株洲市二中 2016 年下学期高二年级第三次月考试卷 10页

株洲市二中 2016 年下学期高二年级第三次月考试卷 理科数学试题 时量：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 2ii  在复平面内表示的点在 A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 Rx  ，则 x 的一个必要不充分条件是 A A. 3x B. 3x C. 4x D. 4x 3．准线方程为 1x 的抛物线的标准方程是 A A． xy 42  B． xy 22  C． xy 22  D． xy 42  4.若 xxf cossin2)(   ，则 )(f  等于 A A. sin B. cos C.2sin －cos D.－3cos 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是 D ① 21,ZZ 不能比较大小；② 21,ZZ 是虚数；③虚数不能比较大小. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 5.若 ),1,1( ka  ， )1,1,2( b ， a 与b 的夹角为60°，则 k 的值为 D A.0 或－2 B.0 或 2 C.－2 D.2 6.设 21, FF 是椭圆 )5(125 2 2 2  ay a x 的两个焦点，且 821 FF ，弦 AB 过点 2F ，则 1ABF 的 周长为 B A.12 B.20 C.2 41 D.4 41 7．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程 序框图，若输入 ,a b 分别为 14,18，则输出的 a B A．0 B．2 C．4 D．14 8.对于 R 上可导的任意函数 )(xf ，若满足 0)()1(  xfx ，则必有 C A. )1(2)3()3( fff  B. )1(2)7()3( fff  C. )1(2)3()3( fff  D. )1(2)7()3( fff  9. 8)12( xx  的展开式中 2x 的系数为 A A．-1792 B．1792 C．-448 D．448 10．用数学归纳法证明 4 2 21 2 3 2 n nn     …… ，则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 A A． 2 2 2( 1) ( 2)k k    …… （k+1） B． 2( 1)k  C． 4 2( 1) ( 1) 2 k k   D． 2 1k  11．已知抛物线 2 4y x 的准线过椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点且与椭圆交于 A、B 两点， O 为坐标原点， AOB 的面积为 3 2 ，则椭圆的离心率为 C b A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 12．若存在实常数 k 和 b ，使得函数 ( )F x 和 ( )G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： ( )F x kx b  和 ( )G x kx b  恒成立，则称此直线 y kx b  为 ( )F x 和 ( )G x 的“隔离直 线”，已知函数 2 1( ) ( ), ( ) ( 0), ( ) 2 lnf x x x R g x x h x e xx      ，有下列命题：D ① ( ) ( ) ( )F x f x g x  在 3 1( ,0) 2 x  内单调递增； ② ( )f x 和 ( )g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为 4 ； ③ ( )f x 和 ( )g x 之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是 ]0,4[ ； ④ ( )f x 和 ( )h x 之间存在唯一的“隔离直线” 2y ex e  ． 其中真命题的个数有（ ） A．1个 B． 2 个 C．3个 D． 4 个 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 13．用反证法证明命题“若 Nba , ， ab 能被 2 整除，则 ba, 中至少有一个能被 2 整除”，那 么反设的内容是“若 Nba , ， ab 能被 2 整除，则 ba, 都不能能被 2 整除”． 14. 曲线 xy cos 在[0， 2  ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积为 1. 15.已知等差数列 na 中，有 n aaa n aaa nnnn 3 321221   成立.类似地，在等比 数列 nb 中， 有 n n nnn n aaaaaa 321 3 221  成立. 16．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD  的顶点 A 出 发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是  111 DAAA ， 黄“电子狗”爬行的路线是  1BBAB ，它们都遵循如下规则：所爬行的第 2i 段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完 2016 段、黄“电子狗”爬 完 2015 段 后 各 自 停 止 在 正 方 体 的 某 个 顶 点 处 ， 这 时 黑 、 黄 “ 电 子 狗 ” 间 的 距 离 是 1 ． 三、解答题（本大题共6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、(本题满分 12 分)设函数 2 1( ) 1 2 x x af x    是实数集 R 上的奇函数. （1）求实数 a 的值； （2）判断 ( )f x 在 R 上的单调性并加以证明； （3）求函数 ( )f x 的值域． 解：（1） )(xf 是 R 上的奇函数 ( )f x  ( )f x  ， 即 2 1 2 1 1 2 1 2 x x x x a a        ，即 2 1 2 1 2 1 2 x x x x a a    即 ( 1)(2 1) 0xa    ∴ 1a 或者 )(xf 是 R 上的奇函数 .0)0()0()0(  fff .0 21 12 0 0    a ，解得 1a ，然后经检验满足要求 。 （2）由（1）得 2 1 2( ) 12 1 2 1 x x xf x     设 1 2x x R  ，则 1 22 1 2 2( ) ( ) (1 ) (1 )2 1 2 1x xf x f x      1 2 2 1 1 2 2 2 2(2 2 ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x x       ， 1 2x x 1 22 2x x  2 1( ) ( ) 0f x f x   ，所以 ( )f x 在 R 上是增函数 （3） 2 1 2( ) 12 1 2 1 x x xf x     ， 1 2 22 1 1, 0 1, 0 2, 1 1 12 1 2 1 2 1 x x x x              所以 2 1 2( ) 12 1 2 1 x x xf x     的值域为(-1，1) 或者可以设 2 1 2 1 x xy   ，从中解出 2x  1 1 y y   ，所以1 01 y y   ，所以值域为(-1，1) 17、(本题满分 12 分)已知函数 axxxxxf  22 sincos)62sin()62sin()(  的在区间 ]2,0[  上的最小值为 0. （Ⅰ）求常数 a 的值； （Ⅱ）当 ],0[ x 时，求使 0)( xf 成立的 x 的集合. 【答案】（Ⅰ） 1a ；（Ⅱ） ],6 5[]2,0[   . 【解析】解析：（Ⅰ）因为   axxxf  2cos2sin3 ， 所以   axxf  )62sin(2  . 因为 ]2,0[ x 时， ]6 7,6[62  x ， 所以 6 7x 时 )(xf 的取得最小值 af  1)6 7(  . 依题意， 01  a ，所以 1a ；…………………………………………………（6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知   1)62sin(2  xxf . 要使   0xf ，即 2 1)62sin(  x . 所以 Z kkxk ,6 726262  ，即 Z kkxk ,26  . 当 0k 时， 26   x ；当 1k 时， 2 3 6 5   x . 又 ],0[ x ，故使 0)( xf 成立的 x 的集合是 ],6 5[]2,0[   .……………………（12 分） 18、(本题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝ 45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明 PC⊥AD； (2)求二面角 A－PC－D 的正弦值； 解析(1)由 PA⊥平面 ABCD，可得 PA⊥AD. 又由 AD⊥AC，PA∩AC＝A，故 AD⊥平面 PAC， 又 PC⊂平面 PAC，所以 PC⊥AD. (2)如图所示，作 AH⊥PC 于点 H，连接 DH. 由 PC⊥AD，PC⊥AH，可得 PC⊥平面 ADH，因此 DH⊥PC，从而∠AHD 为二面角 A－PC－D 的平面角. 在 Rt△PAC 中，PA＝2，AC＝1，由此得 AH＝ 2 5 . 由(1)知 AD⊥AH.故在 Rt△DAH 中，DH＝ AD2＋AH2＝2 30 5 .因此 sin ∠AHD＝AD DH ＝ 30 6 .所以二面角 A－PC－D 的正弦值为 30 6 . 19、(本题满分 13 分)已知数列 na 中，  * 1 11, , .3 n n n aa a n Na   （1）求数列 na 的通项公式 ;na （2）若数列 nb 满足  3 1 ,2 n n nn nb a  数列 nb 的前 n 项和为 ,nT 若不等式  1 n nT  对一切 *n N 恒成立，求  的取值范围。 (1)由题知， 1 1 1 1 1 31 3 1 1 1 1 1 1 1 1 31, 3 , 3 ,2 2 2 2 2 n nn n n n n n n a a a a a a a a                            2 .3 2n na   （4 分） （2）     12 13 1 ,22 3 1 n n n n n nb n           1 2 11 1 11 1 2 3 ,2 2 2 n nT n                           2 11 1 1 1 11 2 1 ,2 2 2 2 2 n n nT n n                        两式相减得， 2 1 1 111 1 1 1 2 221 2 , 4 ,12 2 2 2 2 2 2 21 2 n n nn n n n n n n n nT T                      （8 分），  1 1 3 2 14 4 0,2 2 2n n nn n n n n nT T T                     为单增数列，①当 n 为正奇数时， nT  对一切 正奇数成立，   1min 1, 1, 1;nT T         ②当 n 为正偶数时， nT  对一切正偶数成 立，   2min 2, 2;nT T     综合①，②知， 1 2.   （13 分） 20、(本题满分 13 分)已知椭圆 C： )0(12 2 2 2  bab y a x 的焦距为 4，其长轴长和短轴长之比为 1:3 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ） 设 F 为椭圆 C 的右焦点，T 为直线 )2,(  tttx R 上纵坐标不为 0 的任意一点，过 F 作 TF 的垂线 交椭圆 C 于点 P，Q. （ⅰ）若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当 || || PQ TF 最小时，求点 T 的坐标． 【答案】（Ⅰ） 126 22  yx ；（Ⅱ） 3t ， 3,1 或 3, 1 . 【解析】解析： （Ⅰ）由已知可得      ,3 ,422 22 ba bac 解得 2 26 2.a b＝ ， ＝ 所以椭圆 C 的标准方程是 126 22  yx . …………………………………………（4 分） （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0). 设直线 PQ 的方程为 2x my ＝ ， 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得 2 2 2 16 2 x my x y     消去 x，得 2 23 4 0) 2(m y my＋ － ＝ ，其判别式 2 2(16 8 3 .) 0m m ＝ ＋ ＋ 设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则 1 2 1 22 2 4 2,3 3 my y y ym m      于是 1 2 1 2 2( 124 3)x x m y y m   ＋ ＝ ＋ ＝ 设 M 为 PQ 的中点，则 M 点的坐标为 )3 2,3 6( 22    m m m . 因为 PQTF  ，所以直线 FT 的斜率为 m ，其方程为 )2(  xmy . 当 tx  时，  2 tmy ，所以点T 的坐标为   2,  tmt ， 此时直线 OT 的斜率为   t tm 2 ，其方程为 xt tmy )2(  . 将 M 点的坐标为 )3 2,3 6( 22    m m m 代入， 得 3 6)2( 3 2 22   mt tm m m . 解得 3t . ………………………………………………（8 分） （ⅱ）由（ⅰ）知 T 为直线 3x 上任意一点可得，点 T 的坐标为 ),3( m . 于是 1|| 2  mTF ， 2 21 2 21 2 21 2 21 )()]([)()(|| yyyymyyxxPQ  ]4))[(1( 21 2 21 2 yyyym  ]3 24)3 4)[(1( 2 2 2 2    mm mm ]3 24)3 4)[(1( 2 2 2 2    mm mm 3 )1(24 2 2   m m . 所以 1 )3( 24 1 )1(24 31|| || 2 22 2 2 2     m m m mmPQ TF 1 4)1(4)1( 24 1 1 )3( 24 1 2 222 2 22    m mm m m 41 41 24 1 2 2  mm 3 3442 24 1  . 当且仅当 2 2 41 1m m    ，即 1m ＝ 时，等号成立，此时 || || PQ TF 取得最小值 3 3 ． 故当 || || PQ TF 最小时，T 点的坐标是 3,1 或 3, 1 ……………………………………（13 分） 21、(本题满分 13 分)设函数 fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)． (1)设 n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间 1 2 ，1 内存在唯一零点； (2)设 n＝2，若对任意 x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求 b 的取值范围； (3)在(1)的条件下，设 xn 是 fn(x)在 1 2 ，1 内的零点，判断数列 x2，x3，…，xn，…的增减性． 21．解：(1)b＝1，c＝－1，n≥2 时，fn(x)＝xn＋x－1. ∵fn 1 2 fn(1)＝ 1 2n－1 2 ×1<0，∴fn(x)在 1 2 ，1 内存在零点． 又当 x∈ 1 2 ，1 时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0， ∵fn(x)在 1 2 ，1 上是单调递增的，∴fn(x)在 1 2 ，1 内存在唯一零点． (2)当 n＝2 时，f2(x)＝x2＋bx＋c. 对任意 x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之 差 M≤4.据此分类讨论如下： ①当|b 2|>1，即|b|>2 时， M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾． ②当－1≤－b 2 <0，即 0