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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(七)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知数列{an}满足:a1=-
1
4
,an=1- 1
an-1
(n>1),则 a4等于( )
A.4
5
B.1
4
C.-
1
4
D.1
5
【解析】 a2=1- 1
a1
=5,a3=1- 1
a2
=
4
5
,a4=1- 1
a3
=-
1
4
.
【答案】 C
2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是( )
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
【解析】 由 a2-a1=3-1=2,
a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4,
a5-a4=15-10=5,
归纳猜想得 an-an-1=n(n≥2),
所以 an=an-1+n,n∈N*,n≥2.
【答案】 B
3.设 an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( )
A.16
3
B.13
3
C.4 D.0
【解析】 ∵an=-3
n-5
2 2+
3
4
,由二次函数性质得,当 n=2或 3时,an最
大,最大为 0.
【答案】 D
4.在数列{an}中,a1=2,an+1-an-3=0,则{an}的通项公式为( )
A.an=3n+2 B.an=3n-2
C.an=3n-1 D.an=3n+1
【解析】 因为 a1=2,an+1-an-3=0,
所以 an-an-1=3,
an-1-an-2=3,
an-2-an-3=3,
…
a2-a1=3,
以上各式相加,
则有 an-a1=(n-1)×3,
所以 an=2+3(n-1)=3n-1.
【答案】 C
5.已知在数列{an}中,a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a2 016=( )
A.3 B.-3
C.6 D.-6
【解析】 由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,
a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,
a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,
a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,
…
故知{an}是周期为 6的数列,
∴a2 016=a6=-3.
【答案】 B
二、填空题
6 . 数 列 {an} 中 , 若 an + 1 - an - n = 0 , 则 a2 016 - a2 015
= .
【解析】 由已知 a2 016-a2 015-2 015=0,
∴a2 016-a2 015=2 015.
【答案】 2 015
7.数列{an}满足 an=4an-1+3,且 a1=0,则此数列的第 5项是 .
【解析】 因为 an=4an-1+3,所以 a2=4×0+3=3,
a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.
【答案】 255
8.数列{an}满足:a1=6,a1+a2+a3+…+an=
3
2
an-3,那么这个数列的通项
公式为 .
【解析】 由 a1+a2+a3+…+an=
3
2
an-3,
得 a1+a2+a3+…+an-1=
3
2
an-1-3(n≥2),
两式作差得 3an-1=an(n≥2),
∴an=a1·a2a1
·a3
a2
·…· an
an-1
=6·3n-1=2·3n(n≥2).
∵a1=6也适合上式,
∴an=2·3n(n∈N*)(n∈N*).
【答案】 an=2·3n(n∈N*)
三、解答题
9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=
3an
an+3
(n∈N*),求通项 an.
【解】 将 an+1=
3an
an+3
两边同时取倒数得:
1
an+1
=
an+3
3an
,
则
1
an+1
=
1
an
+
1
3
,
即
1
an+1
-
1
an
=
1
3
,
∴
1
a2
-
1
a1
=
1
3
,
1
a3
-
1
a2
=
1
3
,…,
1
an
-
1
an-1
=
1
3
,
把以上这(n-1)个式子累加,
得
1
an
-
1
a1
=
n-1
3
.
∵a1=1,∴an=
3
n+2
(n∈N*).
10.已知数列{an}的通项公式 an=(n+2)·
6
7 n,试求数列{an}的最大项. 【导
学号:05920065】
【解】 假设第 n 项 an为最大项,则
an≥an-1,
an≥an+1.
即
n+2·
6
7 n≥n+1·
6
7 n-1,
n+2·
6
7 n≥n+3·
6
7 n+1.
解得
n≤5,
n≥4,
即 4≤n≤5,
所以 n=4或 5,故数列{an}中 a4与 a5均为最大项,且 a4=a5=65
74
.
[能力提升]
1.已知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10
等于( )
A.-165 B.-33
C.-30 D.-21
【解析】 由已知得 a2=a1+a1=2a1=-6,∴a1=-3.
∴a10=2a5=2(a2+a3)
=2a2+2(a1+a2)
=4a2+2a1=4×(-6)+2×(-3)=-30.
【答案】 C
2.(2015·吉林高二期末)已知函数 f(x)=
x+1
2
,x≤1
2
,
2x-1,1
2