2020年高中数学新教材同步必修第二册 期中检测试卷 9页

期中检测试卷 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共 13小题，每小题 4分，共 52分. 在每小题给出的四个选项中，第 1～ 10题只有一项符合题目要求；第 11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得 4分，选 对但不全的得 2分，有选错的不得分) 1.已知向量 a＝(1，m)，向量 b＝(－1， 3)，若 a∥b，则 m等于( ) A. 3 B.－ 3 C. 3 3 D.－ 3 3 答案 B 解析 由题意得 1× 3－m×(－1)＝0，∴m＝－ 3. 2.已知 i为虚数单位，z＝ 4 1＋i ，则复数 z的虚部为( ) A.－2i B.2i C.2 D.－2 答案 D 解析 z＝ 4 1＋i ＝ 41－i 1＋i1－i ＝ 41－i 2 ＝2－2i，故虚部为－2. 3.已知边长为 2的正方形 ABCD中，E为 AD的中点，连接 BE，则BE→ ·EA→等于( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案 B 解析 以 A为原点，AB所在直线为 x轴，AD所在直线为 y轴，建立直角坐标系，则 A(0,0)， B(2,0) E(0,1)，BE→＝(－2,1)，EA→＝(0，－1)，BE→ ·EA→＝－1. 4.(2019·淮北、宿州模拟)已知 i为虚数单位，在复平面内，复数 1 1－i 的共轭复数对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 由题意可得 1 1－i ＝ 1＋i 1－i1＋i ＝ 1 2 ＋ 1 2 i， 则其共轭复数为 1 2 － 1 2 i，对应的点 1 2 ，－ 1 2 位于第四象限. 5.在长方形 ABCD中，E为 CD的中点，F为 AE的中点，设AB→＝a，AD→＝b，则BF→等于( ) A.－3 4 a＋1 2 b B.3 4 a－1 2 b C.1 2 a－3 4 b D.1 2 a＋3 4 b 答案 A 解析 如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF→＝AF→－AB→＝ 1 2 AE→－AB→＝ 1 2 AD→＋ 1 4 AB→－AB→＝ 1 2 b－3 4 a. 6.在△ABC中，若 lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2且 B∈ 0，π 2 ，则△ABC的形状是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 答案 C 解析 ∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2， ∴ a c ＝sin B＝ 2 2 ， ∵B∈ 0，π 2 ，∴B＝π 4 ， ∴cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝ a2＋ 2a2－b2 2a· 2a ＝ 2 2 ， ∴a2＝b2，则 a＝b，∴A＝B＝π 4 ， ∴C＝π 2 ， ∴△ABC为等腰直角三角形. 7.在△ABC中，∠A＝120°，AB→ ·AC→＝－2，则|BC→ |的最小值是( ) A.2 B.4 C.2 3 D.12 答案 C 解析 AB→ ·AC→＝|AB→ ||AC→ |cos A＝－ 1 2 |AB→ ||AC→ | ＝－2⇒|AB→ ||AC→ |＝4， |BC→ |＝|AC→－AB→ |⇒|BC→ |2＝|AC→－AB→ |2 ＝|AC→ |2＋|AB→ |2＋4≥2|AB→ ||AC→ |＋4＝12， 当且仅当|AC→ |＝|AB→ |时取等号， 所以|BC→ |≥2 3. 8.已知向量 a＝(1， 3)，b＝ － 1 2 ， 3 2 ，则 a＋b 在 b 上的投影为( ) A.2 B. 3 C.1 D.－1 答案 A 解析 a＋b 在 b 上的投影为 a＋b·b |b| ＝ a·b＋b2 |b| ＝ － 1 2 ＋ 3 2 ＋1 1 ＝2. 9.已知向量 a＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为( ) A.1 B.2 C. 5 D.3 答案 A 解析 因为 a＝(cos θ－2，sin θ)， 所以|a|＝ cos θ－22＋sin2θ＝ 1－4cos θ＋4＝ 5－4cos θ， 因为θ∈R，所以－1≤cos θ≤1， 故|a|的最小值为 5－4＝1. 10.已知点 O是△ABC内一点，满足OA→＋2OB→＝mOC→， S△AOB S△ABC ＝ 4 7 ，则实数 m为( ) A.2 B.－2 C.4 D.－4 答案 D 解析 由OA→＋2OB→＝m OC→得 1 3 OA→＋ 2 3 OB→＝ m 3 OC→， 设 m 3 OC→＝OD→，则 1 3 OA→＋ 2 3 OB→＝OD→， ∴A，B，D三点共线， 如图所示， ∵OC→与OD→反向共线， ∴ |OD→ | |CD→ | ＝ m m－3 ， ∴ S△AOB S△ABC ＝ |OD→ | |CD→ | ＝ m m－3 ＝ 4 7 ， 解得 m＝－4. 11.在△ABC中，若 sin2A＋sin2B