐标为 a 2 ,- b 2 ,可得NM→ = a 6 , 5b 6 . 又AB→=(-a,b), 从而有AB→ ·NM→=- 1 6 a2+5 6 b2=1 6 (5b2-a2). 由(1)的计算结果可知 a2=5b2, 所以AB→ ·NM→=0,故MN⊥AB. 21.(本小题满分 12分)已知椭圆 C:x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的左焦点 F及点 A(0,b),原点 O到直线 FA的距离为 2 2 b. (1)求椭圆 C的离心率 e; (2)若点 F关于直线 l:2x+y=0的对称点 P在圆 O:x2+y2=4上, 求椭圆 C的方程及点 P的坐标. 【解】 (1)由点 F(-ae,0),点 A(0,b),及 b= 1-e2a,得直线 FA的方程为 x -ae + y 1-e2a =1,即 1-e2x-ey+ae 1-e2=0. 因为原点 O到直线 FA的距离为 2 2 b=ae 1-e2, 所以 2 2 1-e2·a=ae 1-e2, 解得 e= 2 2 . (2)设椭圆 C的左焦点 F - 2 2 a,0 关于直线 l:2x+y=0的对称 点为 P(x0,y0),则有 y0 x0+ 2 2 a = 1 2 , 2· x0- 2 2 a 2 + y0 2 =0, 解得 x0=3 2 10 a,y0=2 2 5 a. 因为 P在圆 x2+y2=4上,所以 3 2 10 a 2+ 2 2 5 a 2=4. 所以 a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故椭圆 C的方程为 x2 8 + y2 4 =1, 点 P的坐标为 6 5 , 8 5 . 22.(本小题满分 12分)(2016·郑州高二检测)已知经过点 A(-4,0) 的动直线 l与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C,当直线 l的斜率是 1 2 时,AC→= 1 4 A B→. (1)求抛物线 G的方程; (2)设线段 BC的垂直平分线在 y轴上的截距为 b,求 b的取值范围. 【解】 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由已知,当 kl=1 2 时,l的方 程为 y=1 2 (x+4),即 x=2y-4. 由 x2=2py, x=2y-4, 得 2y2-(8+p)y+8=0, 所以 y1y2=4, y1+y2= 8+p 2 , 又因为 AC→= 1 4 A B→, 所以 y2=1 4 y1或 y1=4y2. 由 p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线方程为 x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0), 由 x2=4y, y=kx+4, 得 x2-4kx-16k=0.① 所以 x0= x1+x2 2 =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 所以 BC的中垂线方程为 y-2k2-4k=- 1 k (x-2k), 所以 BC的中垂线在 y轴上的截距为 b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程①由Δ=16k2+64k>0得 k>0或 k<-4.所以 b∈(2,+∞).