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- 2021-06-16 发布
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章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间 120分钟,满分 150分)
一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线 y=-
1
8
x2的准线方程是( )
A.x= 1
32
B.y=2
C.y= 1
32
D.y=-2
【解析】 将 y=-
1
8
x2化为标准形式为 x2=-8y,故准线方程为 y
=2.
【答案】 B
2.(2015·安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )
A.x2-y2
4
=1 B.x
2
4
-y2=1
C.x2-y2
2
=1 D.x
2
2
-y2=1
【解析】 法一 由渐近线方程为 y=±2x,可得
y
2
=±x,所以双曲
线的标准方程可以为 x2-y2
4
=1
或
y2
4
-x2=1,舍去
.
法二 A中的渐近线方程为 y=±2x;B中的渐近线方程为 y=±1
2
x;
C中的渐近线方程为 y=± 2x;D中的渐近线方程为 y=± 2
2
x.故选 A.
【答案】 A
3.(2015·湖南高考)若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线经过点(3,-
4),则此双曲线的离心率为( )
A. 7
3
B.5
4
C.4
3
D.5
3
【解析】 由双曲线的渐近线过点(3,-4)知b
a
=
4
3
,
∴
b2
a2
=
16
9
.
又 b2=c2-a2,∴
c2-a2
a2
=
16
9
,
即 e2-1=16
9
,∴e2=25
9
,∴e=5
3
.
【答案】 D
4.抛物线 y2=1
4
x关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是
( ) 【导学号:26160065】
A.(1,0) B.
0, 1
16
C.(0,1) D.
1
16
,0
【解析】 ∵y2=1
4
x的焦点坐标为
1
16
,0
,
∴关于直线 y=x对称后抛物线的焦点为
0, 1
16 .
【答案】 B
5.设 F1,F2是双曲线
x2
3
-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当
△F1PF2的面积为 2时,PF1→ ·PF2→ 的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
【解析】 设 P(x0,y0),又 F1(-2,0),F2(2,0),
∴PF1→ =(-2-x0,-y0),PF2→ =(2-x0,-y0).|F1F2|=4.
S△PF1F2=1
2
|F1F2|·|y0|=2,
∴|y0|=1.又x20
3
-y20=1,
∴x20=3(y20+1)=6,∴PF1→ ·PF2→ =x20+y20-4=6+1-4=3.
【答案】 B
6.(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=
2px(p>0)上,另一个顶点在原点,则该三角形的边长是( )
A.2 3p B.4 3p
C.6 3p D.8 3p
【解析】 设 A、B在 y2=2px上,另一个顶点为 O,则 A、B关
于 x轴对称,则∠AOx=30°,则 OA的方程为 y= 3
3
x.由
y= 3
3
x,
y2=2px,
得 y=2 3p,∴△AOB的边长为 4 3p.
【答案】 B
7.已知|A B→|=3,A,B分别在 y轴和 x轴上运动,O为原点,OP→
=
1
3
OA→+
2
3
OB→,则动点 P的轨迹方程是( )
A.x
2
4
+y2=1 B.x2+y2
4
=1
C.x
2
9
+y2=1 D.x2+y2
9
=1
【解析】 设 P(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由已知得(x,y)=1
3
(0,
y0)+2
3
(x0,0),即 x=2
3
x0,y=1
3
y0,所以 x0=3
2
x,y0=3y.因为|A B→|=3,所
以 x20+y20=9,即
3
2
x 2+(3y)2=9,化简整理得动点 P的轨迹方程是
x2
4
+
y2=1.
【答案】 A
8.AB为过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的中心的弦 F1为一个焦点,则
△ABF1的最大面积是(c为半焦距)( )
A.ac B.ab
C.bc D.b2
【解析】 △ABF1的面积为 c·|yA|,因此当|yA|最大,
即|yA|=b时,面积最大.故选 C.
【答案】 C
9.若 F1,F2是椭圆
x2
9
+
y2
7
=1 的两个焦点,A为椭圆上一点,且
∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为( )
A.7 B.7
2
C.7
4
D.7 5
2
【解析】 |F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6,
则|AF2|=6-|AF1|,
|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°
=|AF1|2-4|AF1|+8,
即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8,
解得|AF1|=7
2
,
所以 S=1
2
×
7
2
×2 2× 2
2
=
7
2
.
【答案】 B
10.(2015·重庆高考)设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,
左、右顶点分别是 A1,A2,过 F作 A1A2的垂线与双曲线交于 B,C两
点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±1
2
B.± 2
2
C.±1 D.± 2
【解析】 由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),B
c,b2
a ,C
c,-
b2
a .
∵A1B⊥A2C,
∴
b2
a
c+a
·
-
b2
a
c-a
=-1,整理得 a=b.
∵渐近线方程为 y=±b
a
x,即 y=±x,
∴渐近线的斜率为±1.
【答案】 C
11.过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A,B两点,O
为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积是( )
A.3 2 B.2 2
C. 2 D.3 2
2
【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F的坐标为(1,0),
又|AF|=3,由抛物线定义知:点 A到准线 x=-1的距离为 3,
∴点 A的横坐标为 2.
将 x=2代入 y2=4x得 y2=8,由图知点 A的纵坐标 y=2 2,
∴A(2,2 2),
∴直线 AF的方程为 y=2 2(x-1).
联立直线与抛物线的方程
y=2 2x-1,
y2=4x,
解之得
x=1
2
,
y=- 2
或
x=2,
y=2 2.
由图知 B
1
2
,- 2
,
∴S△AOB=
1
2
|OF|·|yA-yB|=1
2
×1×|2 2+ 2|=3
2
2.
【答案】 D
12.已知椭圆 C1:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2-y2
4
=1有
公共的焦点,C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A,B
两点.若 C1恰好将线段 AB三等分,则( )
A.a2=13
2
B.a2=13
C.b2=1
2
D.b2=2
【解析】 由题意,知 a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2
+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为 y=2x,联立方程消去 y,
得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆的弦长 d= 5×2 a4-5a2
5a2-5
=
2
3
a,解得 a2=11
2
,b2=1
2
,故选 C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分,将答案填在
题中的横线上)
13.(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线 x2-y2
b2
=1(b>0)的一个焦点,
则 b=________.
【解析】 由题意得,双曲线焦点在 x轴上,且 c=2.根据双曲线
的标准方程,可知 a2=1.又 c2=a2+b2,所以 b2=3.又 b>0,所以 b= 3.
【答案】 3
14.设 F1,F2为曲线 C1:
x2
6
+
y2
2
=1的焦点,P是曲线 C2:
x2
3
-y2
=1与 C1的一个交点,则△PF1F2的面积为________.
【解析】 由题意知|F1F2|=2 6-2=4,设 P点坐标为(x,y).
由
x2
6
+
y2
2
=1,
x2
3
-y2=1,
得
x=±3 2
2
,
y=± 2
2
.
则 S△PF1F2=1
2
|F1F2|·|y|=1
2
×4× 2
2
= 2.
【答案】 2
15.如图 1,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦点 F,且两条曲线的交点连线也经过焦点 F,则该椭圆的离心率
为________.
图 1
【解析】 由条件知,c=p
2
,
∴其中一个交点坐标为(c,2c),
∴
c2
a2
+
4c2
b2
=1,∴e4-6e2+1=0,
解得 e2=3±2 2,∴e=±( 2±1).
又 00).
点 P(3,4)在椭圆上,则
16
a2
+
9
a2-25
=1,得 a2=40,
双曲线过点 P(3,4)的渐近线方程为 y= b
25-b2
x,即 4=
b
25-b2
×3,得 b2=16.
所以椭圆方程为
y2
40
+
x2
15
=1,双曲线方程为
y2
16
-
x2
9
=1.
18.(本小题满分 12分)(2016·厦门高二检测)已知直线 l:y=x+m
与抛物线 y2=8x交于 A,B两点,
(1)若|AB|=10,求 m的值;
(2)若 OA⊥OB,求 m的值.
【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)
y=x+m,
y2=8x
⇒x2+(2m-8)x+m2=0
⇒
Δ=2m-82-4m2>0,
x1+x2=8-2m,
x1x2=m2.
|AB|= 2|x1-x2|= 2 x1+x22-4x1x2=10,
得 m= 7
16
,∵m<2,∴m= 7
16
.
(2)∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.
x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,
2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
2m2+m(8-2m)+m2=0,
m2+8m=0,m=0或 m=-8.
经检验 m=-8.
19.(本小题满分 12分)已知双曲线过点 P(-3 2,4),它的渐近线
方程为 y=±4
3
x.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设 F1和 F2为该双曲线的左、右焦点,点 P在此双曲线上,且
|PF1|·|PF2|=41,求∠F1PF2的余弦值.
【解】 (1)由渐近线方程知,双曲线中心在原点,且渐近线上横
坐标为-3 2的点 P′的纵坐标的绝对值为 4 2.
∵4 2>4,∴双曲线的焦点在 x轴上,设方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1.
∵双曲线过点 P(-3 2,4),
∴
18
a2
-
16
b2
=1.①
又
b
a
=
4
3
,②
由①②,得 a2=9,b2=16,
∴所求的双曲线方程为
x2
9
-
y2
16
=1.
(2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2,
则 d1·d2=41.又由双曲线的几何性质知,|d1-d2|=2a=6.
由余弦定理,得 cos∠F1PF2=
d21+d22-|F1F2|2
2d1d2
=
d1-d22+2d1d2-|F1F2|2
2d1d2
=
9
41
.
20.(本小题满分 12分)(2015·安徽高考)设椭圆 E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=
1(a>b>0),点 O为坐标原点,点 A的坐标为(a,0),点 B的坐标为(0,
b),点M在线段 AB上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM的斜率为
5
10
.
(1)求 E的离心率 e;
(2)设点 C的坐标为(0,-b),N为线段 AC的中点,证明:MN⊥
AB. 【导学号:26160066】
【解】 (1)由题设条件知,点M的坐标为
2
3
a,1
3
b
,
又 kOM= 5
10
,从而
b
2a
=
5
10
.
进而 a= 5b,c= a2-b2=2b,故 e=c
a
=
2 5
5
.
(2)证明:由 N是 AC的中点知,点 N的坐标为
a
2
,-
b
2 ,可得NM→
=
a
6
,
5b
6 .
又AB→=(-a,b),
从而有AB→ ·NM→=-
1
6
a2+5
6
b2=1
6
(5b2-a2).
由(1)的计算结果可知 a2=5b2,
所以AB→ ·NM→=0,故MN⊥AB.
21.(本小题满分 12分)已知椭圆 C:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点
F及点 A(0,b),原点 O到直线 FA的距离为
2
2
b.
(1)求椭圆 C的离心率 e;
(2)若点 F关于直线 l:2x+y=0的对称点 P在圆 O:x2+y2=4上,
求椭圆 C的方程及点 P的坐标.
【解】 (1)由点 F(-ae,0),点 A(0,b),及 b= 1-e2a,得直线
FA的方程为
x
-ae
+
y
1-e2a
=1,即 1-e2x-ey+ae 1-e2=0.
因为原点 O到直线 FA的距离为
2
2
b=ae 1-e2,
所以
2
2
1-e2·a=ae 1-e2,
解得 e= 2
2
.
(2)设椭圆 C的左焦点 F
-
2
2
a,0
关于直线 l:2x+y=0的对称
点为 P(x0,y0),则有
y0
x0+ 2
2
a
=
1
2
,
2·
x0- 2
2
a
2
+
y0
2
=0,
解得 x0=3 2
10
a,y0=2 2
5
a.
因为 P在圆 x2+y2=4上,所以
3 2
10
a 2+
2 2
5
a 2=4.
所以 a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
故椭圆 C的方程为
x2
8
+
y2
4
=1,
点 P的坐标为
6
5
,
8
5 .
22.(本小题满分 12分)(2016·郑州高二检测)已知经过点 A(-4,0)
的动直线 l与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C,当直线 l的斜率是
1
2
时,AC→=
1
4
A B→.
(1)求抛物线 G的方程;
(2)设线段 BC的垂直平分线在 y轴上的截距为 b,求 b的取值范围.
【解】 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由已知,当 kl=1
2
时,l的方
程为 y=1
2
(x+4),即 x=2y-4.
由
x2=2py,
x=2y-4,
得 2y2-(8+p)y+8=0,
所以
y1y2=4,
y1+y2=
8+p
2
, 又因为 AC→=
1
4
A B→,
所以 y2=1
4
y1或 y1=4y2.
由 p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线方程为 x2=4y.
(2)设 l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),
由
x2=4y,
y=kx+4,
得 x2-4kx-16k=0.①
所以 x0=
x1+x2
2
=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.
所以 BC的中垂线方程为
y-2k2-4k=-
1
k
(x-2k),
所以 BC的中垂线在 y轴上的截距为 b=2k2+4k+2=2(k+1)2,
对于方程①由Δ=16k2+64k>0得 k>0或 k<-4.所以 b∈(2,+∞).
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