湖南省郴州市2019-2020学年高二下学期学业水平模拟考试检测数学试题 Word版含解析 14页

www.ks5u.com ‎2020年郴州市普通高中学业水平合格性考试模拟监测 数学 注意事项：‎ ‎1、试卷分试题卷和答题卡．试卷共4页，有三大题，19小题，满分100分．考试时间90分钟．‎ ‎2、答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上．‎ ‎3、考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．‎ ‎4、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接计算交集得到答案.‎ ‎【详解】，，则.‎ 故选：.‎ 点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.‎ ‎2.某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是（ ）‎ A. 恰有1次投中 B. 至多有1次投中 C. 2次都投中 D. 2次都未投中 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件的定义得到答案.‎ ‎【详解】某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是：2次都未投中.‎ - 14 -‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了对立事件，意在考查学生对于对立事件的理解.‎ ‎3.已知向量，，且∥，则的值为（ ）‎ A. 10 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据向量平行公式得到答案.‎ ‎【详解】向量，，且∥，则，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直得到，再计算直线方程得到答案.‎ ‎【详解】，则，两直线垂直，则，过点，‎ 则，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据垂直求方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎5.下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 - 14 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】A. 若，则，当时不成立； ‎ B. 若，则，举反例，不满足；‎ C. 若，则，根据不等式性质知，错误；‎ D. 若，故，平方得到，正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.‎ ‎6.已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 130 B. 145 C. 175 D. 290‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，代入公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.为了研究某班学生的数学成绩（分）和物理成绩（分）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，，该班某学生的物理成绩为86，据此估计其数学成绩约为（ ）‎ A. 81 B. 80 C. 93 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 14 -‎ 计算，，故，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】，，故，即，‎ 当时，，解得.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎8.长方体中，，，则直线与平面所成角的大小为（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，根据长方体知平面，故为直线与平面所成角，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：连接，根据长方体知平面，‎ 故为直线与平面所成角，，‎ 故.‎ 故选：.‎ - 14 -‎ ‎【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎9.已知函数的图像如图，则该函数的解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据周期排除，计算特殊值排除，得到答案.‎ ‎【详解】根据图像知：，故，，排除.‎ 当时，排除，当时，，排除.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据图像求三角函数解析式，意在考查学生的计算能力和识图能力.‎ ‎10.已知函数，若，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，根据对称性得到答案.‎ ‎【详解】画出函数图像，如图所示：‎ - 14 -‎ 根据对称性知：，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的交点问题，画出图像利用对称性是解题的关键.‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．‎ ‎11.已知幂函数（为常数）的图象经过点，则_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数计算得到，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，故，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数和对数函数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12.已知数列中，，，则数列的前项和_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定数列是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.‎ ‎【详解】根据题意数列是首项为，公比为的等比数列，故.‎ 故答案为：.‎ - 14 -‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的前项和，意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.已知分别为内角的对边，若，，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦定理得到答案.‎ ‎【详解】根据余弦定理：，故.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.若变量、满足约束条件，则的最大值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域和目标函数，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：‎ ‎，则，表示直线在轴的截距，‎ 根据图像知：当时，函数有最大值为.‎ 故答案为：.‎ - 14 -‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.‎ ‎15.关于的不等式的解集为，则以为圆心，为半径的圆的标准方程是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式得到，，得到圆的标准方程.‎ ‎【详解】不等式的解集为，故，.‎ 故圆心为，半径为，故圆的标准方程是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16.在抗击新型冠状病毒肺炎期间，为响应政府号召，郴州市某单位组织了志愿者30人，其中男志愿者18人，用分层抽样方法从该单位志愿者中抽取5人去参加某社区的防疫帮扶活动．‎ ‎（1）求从该单位男、女志愿者中各抽取的人数；‎ ‎（2）从抽取的5名志愿者中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名志愿者中恰有1名男志愿者的概率．‎ - 14 -‎ ‎【答案】（1）从男志愿者中抽取3人，女志愿者中抽取2人；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据分层抽样的比例关系得到答案.‎ ‎（2）记3名男志愿者分别为1、2、3，2名女志愿者分别为、，列出所有情况，统计满足条件的情况得到概率.‎ ‎【详解】（1）（人），（人），‎ 所以从男志愿者中抽取3人，女志愿者中抽取2人.‎ ‎（2）记3名男志愿者分别为1、2、3，2名女志愿者分别为、，‎ 则从中抽取2人的所有基本事件为共10种，‎ 记事件为“选出的2名志愿者中恰有1名男志愿者”，则包含的基本事件有6种，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）在如图所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；‎ ‎（2）直接写出函数的单调增区间及零点．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）单调增区间是，函数的零点是．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画出函数图像得到答案.‎ - 14 -‎ ‎（2）根据函数图像直接得到答案.‎ ‎【详解】（1）该函数的图像如图：‎ ‎（2）由函数的图像可知：单调增区间是；‎ 函数的零点是．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像，函数单调区间，函数零点，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形且，，是的一点，且，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，得到答案.‎ ‎（2）计算，根据体积公式计算得到答案.‎ - 14 -‎ ‎【详解】（1）在直三棱柱中，平面，‎ 又平面，∴，又∵∴平面，‎ 又平面，∴，‎ ‎∵、、，∴，故，‎ 即，又，∴平面．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎， ∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直，体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎19.设函数，且角的终边经过点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求函数的值域；‎ ‎（3）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数定义得到，代入计算得到答案.‎ - 14 -‎ ‎（2）化简得到，，得到值域.‎ ‎（3）变换得到，，利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）∵的终边经过点，∴，又，∴．‎ ‎∵.‎ ‎（2）‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，即函数的值域是．‎ ‎（3）由，得，‎ ‎∵，∴，‎ 所以原不等式恒成立等价于对任意的，恒成立，‎ ‎∴．‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，，∴．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数值域，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.‎ - 14 -‎ - 14 -‎ - 14 -‎