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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列结论不正确的是( )
A.若 y=3,则 y′=0
B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3
C.若 y=- x+x,则 y′=-
1
2 x
+1
D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x
【解析】 ∵y=sin x+cos x,
∴y′=(sin x)′+(cos x)′=cos x-sin x.故选 D.
【答案】 D
2.函数 y=( x+1)( x-1)的导数等于( )
A.1 B.-
1
2 x
C. 1
2x
D.-
1
4x
【解析】 因为 y=( x+1)( x-1)=x-1,所以 y′=x′-1′=
1.
【答案】 A
3.曲线 y= x
x+2
在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x+2
【解析】 ∵y′=
x′x+2-xx+2′
x+22
=
2
x+22
,
∴k=y′|x=-1=
2
-1+22
=2,
∴切线方程为 y+1=2(x+1),
即 y=2x+1.故选 A.
【答案】 A
4.已知曲线 y=x2
4
-3ln x的一条切线的斜率为
1
2
,则切点的横坐标
为( )
A.3 B.2
C.1 D.1
2
【解析】 因为 y′=
x
2
-
3
x
,所以由导数的几何意义可知,
x
2
-
3
x
=
1
2
,解得 x=3(x=-2不合题意,舍去).
【答案】 A
5.函数 f(x)=x3的斜率等于 1的切线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
【解析】 ∵f′(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则 3x20=1,得 x0=
± 3
3
,即在点
3
3
,
3
9 和点
-
3
3
,-
3
9 处有斜率为 1 的切线.故选
B.
【答案】 B
二、填空题
6.已知 f(x)=5
2
x2,g(x)=x3,若 f′(x)-g′(x)=-2,则 x=________.
【导学号:26160079】
【解析】 因为 f′(x)=5x,g′(x)=3x2,所以 5x-3x2=-2,解
得 x1=-
1
3
,x2=2.
【答案】 -
1
3
或 2
7.若曲线 y=x-
1
2 在点(a,a-
1
2 )处的切线与两个坐标轴围成的三角
形的面积为 18,则 a=________.
【解析】 ∵y=x-
1
2 ,∴y′=-
1
2
x-
3
2 ,
∴曲线在点(a,a-
1
2 )处的切线斜率 k=-
1
2
a-
3
2 ,
∴切线方程为 y-a-
1
2 =-
1
2
a-
3
2 (x-a).
令 x=0得 y=3
2
a-
1
2 ;令 y=0得 x=3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=1
2
·3a·
3
2 a-
1
2 =
9
4
a
1
2 =18,∴a=64.
【答案】 64
8.已知函数 f(x)=f′
π
4 cos x+sin x,则 f
π
4 的值为________.
【解析】 ∵f′(x)=-f′
π
4 sin x+cos x,
∴f′
π
4 =-f′
π
4 ×
2
2
+
2
2
,
得 f′
π
4 = 2-1.
∴f(x)=( 2-1)cos x+sin x,∴f
π
4 =1.
【答案】 1
三、解答题
9.求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)2(x-1);
(2)y=x2sin x;
(3)y=ex+1
ex-1
.
【解】 (1)法一:y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x
+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.
法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,
y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1.
(2)y′=(x2sin x)′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
(3)y′=
ex+1′ex-1-ex+1ex-1′
ex-12
=
exex-1-ex+1ex
ex-12
=
-2ex
ex-12
.
10.设 f(x)=x3+ax2+bx+1的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)
=-b,其中常数 a,b∈R.求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
【解】 因为 f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以 f′(x)=3x2+2ax+b.
令 x=1,得 f′(1)=3+2a+b,又 f′(1)=2a,
所以 3+2a+b=2a,解得 b=-3.
令 x=2,得 f′(2)=12+4a+b,又 f′(2)=-b,所以 12+4a+b
=-b,解得 a=-
3
2
.
所以 f(x)=x3-3
2
x2-3x+1,从而 f(1)=-
5
2
.
又 f′(1)=2×
-
3
2 =-3,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线
方程为:y-
-
5
2 =-3(x-1),即 6x+2y-1=0.
[能力提升]
1.已知直线 y=kx是曲线 y=ex的切线,则实数 k的值为( )
A. 1
e
B.-
1
e
C.-e D.e
【解析】 y′=ex,设切点为(x0,y0),则
y0=kx0,
y0=ex0,
k=ex0,
∴ex0=ex0·x0,∴x0=1,∴k=e.故选 D.
【答案】 D
2.若 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),
n∈N,则 f2 016(x)=( )
A.sin x B.-sin x
C.cos x D.-cos x
【解析】 因为 f1(x)=(sin x)′=cos x,f2(x)=(cos x)′=-sin x,
f3(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)=(-cos x)′=sin x,f5(x)=(sin x)′=
cos x,所以循环周期为 4,因此 f2 016(x)=f4(x)=sin x.
【答案】 A
3.已知 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,则 f′(0)=
________.
【解析】 因为 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,
所以 f′(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+2)(x+3)(x+
4)(x+5)+x(x+1)(x+3)(x+4)·(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)+x(x
+1)(x+2)(x+3)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),
所以 f′(0)=1×2×3×4×5=120.
【答案】 120
4.设函数 f(x)=ax-b
x
,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
7x-4y-12=0.
(1)求 f(x)的解析式;
(2)求证:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x
所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 【导学号:26160080】
【解】 (1)7x-4y-12=0可化为 y=7
4
x-3.
当 x=2时,y=1
2
.又 f′(x)=a+b
x2
,
于是
2a-b
2
=
1
2
,
a+b
4
=
7
4
,
解得
a=1,
b=3.
故 f(x)=x-3
x
.
(2)证明:设点 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+3
x2
可知曲线
y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程为:y-y0=
1+3
x20 (x-x0),即 y-
x0-3
x0 =
1+3
x20 (x-x0).
令 x=0,得 y=-
6
x0
,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为
0,-
6
x0 .令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x的交点坐标
为(2x0,2x0).
所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x所围成的三角形面积
为
1
2
·|-
6
x0|·|2x0|=6.
故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x围成的三角形
的面积为定值,此定值为 6.