高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.4 生 活中的优化问题举例 13页

【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生 活中的优化问题举例课时作业 新人教版选修 2-2 明目标、知重点 1．了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是： 优化问题 → 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程. 情境导学] 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通 过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题． 探究点一 面积、体积的最值问题 思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？ 答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的 变量 y 与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 y＝f(x)． (2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围． (3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值． (4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案． 例 1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设计 海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解 设版心的高为 x dm，则版心的宽为128 x dm，此时四周空白面积为 S(x)＝(x＋4) 128 x ＋2 －128 ＝2x＋512 x ＋8，x>0. 求导数，得 S′(x)＝2－512 x2 . 令 S′(x)＝2－512 x2 ＝0，解得 x＝16(x＝－16 舍去)． 于是宽为128 x ＝128 16 ＝8. 当 x∈(0,16)时，S′(x)<0； 当 x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0. 因此，x＝16 是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点． 所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使海报四周空白面积最小． 反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过 建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的． (2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． 跟踪训练 1 如图所示，某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原 有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 ________米． 答案 32,16 解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为 x 米，则长为512 x 米， 因此新墙壁总长度 L＝2x＋512 x (x>0)，则 L′＝2－512 x2 . 令 L′＝0，得 x＝±16. ∵x>0，∴x＝16. 当 x＝16 时，Lmin＝64，此时堆料场的长为512 16 ＝32(米)． 探究点二 利润最大问题 例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8πr2 分，其中 r(单位： cm)是瓶子的半径．已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子 的最大半径为 6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮 料的利润最小？ 解 由于瓶子的半径为 r，所以每瓶饮料的利润是 y＝f(r)＝0.2×4 3 πr3－0.8πr2 ＝0.8π r3 3 －r2 ，00. 因此，当半径 r>2 时，f′(r)>0，它表示 f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径 r<2 时，f′(r)<0，它表示 f(r)单调递减，即半径越大，利润越低． ∴半径为 2 cm 时，利润最小，这时 f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此 时利润是负值． 半径为 6 cm 时，利润最大． 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系， 常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数． 跟踪训练 2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价 格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a x－3 ＋10(x－6)2，其中 30)， 则 y1＝kv2，当 v＝12 时，y1＝720， ∴720＝k·122，得 k＝5. 设全程燃料费为 y，由题意，得 y＝y1· 200 v－8 ＝1 000v2 v－8 ， ∴y′＝2 000vv－8－1 000v2 v－82 ＝1 000v2－16 000v v－82 . 令 y′＝0，得 v＝16，∴当 v0≥16， 即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)； 当 v0<16，即 v∈(8，v0]时，y′<0， 即 y 在(8，v0]上为减函数， ∴当 v＝v0 时，ymin＝1 000v2 0 v0－8 (元)． 综上，当 v0≥16 时，v＝16 km/h 全程燃料费最省， 为 32 000 元； 当 v0<16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为1 000v2 0 v0－8 元． 反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为 v＝16 时取得最小值．本题的关键 是弄清极值点是否在定义域范围内． 跟踪训练 3 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里/时， A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船 每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6)，其余费用为每小时 960 元． (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 解 (1)依题意得 y＝500 x (960＋0.6x2)＝480 000 x ＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]， 即 y＝480 000 x ＋300x(00)．已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利 率为 x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为( ) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6 答案 B 解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是 0.048 6kx2，其 中 x∈(0,0.048 6)． 所以银行的收益是 y＝0.048 6kx2－kx3(00； 当 0.032 40，h(x)是增函数， 所以当 x＝80 时，h(x)取得极小值 h(80)＝11.25(升)． 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值． 答 汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升． 呈重点、现规律] 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意： (1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思 想的应用. 一、基础过关 1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单 位：℃)为 f(x)＝1 3 x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A．8 B.20 3 C．－1 D．－8 答案 C 解析 原油温度的瞬时变化率为 f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)， 所以当 x＝1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1. 2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时底面边长为( ) A. 3 V B. 3 2V C. 3 4V D．2 3 V 答案 C 解析 设底面边长为 x， 则表面积 S＝ 3 2 x2＋4 3 x V(x>0)． ∴S′＝ 3 x2 (x3－4V)． 令 S′＝0，得 x＝ 3 4V. 3．如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( ) A. l 6 3π B. l 3 3π C. l 4 3π D.1 4 l 4 3π 答案 A 解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V， 则 4r＋2h＝l， ∴h＝l－4r 2 ， V＝πr2h＝l 2 πr2－2πr3 00， ∴r＝l 6 是其唯一的极值点． ∴当 r＝l 6 时，V 取得最大值，最大值为 l 6 3π. 4．用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后 把四边翻转 90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000 cm3 答案 B 解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h＝60－x 2 (cm)． 水箱容积 V＝V(x)＝x2h＝60x2－x3 2 (cm3)(0390， 则当总利润最大时， 每年生产产品的单位数是( ) A．150 B．200 C．250 D．300 答案 D 解析 由题意得，总利润 P(x)＝ － x3 900 ＋300x－20 000，0≤x≤390， 70 090－100x，x>390， 令 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D. 二、能力提升 6.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入， 经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长为 a 米，高为 b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与 a， b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 平方米，问当 a＝________，b＝________时，经沉淀 后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔的面积忽略不计)． 答案 6 3 解析 设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝ k ab ，其中 k(k>0)为比例系数． 依题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得 b＝ 30－a 2＋a (020， y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－25 2 ＝18 000， 由此得 y＝18 000 x－20 ＋25. 广告的面积 S＝xy＝x(18 000 x－20 ＋25)＝18 000x x－20 ＋25x. ∴S′＝18 000[x－20－x] x－202 ＋25＝－360 000 x－202 ＋25. 令 S′>0 得 x>140， 令 S′<0 得 200，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64 处取得最小 值． 此时 n＝m x －1＝640 64 －1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小． 11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h 时， 每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 200 元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以 何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km. 则总费用 f(x)＝(kx3＋200)·a x ＝a(kx2＋200 x )． 由已知条件，得 40＝k·203，∴k＝ 1 200 ， ∴f(x)＝a( 1 200 x2＋200 x )． 令 f′(x)＝ax3－20 000 100x2 ＝0， 得 x＝10 3 20. 当 00. ∴当 x＝10 3 20时，f(x)有最小值， 即速度为 10 3 20 km/h 时，总费用最少． 三、探究与拓展 12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π 3 立方米，且 l≥2r.假设该容器的建造 费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米 建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元． (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解 (1)设容器的容积为 V， 由题意知 V＝πr2l＋4 3 πr3，又 V＝80π 3 ， 故 l＝ V－4 3 πr3 πr2 ＝80 3r2－4 3 r＝4 3 (20 r2 －r)． 由于 l≥2r，因此 03，所以 c－2>0. 当 r3－ 20 c－2 ＝0 时，r＝ 3 20 c－2 . 令 3 20 c－2 ＝m，则 m>0， 所以 y′＝8πc－2 r2 (r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当 09 2 时， 令 y′＝0，得 r＝m. 当 r∈(0，m)时，y′<0； 当 r∈(m,2]时，y′>0， 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点． ②当 m≥2，即 39 2 时，建造费用最小时 r＝ 3 20 c－2 .