2021届高考数学一轮总复习课时作业17利用导数证明不等式含解析苏教版 4页

82.50 KB
2021-06-16 发布

2021届高考数学一轮总复习课时作业17利用导数证明不等式含解析苏教版

关闭预览

4页
当前文档由用户上传发布，收益归属用户

1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
网站客服QQ：403074932

课时作业17　利用导数证明不等式 ‎1．已知函数f(x)＝aexlnx的图象在x＝1处的切线与直线x＋2ey＝0垂直．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)证明：xf(x)>1－5ex－1.‎ 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝a，‎ 则由题意知f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率k＝f′(1)＝ae＝2e，所以a＝2.‎ ‎(2)证明：要证明xf(x)>1－5ex－1，即证明2xexlnx>1－5ex－1，x>0，即证明2xlnx＋>.‎ 令g(x)＝2xlnx＋，则g′(x)＝2(lnx＋1)．‎ 当0时，g′(x)>0.‎ 所以g(x)＝2xlnx＋在上为减函数，在上为增函数，所以g(x)min＝g＝.‎ 因为y＝x在(0，＋∞)上为减函数，所以x<0＝1，所以g(x)≥>1>，所以xf(x)>1－5ex－1.‎ ‎2．(2020·唐山模拟)已知f(x)＝x2－a2lnx，a>0.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)当x>2a时，证明：>a.‎ 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝x－＝.‎ 当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 所以当x＝a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(a)＝a2－a2lna.‎ ‎(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，‎ 则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0.‎ 4‎ 设g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，‎ 则当x>2a时，g′(x)＝f′(x)－a＝x－－a＝>0，‎ 所以g(x)在(2a，＋∞)上单调递增，‎ 当x>2a时，g(x)>g(2a)＝0，‎ 即f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0，故>a.‎ ‎3．(2020·湖南永州一模)已知函数f(x)＝(x2－x－1)ex.‎ ‎(1)若f(x)在区间(a，a＋5)上有最大值，求整数a的所有可能取值；‎ ‎(2)求证：当x>0时，f(x)<－3lnx＋x3＋(2x2－4x)ex＋7.‎ 解：(1)f′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex，‎ 当x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，‎ 当－21时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 由题意知a<－20，g(x)单调递增，‎ 当x>2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，‎ 所以g(x)的最大值为g(2)＝e2.‎ 当01时，h′(x)>0，h(x)单调递增，‎ 所以h(x)的最小值为h(1)＝8，‎ 又8>e2，所以g(x)的最大值小于h(x)的最小值，‎ 故x>0时，恒有g(x)0)．‎ ‎(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；‎ ‎(2)求证：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．‎ 解：(1)∵f(x)＝kx－lnx－1，∴f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)；当0时，f′(x)>0.‎ 4‎ ‎∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴f(x)min＝f＝lnk，‎ ‎∵f(x)有且只有一个零点，∴lnk＝0，∴k＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知x－lnx－1≥0，即x－1≥lnx，当且仅当x＝1时取等号，‎ ‎∵n∈N*，令x＝，得>ln，‎ ‎∴1＋＋＋…＋>ln＋ln＋…ln＝ln(n＋1)，故1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．‎ ‎5．(2020·昆明诊断)已知函数f(x)＝2lnx－x＋.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若a>0，b>0，证明：<<.‎ 解：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝－1－＝＝≤0.‎ 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)证明：由题意得a≠b，不妨设a>b>0，则 <⇔lna－lnb<⇔ln<－ ‎⇔2ln－＋<0.‎ 由(1)知f(x)是(0，＋∞)上的减函数，又>1，所以f()⇔ln>.‎ 令g(x)＝lnx－，则g′(x)＝，‎ 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≥0，即g(x)是(0，＋∞)上的增函数．‎ 因为>1，所以g()>g(1)＝0，‎ 4‎ 所以ln>，从而<.‎ 综上所述，当a>0，b>0时，<<.‎ 4‎

2021届高考数学一轮总复习课时作业17利用导数证明不等式含解析苏教版 4页

2021届高考数学一轮总复习课时作业17利用导数证明不等式含解析苏教版

您可能关注的文档

相关文档

最近下载